復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)旦大學(xué)出版社省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

復(fù)數(shù)和復(fù)平面第一章第1頁(yè)§1.1復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)概念

形如或數(shù)稱為復(fù)數(shù)。a和b為實(shí)數(shù),分別稱為復(fù)數(shù)z實(shí)部和虛部,記作i稱為虛單位,即滿足當(dāng)且僅當(dāng)虛部b=0時(shí),z=a是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí),z就是實(shí)數(shù)0；當(dāng)虛部b≠0時(shí),z叫做虛數(shù)；當(dāng)實(shí)部a=0且虛部b≠0時(shí),z=ib稱為純虛數(shù).全體復(fù)數(shù)集合稱為復(fù)數(shù)集,用C表示.實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C真子集.第2頁(yè)假如兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別相等,稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.2.復(fù)數(shù)向量表示和復(fù)平面復(fù)數(shù)可用點(diǎn)z(a,b)表示用直角坐標(biāo)系表示復(fù)數(shù)平面稱為復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上點(diǎn)表示純虛數(shù).當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).任一實(shí)數(shù)共軛復(fù)數(shù)仍是它本身.第3頁(yè)

在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)還能夠用由原點(diǎn)引向點(diǎn)z向量來表示,這種表示方式建立了復(fù)數(shù)集C與平面向量所成集合一一對(duì)應(yīng)（實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)）.向量長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z模，記為|z|或r.3.復(fù)數(shù)運(yùn)算加法減法復(fù)數(shù)運(yùn)算，相關(guān)復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)第4頁(yè)乘法除法復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)第5頁(yè)4.復(fù)數(shù)三角表示和復(fù)數(shù)方根復(fù)平面C不為零點(diǎn)極坐標(biāo)

是正實(shí)軸與從原點(diǎn)O到z射線夾角，稱為復(fù)數(shù)z幅角，記為滿足條件幅角稱為Argz主值，記為

=argz，于是有

=Argz=argz+2k

,k=0,±1,±2,….復(fù)數(shù)三角表示z=r(cos

+isin

)

復(fù)數(shù)指數(shù)形式第6頁(yè)例1.1

求arg(-3-i4).解：Arg(-3-i4)=arg(-3-i4)+2k

,k=0,±1,±2,….點(diǎn)-3-i4位于第三象限

k=0,±1,±2,….例1.2

計(jì)算解：第7頁(yè)例1.3

把復(fù)數(shù)表示成三角形式和指數(shù)形式.解：對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限第8頁(yè)復(fù)數(shù)乘法幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積模等于各復(fù)數(shù)模積，積幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角和.第9頁(yè)兩個(gè)復(fù)數(shù)商模等于它們模商，商幅角等于被除數(shù)幅角與除數(shù)幅角差.第10頁(yè)復(fù)數(shù)乘方r=1時(shí)，得棣莫拂(deMoivre)公式復(fù)數(shù)開方設(shè)是已知復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則稱滿足方程全部復(fù)數(shù)為zn次方根，而且記為.第11頁(yè)設(shè)k=0,±1,±2,….k=0,±1,±2,….記k=0,1,2,…,n-1k=0,1,2,…,n-1復(fù)數(shù)n次方根是n個(gè)復(fù)數(shù)，這些方根模都等于這個(gè)復(fù)數(shù)模n次算術(shù)根，它們均勻分布在一個(gè)圓周上。第12頁(yè)例1.4

求1-i立方根.解：1-i立方根是例1.5

計(jì)算n次單位根.解：立方單位根是第13頁(yè)§1.2復(fù)平面點(diǎn)集1.平面點(diǎn)集幾個(gè)概念(1)鄰域

集合

稱為z0

鄰域，其中

>0,稱為z0去心鄰域.

(2)內(nèi)點(diǎn)、開集

若點(diǎn)集E點(diǎn)z0，有一個(gè)z0鄰域，則稱z0為E一個(gè)內(nèi)點(diǎn)；假如點(diǎn)集E中點(diǎn)全為內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.

第14頁(yè)(3)邊界點(diǎn)、邊界

假如點(diǎn)z0任意鄰域內(nèi)，現(xiàn)有屬于E中點(diǎn)，又有不屬于E中點(diǎn)，則稱z0為E邊界點(diǎn)；集合E全部邊界點(diǎn)稱為E邊界，記作

E

.

(4)區(qū)域

假如集E內(nèi)任何兩點(diǎn)能夠用包含在E內(nèi)一條折線連接起來，則稱集E為連通集.連通開集稱為區(qū)域.區(qū)域D和它邊界

D并集稱為閉區(qū)域，記為(5)有界區(qū)域

假如存在正數(shù)M，使得對(duì)一切z

E，有則稱E為有界集.若區(qū)域D有界，則稱為有界區(qū)域.第15頁(yè)(6)簡(jiǎn)單曲線、光滑曲線

設(shè)x(t)和y(t)是實(shí)變量t兩個(gè)實(shí)函數(shù)，它們?cè)陂]區(qū)間[

,

]上連續(xù)，則由方程組或由復(fù)值函數(shù)定義集合稱為復(fù)平面上一條曲線，上述方程稱為曲線

參數(shù)方程.點(diǎn)A=z(

)和B=z(

)分別稱為曲線

起點(diǎn)和終點(diǎn).假如當(dāng)時(shí)，有，稱曲線

為簡(jiǎn)單曲線，也稱為約當(dāng)(Jordan)曲線.

簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單閉曲線.第16頁(yè)定理1.1一條閉簡(jiǎn)單曲線將平面分成兩個(gè)不相交區(qū)域，以曲線為公共邊界.

這兩個(gè)區(qū)域，一個(gè)是有界，稱為

內(nèi)部；一個(gè)是無界，稱為

外部.

假如曲線

在上有和存在、連續(xù)，而且不一樣時(shí)為零，則稱曲線

為光滑曲線.由有限條光滑曲線連接而成連續(xù)曲線，稱為分段光滑曲線.(7)單連通區(qū)域

設(shè)D為復(fù)平面上區(qū)域，假如在D內(nèi)任意簡(jiǎn)單曲線內(nèi)部均屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，不然就稱為多連通區(qū)域.第17頁(yè)2.直線和半平面

設(shè)L表示C中直線，假如a是L上任一點(diǎn)，b是它方向向量，那么對(duì)于L上z，有假定|b|=1，a=0.于是，當(dāng)且僅當(dāng)即.第18頁(yè)

假如“按照b方向沿著L前進(jìn)”，H0是位于L左邊半平面.

Ha是由半平面H0平移a而得到，所以，Ha是位于L左邊半平面.

是位于L右邊半平面.第19頁(yè)§1.3擴(kuò)充復(fù)平面及其球面表示設(shè)a是異于

一個(gè)復(fù)數(shù)，要求(1)

，則；(2)

，則；(3)

，則；(4)

，則；(5)

實(shí)部、虛部、幅角都無意義；(6)為了防止和算術(shù)定律相矛盾，對(duì)不要求其意義.

第20頁(yè)

構(gòu)想平面上有一個(gè)理想點(diǎn)和它對(duì)應(yīng).這個(gè)理想點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn).復(fù)平面加上

，稱為擴(kuò)充復(fù)平面C

=C

{

}.為使要求合理，要求擴(kuò)充復(fù)平面上只有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn).

記R3中單位球面為N=(0,0,1)為S上北極點(diǎn),把C等同于R3中點(diǎn)集