高考復(fù)習(xí)2數(shù)學(xué)課件

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和A是a，A，b成等差數(shù)列的什么條件？

提示:充要條件.若A，可知2A=a+b，可推出A-a=b-A,所以a，A，b成等差數(shù)列，反之，若a，A，b成等差數(shù)列，則故是a，A，b成等差數(shù)列的充要條件.1.在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，則a4+a5+a6等于（）(A)40(B)42(C)43(D)45【解析】選B.方法一：a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13,又∵a1=2,∴d=3,a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=3×2+12×3=42.方法二：∵a1+a2+a3=3a2=15，∴a2=5,d=3,a5=a1+4d=14,∴a4+a5+a6=3a5=3×14=42.2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=1，a3=3，則S4=（）(A)12(B)10(C)8(D)6【解析】選C.方法一：由a2=1，a3=3知d=a3-a2=2，∴a1=a2-d=-1,S4=4a1+=8，故選C.方法二：因為a2+a3=a1+a4=4,所以S4=故選C.3.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1+a8+a15=π,則tan(a4+a12)=（）(A)(B)-(C)(D)-【解析】選B.由a1+a8+a15=π得3a8=π,∴a8=.又a4+a12=2a8=,∴tan(a4+a12)=-4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3=5，S6=36，則an=_________.【解析】由得∴an=2n-1.答案:2n-15.已知等差數(shù)列{an}中，a9+a10=a，a19+a20=b，則a59+a60=_________.【解析】∵a9+a10=a1+8d+a1+9d=2a1+17d=a,a19+a20=a1+18d+a1+19d=2a1+37d=b,∴a1=,d=,∴a59+a60=2a1+117d=+=5b-4a.答案:5b-4a1.等差數(shù)列的重要性質(zhì)（1）取等差數(shù)列{an}中的任意兩項am，an,且{an}的公差為d，則有：an=am+(n-m)d;（2）數(shù)列ak,ak+m,ak+2m,…仍為等差數(shù)列，且公差為md；（3）若p+q=2m，則ap+aq=2am（p,q,m∈N*）；（4）等差數(shù)列{an}中，設(shè)T1=a1+a2+…+an，T2=an+1+an+2+…+a2n，T3=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，則T1,T2,T3也成等差數(shù)列.2.設(shè)元與解題的技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元，若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d，…；若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元.

3.S奇，S偶在等差數(shù)列中的整體應(yīng)用設(shè)S奇，S偶分別是等差數(shù)列{an}中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和.則（1）當(dāng)數(shù)列項數(shù)為偶數(shù)2n時，有S偶-S奇=nd；（2）當(dāng)數(shù)列項數(shù)為奇數(shù)2n+1時，有S偶==nan+1，S奇==(n+1)an+1，S奇-S偶=an+1,

=.

等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】已知等差數(shù)列{an}中，a15=33，a45=153，試問217是否為此數(shù)列的項？若是，說明是第幾項；若不是，說明理由.【審題指導(dǎo)】這是一個探索性問題，但由于在條件中已知道兩項的值，所以，在求解方法上，可以考慮運(yùn)用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性質(zhì)求d，再就是考慮運(yùn)用等差數(shù)列的幾何意義.1【自主解答】方法一：由通項公式，知

解得：

，由217=-23+4(n-1)，得n=61.故217是此數(shù)列的第61項.方法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a45-a15=30d=153-33，即d=4.又an=a15+(n-15)d，217=33+4(n-15)，解得n=61.故217是此數(shù)列的第61項.方法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列的圖象是一些共線的點(diǎn)，假設(shè)217是{an}的項，則P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一條直線上,故有，解得n=61.故217是此數(shù)列的第61項.【規(guī)律方法】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中，共涉及五個量，知三可求二，如果已知兩個條件，就可以列出方程組解之.如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以.體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法.【互動探究】若本例條件不變，求數(shù)列{an}中所有小于0的項的和，應(yīng)怎樣求？【解析】由例題解析可知，a1=-23,d=4,∴an=-23+4（n-1）=4n-27.令4n-27＜0,∴n＜.∴數(shù)列{an}中小于0的項為第1項至第6項.又因為a6=4×6-27=-3，∴S6==-78.【變式訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}中，a2=8,前10項和S10=185.求數(shù)列{an}的通項公式an.【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因為a2=8,S10=185，所以，解得，所以an=5+(n-1)×3=3n+2,即an=3n+2.

