復(fù)變函數(shù)2.3省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第三節(jié)初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)三、乘冪

ab與冪函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)六、小結(jié)與思索1/461一、復(fù)變指數(shù)函數(shù)在任何處都存在1.實(shí)指數(shù)函數(shù)向復(fù)數(shù)范圍推廣2/4622.復(fù)變指數(shù)函數(shù)（1）定義:稱為復(fù)變數(shù)指數(shù)函數(shù)，記作：3/463（2）復(fù)變指數(shù)函數(shù)性質(zhì)<1><2>4/464證<3>.加法定理5/465例1解<3>.減法定理<4>6/4667/467例2解求出以下復(fù)數(shù)輻角主值:8/4689/46910/4610例3解11/4611二、對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義12/4612其余各值為特殊地,13/4613例4解注意:在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)拓廣.14/4614例5解15/4615例6解16/461617/46172.性質(zhì)18/4618證(3)[證畢]19/4619三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪定義注意:20/462021/4621特殊情況:22/462223/4623例7解答案課堂練習(xí)24/4624例8解25/46252.冪函數(shù)解析性它各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)是解析,26/4626它各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)是解析,27/4627四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)定義將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值情況.28/462829/4629例9解30/4630相關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)幾組主要公式正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).31/4631(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不一樣)32/4632其它復(fù)變數(shù)三角函數(shù)定義33/4633例10解34/4634例11解35/4635例12解36/463637/46372.雙曲函數(shù)定義38/4638它們導(dǎo)數(shù)分別為并有以下公式:它們都是以為周期周期函數(shù),39/4639例13解40/4640五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.反三角函數(shù)定義兩端取對(duì)數(shù)得41/4641一樣能夠定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,能夠得到它們表示式:2.反雙曲函數(shù)定義42/4642例14解43/4643六、小結(jié)與思索復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)自然推廣,它既保持了后者一些基本性質(zhì),又有一些與后者不一樣特征.如:1.指數(shù)函數(shù)含有周期性2.負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)結(jié)論不再成立3.三角正弦與余弦不再含有有界性4.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)44/4644思索題實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?45/4645思索題答案二者在函數(shù)奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似,而且導(dǎo)數(shù)形式、加法定理、正余弦函數(shù)平方和等公式也有相同形式.