數(shù)學(xué)建模選修課四市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

綜合練習(xí)：導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題某導(dǎo)彈基地發(fā)覺(jué)正北方向120km處海面上有敵艦一艘以90km/h速度向正東方向行駛。該導(dǎo)彈基地馬上發(fā)射一枚導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艦，導(dǎo)彈速度為450km/h，自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艦。試問(wèn)導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艦？1/482/48一、數(shù)學(xué)模型如圖建立坐標(biāo)系，取導(dǎo)彈基地為原點(diǎn)O(0,0)，x軸指向正東方，y軸指向正北方。當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn)O，敵艦位于點(diǎn)A(0,H)，其中H=120km。設(shè)導(dǎo)彈在t時(shí)刻位置為P(x(t),y(t))，由題意(1)其中v1=450km/h。3/48在t時(shí)刻，敵艦位于M(v2t,H)處，其中v2=90km/h。因?yàn)閷?dǎo)彈軌跡切線方向必須指向敵艦，即直線PM方向就是導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn)P切線方向，故有或(2)方程(1),(2)連同初值條件(3)組成了一個(gè)關(guān)于時(shí)間變量t一階常微分方程組初值問(wèn)題。4/48為了取得x與y關(guān)系，要設(shè)法消去變量t，由(2)式得兩邊對(duì)t求導(dǎo)得即5/48將上式與(1)合并，再加上初值條件，則得以下初值問(wèn)題這就是導(dǎo)彈軌跡數(shù)學(xué)模型。6/48二、模型求解1.解析方法模型中二階方程能夠降階。令，則方程可降為一階可分離變量方程即7/48易得由初值條件，得，從而注意到上式可改寫(xiě)為于是有8/48這么我們又得到一個(gè)可分離變量方程積分得利用，得，從而導(dǎo)彈軌跡方程為9/48設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艦于B(L,H)，以y=H代入上式，得擊中敵艦時(shí)刻為代入詳細(xì)數(shù)據(jù)得。10/482.數(shù)值方法能夠用數(shù)值分析中介紹Euler公式、改進(jìn)Euler公式和四階Runge-Kutta公式來(lái)求解上述初值問(wèn)題。11/48下面介紹兩種解常微分方程Euler方法和改進(jìn)Euler方法。(1)Euler方法

將在上積分，，得用數(shù)值方法求上述積分。12/4813/48，得，稱(chēng)之為Euler公式。，得稱(chēng)之為后退Euler公式。，得稱(chēng)之為梯形公式。14/48(2)改進(jìn)Euler方法

Euler公式計(jì)算簡(jiǎn)便，但精度差，梯形公式為隱式，計(jì)算較復(fù)雜，但精度較高，可將二者結(jié)合。稱(chēng)為改進(jìn)Euler公式，上式也可寫(xiě)為15/4816/48

