第六章微積分的創(chuàng)立省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

6.3萊布尼茨微積分第1頁萊布尼茨介紹萊布尼茨是德國最主要自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一位舉世罕見科學(xué)天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同為微積分創(chuàng)建人。第2頁第3頁在微積分創(chuàng)建上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽．萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz，1646—1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人科學(xué)思想．1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，第二年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，很快被派往巴黎任大使．萊布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，這四年對他整個科學(xué)生涯意義，能夠與牛頓在故鄉(xiāng)躲避瘟疫兩年類比，萊布尼茨許多重大成就包含創(chuàng)建微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎(chǔ)．第4頁6.3.1特征三角形與牛頓流數(shù)論運動學(xué)背景不一樣，萊布尼茨創(chuàng)建微積分首先是出于幾何問題思索，尤其是特征三角形研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己特征三角形．據(jù)萊布尼茨以后在《微積分歷史和起源》中自述，他這項發(fā)覺正是受到了帕斯卡論文《關(guān)于四分之一圓正弦》啟發(fā)，他從這篇短文一個例子中“突然看到一束光明”第5頁帕斯卡“例子”是下述命題：“圓一個象限任何弧正弦之和，等于界于兩端兩個正弦之間底線段乘以半徑．”這里“正弦”是指縱坐標(biāo)，而在所說和中，每個縱坐標(biāo)都要乘以對應(yīng)圓無限小弧而不是乘以底小段.第6頁第7頁帕斯卡為了證實他命題，在四分之一圓上取一點，并過點作一個直角三角形，其斜邊與圓相切于．易知△與△相同，于是：△△則△=△

第8頁帕斯卡將△和△看成是一些不可分量，將它們相加，便得到相當(dāng)于下式結(jié)果：從而第9頁左端能夠看成是四分之一圓繞J軸旋轉(zhuǎn)所成半球面積．帕斯卡論證僅限于這一特例，他本人并未覺察其中所使用三角形普遍意義．萊布尼茨卻由此看到帕斯卡方法能夠推廣，對任意給定曲線都能夠作這么無限小三角形，只要用給定曲線法線來替換圓半徑，而借助于這么無限小三角形，能夠“快速地、毫無困難地建立大量定理”，這就是萊布尼茨從帕斯卡工作中看到“一束光明”．第10頁6.3.2分析微積分建立早在1666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書中討論過數(shù)列問題并得到許多主要結(jié)論，比如他考查了平方數(shù)序列：0,1,4,9,16,25,36，…及其一階差1,3,5,7,9,11,…與二階差2,2,2,2,2,…當(dāng)初他注意到假如原來序列是從0開始，那么一階差和就是原序列最終一項，而且這里序列求和運算與求差運算存在著互逆關(guān)系第11頁大約從1672年開始，萊布尼茨將他對數(shù)列研究結(jié)果與微積分運算聯(lián)絡(luò)起來．借助于笛卡兒解析幾何，萊布尼茨能夠把曲線縱坐標(biāo)用數(shù)值表示出來，并想象一個由無窮多個縱坐標(biāo)y值組成序列，以及對應(yīng)x值序列，而被看作是確定y縱坐標(biāo)序列次序．同時考慮任意兩相繼x值之差序列．萊布尼茨以后在致洛必達(L’Hospital)一封信中總結(jié)說：這使他發(fā)覺，“求切線不過是求差，求積不過是求和!”第12頁萊布尼茨首先著眼于求和，并從簡單情形y=x開始．因為x表示相鄰兩項次序，萊布尼茨取序數(shù)差為1，設(shè)L為兩相鄰項實際差.萊布尼茨用拉丁文omnia縮寫omn．表示和，則有：omn.=L=y.第13頁在y=x條件下，如圖所表示，對于無限小x來說，ly（矩形面積）和等于（三角形面積）．萊布尼茨在這里認(rèn)為：“從0起增加直線，每一個用與它對應(yīng)增加元素相乘，組成一個三角形”．所以能夠?qū)懗觯簅mn.第14頁6.3.3萊布尼茨微積分發(fā)表以上是依據(jù)萊布尼茨手稿中出現(xiàn)內(nèi)容來追溯萊布尼茨微積分起源，這些手稿散亂且難懂．大約到17世紀(jì)80年代初，萊布尼茨開始總結(jié)自己陸續(xù)取得結(jié)果，并將它們整理成文，公諸于眾．1684年萊布尼茨發(fā)表了他第一篇微分學(xué)論文《一個求極大與極小值和求切線新方法》(簡稱《新方法》)，登載在《教師學(xué)報》(ActaEruditorum)上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表微積分文件．該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學(xué)研究概括，其中定義了微分并廣泛采取了微分記號dx,dy第15頁《新方法》中明確陳說了萊布尼茨1677年已得到函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根微分公式.我們知道，萊布尼茨還得出了復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t，以及以后又將乘積微分“萊布尼茨法則”推廣到了高階情形．這些都表明萊布尼茨非常重視微積分形式運算法則和公式系統(tǒng)．相比之下，牛頓即使也發(fā)覺并利用了這些法則，但卻沒有費神去陳說普通公式，他更大興趣是微積分方法直接應(yīng)用第16頁1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他第一篇積分學(xué)論文《深奧幾何與不可分量及無限分析》．這篇論文初步敘述了積分或求積問題與微分或切線問題互逆關(guān)系．萊布尼茨分析道：“研究不定求積或其不可能性方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法更廣泛問題特殊情形(而且實際上是比較輕易情形)，而這種反切線方法包含了整個超越幾何絕大部分。第17頁在這篇積分學(xué)論文中，萊布尼茨給出了擺線方程為:目標(biāo)是要說明他方法和符號，能夠?qū)⒁恍┍黄渌椒ㄅ懦獬角€表為方程．而正是在這篇論文中，積分號第一次出現(xiàn)于印刷出版物上.他所創(chuàng)設(shè)微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓符號，這對微積分發(fā)展有極大影響?，F(xiàn)在我們使用微積分通用符號就是當(dāng)初萊布尼茨精心選取第18頁萊布尼茨其它貢獻萊布尼茨研究結(jié)果還遍布力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等等，“世界上沒有兩片完全相同樹葉”就是出自他之口，他還是最早研究中國文化和中國哲學(xué)德國人，對豐富人類科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅貢獻。第19頁1666年，萊布尼茨發(fā)表了他第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合藝術(shù)》。1679年，萊布尼茨發(fā)覺他二進制能夠給中國古老六十四卦易圖一個很好數(shù)學(xué)解釋，他是經(jīng)過他朋友、法國傳教士百晉得到六十四卦易圖，萊布尼茨高興地說“能夠讓我加入中國國籍了吧！”第20頁1673年萊布尼茨特地到巴黎去制造了一個能進行加、減、乘、除及開方運算計算機。這是繼帕斯卡加法機后，計算工具又一進步。帕斯卡逝世后，萊布尼茨發(fā)覺了一篇由帕斯卡親自撰寫“加法器”論文，勾起了他強烈創(chuàng)造欲望，決心把這種機器功效擴大為乘除運算。萊布尼茨早年歷經(jīng)坎坷。在取得了一次出使法國機會后，為實現(xiàn)制造計算機夙愿創(chuàng)造了契機。在巴黎，萊布尼茨聘請到一些著名機械教授和能工巧匠幫助工作，終于在1674年造出一臺更完善機械計算機。第21頁中西文化交流之提倡者萊布尼茨對中國科學(xué)、文化和哲學(xué)思想十分關(guān)注，他是最早研究中國文化和中國哲學(xué)德國人。他向耶穌會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多相關(guān)中國情況，包含養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學(xué)文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他還曾經(jīng)經(jīng)過傳教士，提議中國清朝康熙皇帝在北京建立科學(xué)院。第22頁萊布尼茨一生沒有結(jié)婚，沒有在大學(xué)當(dāng)教授。彌留之際，陪同他只有他所信任大夫和他秘書艾克哈特。1698年以后，萊布尼茨失寵，晚景頗為凄涼。公元1716年11月14日，因為膽結(jié)石引發(fā)腹絞痛臥床一周后，萊布尼茨孤寂地離開了人世，終年70歲。第23頁6.4

