李偉平-1數(shù)學建模簡介省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

數(shù)學建模介紹李偉平1/64玩具、飛機模型……~實物模型水箱中艦艇、風洞中飛機……~物理模型電路圖、分子結構圖……~符號模型

模型是為了一定目標，對客觀事物一部分進行簡縮、抽象、提煉出來原型替換物,它集中反應了原型中人們需要那一部分特征.從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見模型2/64數(shù)學模型----航行問題用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速度是多少?x=20y=5求解3/64航行問題建立數(shù)學模型基本步驟:作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示相關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）.4/64數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目標，依據(jù)其內在規(guī)律，作出必要簡化假設，利用適當數(shù)學工具，得到一個數(shù)學結構.建立數(shù)學模型全過程（包含表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模5/64數(shù)學建模普通步驟模型準備模型假設模型組成模型求解模型分析模型檢驗模型應用6/64模型準備了解實際背景、明確建模目標、搜集相關信息、掌握對象特征形成一個比較清楚‘問題’在建模前應對實際問題歷史背景和內在規(guī)律有深刻了解，必須對該問題進行全方面、深入細致調查和研究，并注意搜集與該問題相關數(shù)據(jù)。只有掌握詳細數(shù)據(jù)資料，明確問題背景，確切地了解建立數(shù)學模型終究主要應到達什么目標，才能形成一個比較清楚問題。“發(fā)覺問題、分析問題、處理問題”7/64模型假設針對問題特點和建模目標，作出合理、簡化假設，在合理與簡化之間作出折中。現(xiàn)實問題錯綜復雜，包括面非常廣。所以，要想建立一個數(shù)學模型來反應一個現(xiàn)實問題面面俱到、無所不包是不可能，也是沒有必要。關鍵是抓住主要原因，暫不考慮或忽略次要原因，對所建模型作大膽假設。在相對比較簡單情況下，理清變量之間關系，建立對應模型。8/64模型構成用數(shù)學語言、符號描述問題，發(fā)揮想像力、使用類比法，盡可能采取簡單數(shù)學工具現(xiàn)實問題關鍵原因經(jīng)過量化后成為數(shù)學實體或數(shù)學對象，比如變量、幾何體等。將這些實體或對象之間內在關系或規(guī)律使用數(shù)學語言加以描述，就建立了問題數(shù)學結構，如此就得到了現(xiàn)實問題數(shù)學模型。9/64模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術

建立數(shù)學模型之后，對于簡單模型能夠人工求解；而對于比較復雜問題，則需要利用數(shù)學工具軟件和計算機對其進行求解。例Matlab，只要對一個軟件比較熟悉，能夠靈活利用即可。10/64如結果誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析模型分析

求得模型解之后，需要對模型進行分析和檢驗。模型分析主要包含：誤差分析、模型對數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析和靈敏度分析等。11/64模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型合理性、適用性

模型檢驗是將所得結果理論數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)相比較，假如二者相符，則說明所建模型是成功；不然需要對所建模型進行修改。因為所建模型是在一定假設條件下所得、理想化產(chǎn)物，可能與實際問題有較大出入，這時需要反過來仔細檢驗簡化與假設是否合理，若不合理則進行修改，同時依據(jù)新簡化與假設建立數(shù)學模型。這個過程需要進行重復循環(huán)進行，直到滿足要求為止。12/64模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結果誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型合理性、適用性模型應用

分析與設計

預報與決議

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理13/64數(shù)學建模示例1.椅子能在不平地面上放穩(wěn)嗎?問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)改變，可視為數(shù)學上連續(xù)面;地面相對平坦，使椅子在任意位置最少三只腳同時著地。……14/642.商人們怎樣安全過河問題3名商人3名隨從隨從們密約,在河任一岸,一旦隨從人數(shù)比商人多,就殺人越貨.不過乘船渡河方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q議過程決議~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人員要求~在安全前提下(兩岸隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河…….河小船(至多2人)15/64背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加概況中國人口增加概況年1908193319531964198219901995人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改變規(guī)律控制人口過快增加3.怎樣預報人口增加16/64指數(shù)增加模型——馬爾薩斯提出(1798)慣用計算公式x(t)~時刻t人口基本假設

