高數(shù)同濟7.8常系數(shù)非齊次線性微分方程省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件_第1頁
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第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程一、型二、型三、小結(jié)1/22二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：怎樣求特解？方法：待定系數(shù)法.一、型2/22二階常系數(shù)非齊次線性方程一、型對應(yīng)齊次方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程分析：3/22二階常系數(shù)非齊次線性方程一、型對應(yīng)齊次方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程分析：4/22二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程分析：5/22綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程6/22解二階常系方程,所以設(shè)特解y*

=b0x+b1.代入原方程得:－b0x－2b0－3b1=3x+1.則b0=－1,b1=1/3.所以特解y*

=－

x+1/3.P342-17/22解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例2P343-28/22第二步求出以下兩個方程特解分析思緒:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程特解第四步分析原方程特解特點共軛9/22利用歐拉公式10/22注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.11/22解對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3P345-312/22所求非齊方程特解為原方程通解為（取實部）注意13/22例3.

一個特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為(書本方法)不是特征方程根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解14/22解對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）練習(xí)15/22例5設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足求解對積分方程兩邊求導(dǎo)再求導(dǎo)得初始條件為特征方程和特征根為

16/22因為自由項不是特征根，故設(shè)解得a

=1/2再代入初始條件可得17/221.

求微分方程通解(其中為實數(shù)).解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為練習(xí)18/222.已知二階常微分方程有特解求微分方程通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為19/22三、小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解實部或虛部,得原非齊方程特解.作業(yè)：P347:1-(1)(3)(5)(7)(9)；2-(2)(4)。20/22思索題寫出微分方程待定特解形式.21/22思索題

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