等差數(shù)列的判定【例2】已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，bn=(n∈N*).求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【審題指導(dǎo)】證明數(shù)列是等差數(shù)列，我們一般的思路是利用定義，考慮從第2項起每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，或者考慮利用等差中項的方法證明任意的三項都滿足前項與后項之和是中間項的2倍.2【自主解答】方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn=na1+n(n-1)d，∴bn==a1+(n-1)d，∴bn+1-bn=a1+nd-a1-(n-1)d=（常數(shù)），∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.方法二：∵bn==a1+(n-1)d，∴bn+1=a1+nd,bn+2=a1+(n+1)d∴bn+2+bn=a1+(n+1)d+a1+(n-1)d=2a1+nd=2bn+1.∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【規(guī)律方法】等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an-an-1為同一常數(shù)；（2）等差中項法：驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立；（3）通項公式法：驗證an=pn+q；（4）前n項和公式法：驗證Sn=An2+Bn.提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式法和前n項和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷.【變式訓(xùn)練】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn=pnan(n∈N*)，a1=a2≠0.（1）求常數(shù)p的值；（2）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【解析】（1）∵Sn=pnan，a1=a2≠0，∴a1=pa1?p=1.（2）由（1）知：Sn=nan，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1整理可得(n-1)(an-an-1)=0,an-an-1=0(n≥2)，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

【例】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=(n≥2),Sn≠0,a1=2.(1)求證：{}是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式.【審題指導(dǎo)】解決本題(1)的關(guān)鍵是正確地對已知條件中的式子進(jìn)行化簡，在化簡過程中要結(jié)合要求證的{}是等差數(shù)列為化簡目標(biāo)，在第(2)問的求解中需要找出Sn的表達(dá)式，從而求得an的表達(dá)式.【規(guī)范解答】（1）方法一：由Sn=(n≥2)得∴-=2,∴{}是以即為首項，以2為公差的等差數(shù)列.方法二：∵當(dāng)n≥2時，-==2,∴{}是以即為首項，以2為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知=+(n-1)×2=2n-,∴Sn=,∴當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1==;當(dāng)n=1時，a1=2不適合an,故an=【規(guī)律方法】運(yùn)用數(shù)列的遞推公式判斷等差數(shù)列常見類型有取倒數(shù)和取對數(shù)兩種.關(guān)鍵在于化簡所給遞推公式，而對于由Sn求an時，可分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為：an=【變式備選】在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,設(shè)bn=,證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【證明】由已知an+1=2an+2n得bn+1=+1=bn+1.又b1=a1=1，因此{(lán)bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.

等差數(shù)列的性質(zhì)及最值問題【例3】（2011·南通模擬）已知在等差數(shù)列{an}中，a1=31，Sn是它的前n項和，S10=S22，（1）求Sn；（2）這個數(shù)列的前多少項的和最大，并求出這個最大值.【審題指導(dǎo)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解第（1）題、第（2）題，解題關(guān)鍵是寫出前n項和公式，利用函數(shù)思想解決.3【自主解答】（1）∵S10=a1+a2+…+a10

，S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22∴a11+a12+…+a22=0，=0，即a11+a22=2a1+31d=0,又a1=31，∴d=-2，∴Sn=na1+d=31n-n(n-1)=32n-n2.（2）方法一：由（1）知Sn=32n-n2，∴當(dāng)n=16時，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由Sn=32n-n2=n（32-n），欲使Sn有最大值，應(yīng)有1<n<32，從而Sn≤()2=256，當(dāng)且僅當(dāng)n=32-n，即n=16時，Sn有最大值即前16項的和最大，是256.【規(guī)律方法】1.解決等差數(shù)列問題，熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，尋找項與前n項和之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.2.在等差數(shù)列{an}中，有關(guān)Sn的最值問題:（1）a1>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；（2）當(dāng)a1<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.（3）關(guān)于最值問題，除上面介紹的方法外，還可利用等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系來解決，等差數(shù)列的前n項和

Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)式且常數(shù)項為0，利用二次函數(shù)的圖象或配方法解決最值問題.【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n項和為Sn.（1）求Sn的最小值，并求出Sn取得最小值時n的值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a16+a17+a18=-36,所以a17=-12，又因為a9=-36，所以，解得a1=-60,d=3，方法一：Sn=na1+d=-60n+×3=n2-n=(n-20.5)2-,所以當(dāng)n=20或21時，Sn最小，最小值為-630；方法二：an=-60+(n-1)×3=3n-63,由得，解得,即當(dāng)n≤21時，an≤0；當(dāng)n≥20時，an≥0；所以a21=0.所以當(dāng)n=20或21時，Sn最小，最小值為S20=S21=20×(-60)+×3=-630；（2）令an≤0，則n≤21，所以Tn=-(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+an)所以當(dāng)n≤21時，Tn=-Sn=-n2+n,當(dāng)n>21時，Tn=Sn-2S21=n2-n；即Tn=

等差數(shù)列解答題的答題技巧【典例】（14分）（2010·山東高考）已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n項和為Sn.（1）求an及Sn；（2）令bn=(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【審題指導(dǎo)】分析題意知，對本題（1）可列方程組求解；（2）題表示出bn是解題關(guān)鍵.【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3,d=2……………3分所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.……………6分（2）由（1）知an=2n+1，所以bn==，……………9分

