8-多元函數(shù)的微分學(xué)-習(xí)題課省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

《微積分》A第1頁(yè)刻苦勤奮－理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心－第2頁(yè)第八章多元函數(shù)微分學(xué)第3頁(yè)教學(xué)內(nèi)容和基本要求

了解多元函數(shù)極限與連續(xù)概念,以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分概念,了解全微分存在必要和充分條件。了解方向?qū)?shù)和梯度概念，并掌握其計(jì)算方法。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)求法。會(huì)求隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。了解曲線切線和法平面及曲面切平面和法線概念，會(huì)求二元函數(shù)極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)最大值和最小值，會(huì)解一些簡(jiǎn)單應(yīng)用題。第4頁(yè)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：多元函數(shù)概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，用拉格朗日條件極值求最大值應(yīng)用問(wèn)題，方向?qū)?shù)與梯度。難點(diǎn)：全微分概念，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。第5頁(yè)第八章多元函數(shù)微分學(xué)

習(xí)題課第6頁(yè)主要內(nèi)容平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)極限多元函數(shù)連續(xù)概念極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)多元函數(shù)概念第7頁(yè)全微分應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式不變性方向?qū)?shù)全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念微分法在幾何上應(yīng)用多元函數(shù)極值第8頁(yè)解令練習(xí)１uvxy型第9頁(yè)第10頁(yè)第11頁(yè)第12頁(yè)練2解第13頁(yè)

設(shè)u=f(x,y,z),y=x3,

(x2,lny,z)=0.解:u=f(x,x3,z)

(x2,3lnx,z)=0易見(jiàn)z,u均x

函數(shù),方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo)數(shù).練3得第14頁(yè)解令記則方程組為方程組兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：練4第15頁(yè)方程組兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：第16頁(yè)條件下，方程組有唯一解。第17頁(yè)解則設(shè)則問(wèn)題就是在條件下，求最小值。練5第18頁(yè)結(jié)構(gòu)函數(shù)第19頁(yè)由(1),(3)得由(2),(3)得代入(4)得第20頁(yè)

已知曲面方程為證實(shí)：曲面上任一點(diǎn)處切平面經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)。解設(shè)曲面上任一點(diǎn)為M(x0,y0,z0).曲面在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處法向量為練6第21頁(yè)M(x0,y0,z0)是曲面上點(diǎn)，所以，切平面方程所以，曲面上任一點(diǎn)處切平面均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0,0)。切平面方程第22頁(yè)練7第23頁(yè)第24頁(yè)練8第25頁(yè)(元).解得

件，件，故惟一駐點(diǎn)(25,17)也是最小值點(diǎn)，它使成本為最小，最小成本為

第26頁(yè)怎樣購(gòu)物最滿意

日常生活中，人們經(jīng)常碰到怎樣分配定量錢(qián)來(lái)購(gòu)置兩種物品問(wèn)題．因?yàn)殄X(qián)數(shù)固定，則假如購(gòu)置其中一個(gè)物品較多，那么勢(shì)必要少買(mǎi)(甚至不再能買(mǎi))另一個(gè)物品，這么就不可能很令人滿意．怎樣花費(fèi)給定量錢(qián)，才能到達(dá)最滿意效果呢？經(jīng)濟(jì)學(xué)家試圖借助“效用函數(shù)”來(lái)處理這一問(wèn)題．第27頁(yè)

而當(dāng)效用函數(shù)到達(dá)最大值時(shí)，人們購(gòu)物分配方案最正確．所謂效用函數(shù)，就是描述人們同時(shí)購(gòu)置兩種產(chǎn)品各x單位、y單位時(shí)滿意程度量．常見(jiàn)形式有（目標(biāo)函數(shù)）第28頁(yè)

小孫有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)置二種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶．且設(shè)他購(gòu)置x張磁盤(pán)，y盒錄音磁帶效用函數(shù)為設(shè)每張磁盤(pán)8元，每盒磁帶10元，問(wèn)他怎樣分配他200元錢(qián)，才能到達(dá)最滿意效果？例：第29頁(yè)解：這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，即求在約束之下極值點(diǎn)，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，定義拉格朗日函數(shù)：第30頁(yè)解得