例用Euler公式和改進(jìn)Euler公式求解初值問(wèn)題此問(wèn)題準(zhǔn)確解為。Euler公式：17/48改進(jìn)Euler公式：18/48Euler方法計(jì)算結(jié)果19/48改進(jìn)Euler方法計(jì)算結(jié)果20/48下面用Euler公式和改進(jìn)Euler公式求解本問(wèn)題。由(1)(2)兩式得，21/48取時(shí)間步長(zhǎng)，時(shí)導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn)坐標(biāo)為，則Euler格式為22/48當(dāng)計(jì)算到時(shí)停頓，故或，。23/48改進(jìn)Euler格式為24/4825/48(3)仿真方法（模型檢驗(yàn)）假如建立微分方程很困難，或者微分方程很復(fù)雜而難以作出數(shù)值處理，經(jīng)常能夠用仿真方法，即模仿真實(shí)事件行為和過(guò)程方法。在本問(wèn)題中，就是在計(jì)算機(jī)上經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)程序和軟件來(lái)一步步地模擬導(dǎo)彈追蹤敵艦實(shí)際過(guò)程。26/4827/48設(shè)導(dǎo)彈和敵艦在初始時(shí)刻分別位于和，此時(shí),導(dǎo)彈指向。在時(shí)，導(dǎo)彈位置為，其中，敵艦位置為。這時(shí)導(dǎo)彈沿方向飛行，傾角為在時(shí)，導(dǎo)彈位置為，其中28/48此時(shí)敵艦位置為，導(dǎo)彈沿方向飛行。29/48普通地，時(shí)，導(dǎo)彈位置為,敵艦位置為，導(dǎo)彈沿方向飛行，傾角為從而時(shí)，導(dǎo)彈位置為,敵艦位置為，其中30/48當(dāng)時(shí)，仿真停頓，取。31/48假如發(fā)射導(dǎo)彈時(shí)，敵艦馬上由儀器覺(jué)察。假定敵艦為一高速快艇，它即刻以135km/h速度與導(dǎo)彈方向成一夾角逃逸，問(wèn)導(dǎo)彈何時(shí)何地?fù)糁袛撑?？依?jù)計(jì)算結(jié)果，你能否指出敵艦與導(dǎo)彈方向成何夾角逃逸才好？提醒：可假設(shè)導(dǎo)彈與敵艦相距足夠近時(shí)敵艦即被擊中。

32/48設(shè)逃逸方向與導(dǎo)彈速度方向夾角為θ,如圖建立坐標(biāo)系?？紤]到艦艇體積，我們認(rèn)為當(dāng)導(dǎo)彈坐標(biāo)點(diǎn)與艦艇坐標(biāo)點(diǎn)距離小于一米時(shí)擊中艦艇。導(dǎo)彈坐標(biāo)為，艦艇坐標(biāo)為。在時(shí)，33/48在時(shí)，。導(dǎo)彈位置為，其中34/48此時(shí)敵艦位置為，導(dǎo)彈沿飛行。普通地，時(shí)，導(dǎo)彈位置為敵艦位置為，導(dǎo)彈沿方向飛行，傾角為從而時(shí)，導(dǎo)彈位置為,敵艦位置為，其中35/48其中當(dāng)時(shí)，仿真停頓，取36/48油罐標(biāo)尺刻度設(shè)計(jì)在石油生產(chǎn)地和加工廠，為了儲(chǔ)存原油，經(jīng)常使用大量?jī)?chǔ)油罐。油罐外形為一個(gè)圓柱體和兩個(gè)圓錐體組合，上端有一注油孔。因?yàn)榻?jīng)常注油和取油，有時(shí)極難知道油罐中剩油數(shù)量。這給現(xiàn)有儲(chǔ)油量統(tǒng)計(jì)帶來(lái)很大麻煩。顯然，將剩油取出講師是不現(xiàn)實(shí)。所以，希望能設(shè)計(jì)一個(gè)精細(xì)標(biāo)尺：工人只需將標(biāo)尺垂37/48直插入使尺端到油罐最底部，就能夠依據(jù)標(biāo)尺上油痕位置刻度獲知剩油量多少。這是一個(gè)來(lái)自油田實(shí)際問(wèn)題。38/4839/48設(shè)圓柱底面半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，圓錐底面半徑也為R，高為A。若標(biāo)尺被油浸濕高度為H，而此時(shí)罐內(nèi)油量為V，則問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)其中即要求油量函數(shù)40/48反函數(shù)。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性，只需研究情形即可。

41/4842/481.求油量函數(shù)解析方法記其中Vc(H)和Vb(H)分別為對(duì)應(yīng)圓柱和圓錐(一側(cè)部分)中儲(chǔ)油量。先求Vc(H)。設(shè)圓柱體截面中儲(chǔ)油部分對(duì)應(yīng)弓形區(qū)域面積為S(H)，弓形對(duì)應(yīng)圓心角二分之一為，則43/48利用三角函數(shù)表示式，有從而

44/48再求Vb(H)。設(shè)與圓錐體底面平行且距底