:人口(相對)增加率r是常數(shù)今年人口x0,年增加率rk年后人口伴隨時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增加。17/64指數(shù)增加模型應用及不足與19世紀以前歐洲一些地域人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適合用于19世紀后遷往加拿大歐洲移民后代可用于短期人口增加預測不符合19世紀后多數(shù)地域人口增加規(guī)律不能預測較長久人口增加過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增加率r不是常數(shù)(逐步下降)18/64阻滯增加模型(Logistic模型)人口增加到一定數(shù)量后，增加率下降原因：資源、環(huán)境等原因對人口增加阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增加率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納最大數(shù)量）r是x減函數(shù)19/64dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增加模型(Logistic模型)20/64參數(shù)預計用指數(shù)增加模型或阻滯增加模型作人口預報，必須先預計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授預計阻滯增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.121/64模型檢驗用模型計算年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國年人口加入年人口數(shù)據(jù)后重新預計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領域中應用(如耐用消費品售量)阻滯增加模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x()=306.022/64數(shù)學建模全過程現(xiàn)實對象信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象解答數(shù)學模型解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)現(xiàn)實世界數(shù)學世界表述求解解釋驗證依據(jù)建模目標和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當數(shù)學方法求得數(shù)學模型解答將數(shù)學語言表述解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象信息檢驗得到解答實踐理論實踐23/64數(shù)學模型分類應用領域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)……數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……表現(xiàn)特征描述、優(yōu)化、預報、決議……建模目標確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)24/64怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術.技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用準則想像力洞察力判斷力學習、分析、評價、改進他人做過模型親自動手，認真做幾個實際題目!!!25/64CUMCM歷年賽題數(shù)學建模競賽規(guī)模越來越大,水平越來越高；競賽水平主要表達在賽題水平提升；賽題水平主要表達：（１）綜合性、實用性、創(chuàng)新性、即時性等；（２）各種解題方法創(chuàng)造性、靈活性、開放性等；（３）給參賽者留有很大發(fā)揮創(chuàng)造想象空間。

26/64CUMCM歷年賽題1992年:(Ａ)作物生長施肥效果問題(北理工：葉其孝）(Ｂ)化學試驗室試驗數(shù)據(jù)分解問題（復旦：譚永基）1993年:(Ａ)通訊中非線性交調頻率設計問題（北大:謝衷潔）(Ｂ)足球甲級聯(lián)賽排名問題（清華：蔡大用）1994年:(Ａ)山區(qū)修建公路設計造價問題（西電大：何大可）(Ｂ)鎖具制造、銷售和裝箱問題（復旦:譚永基等）1995年:(Ａ)飛機安全飛行管理調度問題（復旦:譚永基等）(Ｂ)天車與冶煉爐作業(yè)調度問題（浙大:劉祥官等）27/64CUMCM歷年賽題1996年:(A)最優(yōu)打魚策略問題（北師大：劉來福）(B)節(jié)水洗衣機程序設計問題（重大：付鸝）1997年:(A)零件參數(shù)優(yōu)化設計問題（清華：姜啟源）(B)金剛石截斷切割問題（復旦：譚永基等）1998年:(A)投資收益和風險問題（浙大：陳淑平）(B)災情巡視路線問題（上海海運學院:丁頌康）1999年:(A)自動化機床控制管理問題（北大：孫山澤）(B)地質堪探鉆井布局問題（鄭州大學：林詒勛）(C)煤矸石堆積問題（太原理工大學：賈曉峰）28/64CUMCM歷年賽題年:(A)DNA序列分類問題（北工大：孟大志）(B)鋼管訂購和運輸問題（武大：費甫生）(C)飛越北極問題（復旦：譚永基）(D)空洞探測問題（東北電力學院：關信）年:(A)三維血管重建問題（浙大：汪國昭）(B)公交車優(yōu)化調度問題（清華：譚澤光）(C)基金使用計劃問題（東南大學：陳恩水）年:(A)汽車車燈優(yōu)化設計問題（復旦:譚永基等）(B)彩票中數(shù)學問題（信息工程大學：韓中庚）(D)球隊賽程安排問題（清華：姜啟源）29/64CUMCM歷年賽題年:(A)SARS傳輸問題（集體）(B)露天礦生產(chǎn)車輛安排問題（吉林大：方沛辰）(D)搶渡長江問題（華中農大：殷建肅）年:(A)奧運會暫時超市網(wǎng)點設計問題(北工大：孟大志)(B)電力市場輸電阻塞管理問題(浙大:劉康生）(C)酒后開車問題（清華：姜啟源）(D)公務員招聘問題（信息工程大學：韓中庚）年:(A)長江水質評價與預測問題（信息工大:韓中庚）(B)DVD在線租賃問題（清華：謝金星等）(C)雨量預報方法評價問題（復旦：譚永基）30/64CUMCM歷年賽題年:(A)出版社資源管理問題（北工大:孟大志）(B)艾滋病療法評價及預測問題（天大：邊馥萍）(C)易拉罐形狀和尺寸設計問題（北理工：葉其孝）(D)煤礦瓦斯和煤塵監(jiān)測與控制問題（信息工大：韓中庚）年:(A)中國人口增加預測(B)乘公交,看奧運(C)手機“套餐”優(yōu)惠幾何(D)體能測試時間安排31/64CUMCM歷年賽題年:（A）數(shù)碼相機定位（B）高等教育學費標準探討（C）地面搜索（D）NBA賽程分析與評價年:（A）制動器試驗臺控制方法分析（B）眼科病床合理安排（C）衛(wèi)星和飛船跟蹤測控（D）會議籌備32/64CUMCM歷年賽題年:（A）儲油罐變位識別與罐容表標定