…………………12分即數(shù)列{bn}的前n項和Tn=.……14分【失分警示】在解答本題時有兩點(diǎn)容易造成失分：一是對于利用方程的思想聯(lián)立求解在計算上容易出現(xiàn)失誤；二是裂項法需要熟練掌握幾種常見的裂項，才能快速正確的解決問題.除此外，解決等差數(shù)列問題時，以下幾點(diǎn)容易造成失分：1.對通項公式與前n項和公式記憶錯誤；2.基本公式中的項數(shù)或奇偶項的確定不正確；3.判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列時，易忽略驗證第一項.【變式訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a5=15，a10=25.(1)求通項an；(2)若Sn=112，求n.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，∵a5=15，∴a1+4d=15①∵a10=25，∴a1+9d=25②解①②組成的方程組得：a1=7，d=2.∴an=7+(n-1)×2=2n+5.(2)∵Sn=112，∴7n+n(n-1)×2=112.即：n2+6n-112=0，解得n=-14(舍去)或n=8，故n=8.

1.（2010·安徽高考）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2，則a8的值為（）(A)15(B)16(C)49(D)64【解題提示】解決本題有兩種方法，一是通過觀察前n項和公式的特點(diǎn)可知是等差數(shù)列，并且可以求出通項公式從而求得a8，二是直接利用a8=S8-S7求解，更為簡單.【解析】選A.a8=S8-S7=64-49=15,故A正確.2.（2010·福建高考）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=-11，a4+a6=-6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于（）(A)6(B)7(C)8(D)9【解題提示】根據(jù)題目中的兩個條件a1=-11，a4+a6=-6，可以直接求解公差，然后表示出前n項和Sn，利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)可以確定Sn取最小值時n的值.【解析】選A.由a4+a6=a1+a9=-11+a9=-6，得到a9=5，從而d=2，所以Sn=-11n+n(n-1)=n2-12n，因此當(dāng)Sn取得最小值時，n=6.3.(2011·廈門模擬)在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a5=4，an=33，則n為()(A)48(B)49(C)50(D)51【解析】選C.由得4.（2010·遼寧高考）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3=3，S6=24，則a9=________.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d,則有

?a1=-1,d=2.a9=a1+(9-1)d=-1+8×2=15.答案:15一、選擇題（每小題4分，共20分）1.（2010·重慶高考）在等差數(shù)列{an}中，a1+a9=10，則a5的值為()(A)5(B)6(C)8(D)10【解題提示】解決本題可以直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)a1,a5,a9成等差數(shù)列，且a5是a1和a9的等差中項求得.【解析】選A.在等差數(shù)列{an}中，a1,a5,a9成等差數(shù)列，所以故選A.2.若等差數(shù)列{an}的前三項和S3=9，且a1=1，則a2=()(A)3(B)4(C)5(D)6【解析】選A.方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，那么S3=3a1+=3+3d=9，解得d=2，所以a2=a1+d=1+2=3；方法二：因為等差數(shù)列的前三項和為a1+a2+a3=3a2=9，所以a2=3.3.（2010·全國Ⅱ）如果等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35【解析】選C.在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a3+a5=2a4，所以a4=4，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2+…+a7=7a4=28.4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n=1,2,3,…)，當(dāng)首項a1和公差d變化時，若a5+a8+a11是一個定值，則下列各數(shù)中為定值的是()(A)S17(B)S18(C)S15(D)S16【解題提示】由題中a5+a8+a11是定值入手分析，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行思考.【解析】選C.因為a5+a8+a11是定值.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a5+a8+a11=3a8是定值，所以a8為定值.又由a1+a15=2a8,所以S15==15a8為定值，故選C.5.(2011·泉州模擬)在等差數(shù)列｛an｝中，a1=-2010，其前n項和為Sn.若則S2010=()(A)-2010(B)-2011(C)2010(D)2011【解析】選A.因為是首項為公差為1的等差數(shù)列，所以即S2010=-2010.二、填空題（每小題4分，共12分）6.若{an}為等差數(shù)列，a15=8，a60=20，則a75=_______.【解題提示】解決本題可以從兩個角度考慮，一是直接解出首項和公差，從而求得a75，二是利用a15,a30,a45,a60,a75成等差數(shù)列可以直接求得.【解析】方法一：{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，那么解得：所以a75=a1+74d=方法二：{an}為等差數(shù)列，所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a60-a15=3d，所以d=4，a75=a60+d=20+4=24.答案:247.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S4=14，S10-S7=30，則S9=________.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S4=14得4a1+=14，即2a1+3d=7①由S10-S7=30得3a1+24d=30，即a1+8d=10②聯(lián)立①②得a1=2，d=1.∴S9=54.答案:548.設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有則的值為______.【解析】∵{an}，{bn}為等差數(shù)列，答案:【方法技巧】巧解前n項和的比值問題關(guān)于前n項和的比值問題，一般可采用前n項和與中間項的關(guān)系，尤其是項數(shù)為奇數(shù)時Sn=na中.也可利用首項與公差的關(guān)系求解，另外，熟記以下結(jié)論對解題會有很大幫助：若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列，且前n項和分別是Sn與Tn，則三、解答題（每小題9分，共18分）9.已知數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列，且a2=-1，a5=5.（1）求{a