牛頓－萊布尼茨之爭1665年夏天，因為英國暴發(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時關(guān)閉。剛才取得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教牛頓被迫離校到他母親農(nóng)場住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對三大運動定律、萬有引力定律和光學(xué)研究都開始于這個時期。首次發(fā)表相關(guān)微積分研究論文是德國哲學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)覺了微積分，1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對微分發(fā)覺。兩年后，他又發(fā)表了相關(guān)積分研究。到1696年時，已經(jīng)有微積分教科書出版。第24頁起初沒有些人來爭奪微積分發(fā)覺權(quán)。1699年，移居英國一名瑞士人首先為了討好英國人，另首先因為與萊布尼茨個人恩怨，指責(zé)萊布尼茨微積分是剽竊自牛頓流數(shù)術(shù)，但此人并無威望，遭到萊布尼茨駁斥后，就沒了下文。1704年，在其光學(xué)著作附錄中，牛頓首次完整地發(fā)表了其流數(shù)術(shù)。當(dāng)年出現(xiàn)了一篇匿名評論，反過來指責(zé)牛頓流數(shù)術(shù)是剽竊自萊布尼茨微積分。

于是終究是誰首先發(fā)覺了微積分，就成了一個需要處理問題了。第25頁后人經(jīng)過研究萊布尼茨手稿還發(fā)覺，萊布尼茨和牛頓是從不一樣思緒創(chuàng)建微積分：牛頓是為處理運動問題，先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茨則反過來，受其哲學(xué)思想影響，先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。牛頓僅僅是把微積分當(dāng)做物理研究數(shù)學(xué)工具，而萊布尼茨則意識到了微積分將會給數(shù)學(xué)帶來一場革命。第26頁即使萊布尼茨不是獨立地創(chuàng)建微積分，他也對微積分發(fā)展做出了重大貢獻。萊布尼茨對微積分表述得更清楚，采取符號系統(tǒng)比牛頓更直觀、合理，被普遍采納沿用至今。所以現(xiàn)在教科書普通把牛頓和萊布尼茨共同列為微積分創(chuàng)建者。實際上，假如這個事件發(fā)生在現(xiàn)在話，你們以為功勞是誰呢？？？第27頁在今天，萊布尼茨會毫無爭議地被視為微積分創(chuàng)建者，因為現(xiàn)在學(xué)術(shù)界遵照是誰先發(fā)表誰就擁有發(fā)覺權(quán)標(biāo)準(zhǔn)，反對長久對科學(xué)發(fā)覺秘而不宣。第28頁而在有國家榮耀、民族情緒參加其中時，更難以達成共識。牛頓與萊布尼茨之爭，演變成了英國科學(xué)界與德國科學(xué)界、乃至與整個歐洲大陸科學(xué)界反抗。英國數(shù)學(xué)家今后在很長一段時間內(nèi)不愿接收歐洲大陸數(shù)