（B）年上海世博會影響力定量評定（C）關于輸油管設計方案（D）對學生宿舍設計方案評價

年:（A）城市表層土壤重金屬污染分析（B）交巡警服務平臺設置與調度（C）企業(yè)退休職員養(yǎng)老金制度改革（D）天然腸衣搭配問題33/64CUMCM歷年賽題年:（A）葡萄酒評價（B）太陽能小屋設計（C）腦卒中發(fā)病環(huán)境原因分析及干預（D）機器人避障問題34/64CUMCM歷年賽題分析從問題實際意義分析,大致上可分為:工業(yè)、農業(yè)、工程設計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)等七個大類。工業(yè)類：電子通信、機械加工與制造、機械設計與控制等行業(yè),共有8個題，占26.7%。農業(yè)類：１個題，占3.3%。工程設計類:3個題，占10.0%。交通運輸類：3個題，占10.0%經(jīng)濟管理類：5個題，占16.7%生物醫(yī)學類：5個題，占16.7%社會事業(yè)類:5個題，占16.7%

有問題屬于交叉，或者是邊緣。(1992年-年）

35/64CUMCM歷年賽題分析

從問題處理方法上分析，包括到數(shù)學建模方法：幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(回歸)分析、優(yōu)化方法（規(guī)劃）、圖論與網(wǎng)絡優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊論、含糊數(shù)學、隨機決議、多目標決議、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、時間序列、綜合評價、機理分析等方法。36/64用最多方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計方法.用到優(yōu)化方法共有21個題，占總數(shù)70%，其中整數(shù)規(guī)劃4個，線性規(guī)劃6個，非線性規(guī)劃14個,多目標規(guī)劃5個.用到概率統(tǒng)計方法有16個題，占53.3%，幾乎是每年最少有一個題目用到概率統(tǒng)計方法.用到圖論與網(wǎng)絡優(yōu)化方法問題有5個.用到層次分析法問題有３個.CUMCM歷年賽題分析37/64用到插值擬合問題有6個；用到神經(jīng)網(wǎng)絡4個；用到灰色系統(tǒng)理論4個;用到時間序列分析最少2個;用到綜合評價方法最少3個；

機理分析方法和隨機模擬都屢次用到;其它方法都最少用到一次。大部分題目都能夠用兩種以上方法來處理,即綜合性較強題目有25個，占83.3%.CUMCM歷年賽題分析38/64CUMCM歷年賽題分析從問題題型上分析（1）“即時性”較強問題有10個,占35.7%：1993B：足球隊排名問題；1998B：災情巡視路線問題；A：DNA序列分類問題；B：鋼管訂購與運輸問題；B：公交車調度問題；B：彩票中數(shù)學問題；A：SARS傳輸問題；A：奧運會暫時超市網(wǎng)點設計問題B：電力市場輸電阻塞管理問題A:長江水質評價和預測問題

39/64CUMCM歷年賽題分析(2)理論性較強問題有12個,占46.2%:04A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;(3)實用性較強問題有15個,占50%:93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B，06A；(4)算法要求強問題有6個,占21.4%:95A,97B，99B,00A,00B,05B;(5)數(shù)據(jù)量較大問題有12個,占40%:00A,00B，01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B.06A，06B。40/64CUMCM歷年賽題分析題目標特點(1)綜合性：一題多解，方法融合，結果多樣，學科交叉。(2)開放性：題意開放性，思緒開放性，方法開放性，結果開放性。(3)實用性：問題和數(shù)據(jù)來自于實際，處理方法切合于實際，模型和結果能夠應用于實際。(4)即時性：國內外大事，社會熱點，生活焦點,近期發(fā)生和即將發(fā)生被關注問題。(5)數(shù)據(jù)結構復雜性：數(shù)據(jù)真實性，數(shù)據(jù)海量性，數(shù)據(jù)不完備性，數(shù)據(jù)冗余性。41/64CUMCM歷年賽題分析對近幾年題目標簡單分析（１）Ａ：出版社資源配置問題題型：屬于生產(chǎn)管理問題，包含生產(chǎn)資源開發(fā)利用和人力資源合理分配問題，即要考慮經(jīng)濟效益，又要考慮社會效益。特點：海量數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)不完備（冗余）、數(shù)據(jù)結構復雜、綜合性和實用性強、開放性較強。方法：主題方法是優(yōu)化，包含線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標規(guī)劃、含糊優(yōu)化和網(wǎng)絡優(yōu)化等。結果：不唯一。42/64題型：屬于生物醫(yī)學管理問題，包含過去治療方法評價與未來治療效果預測問題。特點：大數(shù)據(jù)量、數(shù)據(jù)殘缺、數(shù)據(jù)結構較復雜，綜合性強、實用性和開放性也較強。方法：主要方法統(tǒng)計回歸擬合，其它方法包含線性插值、二次插值、二次和三次曲線擬合方法,結合優(yōu)化模型實現(xiàn)。結果：不唯一，也不是主要問題。(2)Ｂ：艾滋病療法評價及預測問題43/64題型：屬于生產(chǎn)加工問題。特點：來自于生活，實用性較強。方法：主題方法高等數(shù)學導數(shù)應用。結果：基本上是唯一。(3)C：易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)設計問題(4)D：煤礦瓦斯和煤塵監(jiān)測與控制問題題型：屬于生產(chǎn)管理問題，主要包含瓦斯和煤塵監(jiān)測與控制兩個方面問題。特點：數(shù)據(jù)量較大、數(shù)據(jù)結構較復雜，即時性、綜合性和實用性強，開放性也較強。方法：主題方法初等概率、線性或非線性擬合、線性或非線性規(guī)劃。結果：不唯一，大致上在一個正常范圍。44/64(5)A：長江水質評價與預測問題題型：屬于社會事業(yè)和管理問題，主要包含長江水質現(xiàn)實狀況評價、未來污染發(fā)展趨勢與控制措施等問題。特點：數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)冗余、結構復雜，即時性、綜合性、實用性和開放性強。方法：主題方法數(shù)據(jù)處理、綜合評價、微分方程、回歸擬合、灰色關聯(lián)分析與預測、時間序列和神經(jīng)網(wǎng)絡等。結果：不唯一。45/64(6)B：DVD在線租賃問題題型：屬于經(jīng)濟管理問題,主要包含DVD采購計劃、客戶在線訂單處理、DVD合理分配，以及網(wǎng)站科學管理等問題。特點：海量數(shù)據(jù)、結構復雜，綜合性、實用性和開放性強，算法要求強。方法：主題方法概率統(tǒng)計、大規(guī)模隨機整數(shù)規(guī)劃、網(wǎng)絡優(yōu)化、隨機決議分析等。結果：不唯一。46/64(7)C：雨量預報方法評價問題題型：屬于農業(yè)生產(chǎn)管理與社會事業(yè)問題，主要包含預報方法和預報方法評價等問題。特點：數(shù)據(jù)較大，綜合性、實用性、算法要求較強。方法：主題方法插值與擬合和數(shù)據(jù)誤差分析等。結果：不唯一。47/64(8)A：奧運會暫時超市網(wǎng)點設計問題題型：屬于社會事業(yè)問題，主要包含觀眾出行、用餐和購物規(guī)律,各商區(qū)人流分布規(guī)律,以及各商區(qū)大小超市設計數(shù)量等問題。特點：海量數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)冗余、結構復雜，即時性、綜合性、實用性和開放性強。方法：主題方法數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)挖掘數(shù)學規(guī)劃等。結果：不唯一，對結果沒有明確要求。48/64(9)B：電力市場輸電阻塞管理問題題型：屬于社會事業(yè)和經(jīng)濟管理問題，主要包含各發(fā)電機組出力計算方法、報價清算方法,出力分配方案和阻塞調整等問題。特點：數(shù)據(jù)量大、結構較復雜，即時性、綜合性、實用性和開放性強。方法：主題方法統(tǒng)計分析、多元線性回歸、線性與非線性規(guī)劃等。結果：不唯一，但有大致上合理范圍。49/64(10)C：飲酒駕車問題題型：屬于社會事業(yè)和生物醫(yī)學問題，主要包含酒精濃度在血液中改變、存留時間、含量最高時間及作用等問題。特點：即時性、綜合性、實用性強。方法：主題方法機理分析、微分方程等。結果：不唯一。50/64(11)D：公務員招聘問題題型：屬于社會事業(yè)問題，主要包含充分考慮應聘人員和用人單位兩個方面要求研究錄用和分配方案等問題。特點：數(shù)據(jù)量較大，即時性、綜合性、實用性強。方法：主題方法數(shù)據(jù)處理與分析、含糊隸屬度、整數(shù)線性規(guī)劃等。結果：不唯一，對結果無要求。51/64賽題預測問題

中國大學生數(shù)學建模競賽已進入了第二十個年頭，回首往事，縱覽歷年競賽題，我們能夠發(fā)覺中國大學生數(shù)學建模競賽發(fā)展過程和競賽水平在不停地提升。對過去問題做簡單地分析能夠發(fā)覺，題目包括工業(yè)、農業(yè)、工程設計與制造、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)等多個不一樣領域。這些題目標綜合性、實用性都在不停地增強，使得問題處理難度在增加，尤其是開放性和即時性也在增強。即使每年賽題都有些新改變，但從問題所包括領域、即時性和開放性程度、處理問題所用主要方法、所建立模型類型及相互之間關系等方面還是有一些規(guī)律性。52/64現(xiàn)在請你對過去歷年賽題作一定綜合分析，建模分析研究今年賽題所包括到以下問題：（1）賽題最有可能包括哪個領域，甚至哪個行業(yè)？（2）賽題可能會用到哪些建模方法？（3）結合今年社會熱點問題和人們對問題關注程度，最有可能即時性問題是哪個方面問題？53/64數(shù)學建模競賽發(fā)展趨勢數(shù)學建模競賽有很強可比性和競爭性,競賽成績是反應能力和水平一個實力型指標。因為數(shù)學建模在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中地位和作用，數(shù)學建模受到了越來越多人重視和關注。數(shù)學建模競賽發(fā)展情況：平均年增加量30%54/64數(shù)學建模競賽發(fā)展趨勢賽題水平不停提升、難度在增加、實用性在增強;綜合性和開放性也在增強；伴隨計算機技術和工具軟件功效增強,數(shù)據(jù)信息量也會逐步增大，從海量數(shù)據(jù)信息中取得真知，這也是當代應用特點之一。55/64數(shù)學建模競賽發(fā)展趨勢有些人說21世紀社會是信息社會，數(shù)據(jù)信息是已成為21世紀基本特征。由全球經(jīng)濟一體化、社會管理全球化、生命科學指數(shù)增加數(shù)據(jù)，以及互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)涌現(xiàn)，使得數(shù)據(jù)化社會已經(jīng)形成。首先人們都被數(shù)據(jù)海洋所淹沒，另首先人們期望從數(shù)據(jù)海洋中取得所需要信息和知識。從而面向海量數(shù)據(jù)計算與分析，經(jīng)過建立數(shù)學模型用于