2024年高考物理一輪復(fù)習(xí)講義（新人教版）：第五章萬有引力與宇宙航行

考情分析開普勒行星運(yùn)動定律2022·湖南卷·T82022·浙江1月選考·T82021·全國甲卷·T182021·天津卷·T52021·北京卷·T62021·福建卷·T8萬有引力定律及應(yīng)用2022·全國乙卷·T142022·遼寧卷·T92022·河北卷·T22022·廣東卷·T22021·全國乙卷·T182021·山東卷·T52020·全國卷Ⅰ·T152020·全國卷Ⅱ·T152020·山東卷·T72020·浙江7月選考·T72018·全國卷Ⅱ·T16人造衛(wèi)星宇宙速度2022·湖北卷·T22022·山東卷·T62021·湖南卷·T72020·全國卷Ⅲ·T162020·天津卷·T2雙星模型2018·全國卷Ⅰ·T20試題情境生活實(shí)踐類地球不同緯度重力加速度的比較學(xué)習(xí)探究類開普勒第三定律的應(yīng)用，利用“重力加速度法”“環(huán)繞法”計(jì)算天體的質(zhì)量和密度，衛(wèi)星運(yùn)動參量的分析與計(jì)算，人造衛(wèi)星，宇宙速度，天體的“追及”問題，衛(wèi)星的變軌和對接問題，雙星或多星模型第1講萬有引力定律及應(yīng)用目標(biāo)要求1.理解開普勒行星運(yùn)動定律和萬有引力定律，并會用來解決相關(guān)問題.2.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法．考點(diǎn)一開普勒行星運(yùn)動定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量1．圍繞同一天體運(yùn)動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)．(√)2．行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越大．(×)3．不同軌道上的行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積．(×)1．行星繞太陽運(yùn)動的軌道通常按圓軌道處理．2.由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個(gè)位置的速度大小之比與到太陽的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最?。?．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．例1某行星沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個(gè)點(diǎn)a、c在長軸上，b、d在短軸上．若該行星運(yùn)動周期為T，則該行星()A．從a到b的運(yùn)動時(shí)間等于從c到d的運(yùn)動時(shí)間B．從d經(jīng)a到b的運(yùn)動時(shí)間等于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動時(shí)間C．a(chǎn)到b的時(shí)間tab>eq\f(T,4)D．c到d的時(shí)間tcd>eq\f(T,4)答案D解析據(jù)開普勒第二定律可知，行星在近日點(diǎn)的速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小，行星由a到b運(yùn)動時(shí)的平均速率大于由c到d運(yùn)動時(shí)的平均速率，而弧長ab等于弧長cd，故從a到b的運(yùn)動時(shí)間小于從c到d的運(yùn)動時(shí)間，同理可知，從d經(jīng)a到b的運(yùn)動時(shí)間小于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動時(shí)間，A、B錯誤；從a經(jīng)b到c的時(shí)間和從c經(jīng)d到a的時(shí)間均為eq\f(T,2)，可得tab＝tda<eq\f(T,4)，tbc＝tcd>eq\f(T,4)，C錯誤，D正確．例2如圖所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道，1為圓軌道，2為橢圓軌道，橢圓軌道的長軸(近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)間的距離)是圓軌道半徑的4倍．P點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)，M點(diǎn)為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，TA是衛(wèi)星A的周期．則下列說法正確的是()A．B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動過程中受到地球引力將先增大后減小B．地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時(shí)間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積C．衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍D．1軌道圓心與2軌道的一個(gè)焦點(diǎn)重合答案D解析根據(jù)萬有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動過程中受到地球引力逐漸減小，A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(R3,TA2)＝eq\f(2R3,TB2)，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時(shí)間內(nèi)掃過的面積小于橢圓面積，B、C錯誤；1軌道圓心在地心，2軌道的一個(gè)焦點(diǎn)也在地心，所以二者重合，D正確．考點(diǎn)二萬有引力定律1．內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比．2．表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由英國物理學(xué)家卡文迪什測定．3．適用條件(1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)．(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離．1．只有天體之間才存在萬有引力．(×)2．只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算物體間的萬有引力．(×)3．地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心．(√)4．兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大．(×)1．星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2).(2)地球上空的重力加速度大小g′地球上空距離地球中心r＝R＋h處的重力加速度大小為g′，則有mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2).所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2).2．萬有引力的“兩點(diǎn)理解”和“兩個(gè)推論”(1)兩點(diǎn)理解①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力．②地球上(兩極除外)的物體受到的重力只是萬有引力的一個(gè)分力．(2)星體內(nèi)部萬有引力的兩個(gè)推論①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的各部分萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對它的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).考向1萬有引力定律的理解和簡單計(jì)算例3(2020·全國卷Ⅰ·15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析萬有引力表達(dá)式為F＝Geq\f(m1m2,r2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，選項(xiàng)B正確.考向2挖補(bǔ)法求解萬有引力例4有一質(zhì)量為M、半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為3R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)．先從M中挖去一半徑為eq\f(R,2)的球體，如圖所示，已知引力常量為G，則剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為()A．Geq\f(Mm,9R2) B．Geq\f(Mm,4R2)C．Geq\f(41Mm,450R2) D．Geq\f(7Mm,36R2)答案C解析半徑為R且密度均勻的完整球體對距離球心O為3R且質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為F＝Geq\f(Mm,r2)＝Geq\f(Mm,3R2)，挖去部分的質(zhì)量為M′＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)×eq\f(4,3)π(eq\f(R,2))3＝eq\f(1,8)M，挖去部分對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為F1＝Geq\f(M′m,r′2)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,2R＋\f(1,2)R2)＝eq\f(1,50)Geq\f(Mm,R2)，則剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為F2＝F－F1，解得F2＝Geq\f(41Mm,450R2)，故選C.考向3重力和萬有引力的關(guān)系例5某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R、質(zhì)量為M.科研人員研究同一物體在該行星上的重力時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍．已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A.eq\r(\f(GM,10R3)) B.eq\r(\f(GM,11R3))C.eq\r(\f(1.1GM,R3)) D.eq\r(\f(GM,R3))答案B解析設(shè)赤道處的重力加速度大小為g，物體在兩極時(shí)萬有引力大小等于重力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道時(shí)萬有引力大小等于重力和自轉(zhuǎn)所需的向心力的合力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，由以上兩式解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，故選B.萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示．(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0.(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．越靠近兩極，向心力越小，g值越大．由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.考向4地球表面下重力加速度的計(jì)算例6(2023·湖北省模擬)中國科學(xué)院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀(jì)錄，最大下潛深度超過了10000米，首次實(shí)現(xiàn)了無纜無人潛水器萬米坐底并連續(xù)拍攝高清視頻影像．若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關(guān)于“海斗一號”下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度h的關(guān)系圖像可能正確的是()答案D解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，“海斗一號”下潛h深度后，以地心為球心、以R－h(huán)為半徑的球體的質(zhì)量為M′，則根據(jù)密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)πR－h(huán)3)，由于球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(M′m,R－h(huán)2)＝mg，聯(lián)立以上兩式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h(huán))，由該表達(dá)式可知D正確，A、B、C錯誤．考點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．利用運(yùn)行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T.(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T，就可估算出中心天體的密度．考向1利用“重力加速度法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度例7宇航員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)．求：(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ.答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落體加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月，得月球的質(zhì)量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2).考向2利用“環(huán)繞法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度例8(2023·四川內(nèi)江市模擬)登月艙在離月球表面112km的高空圓軌道上，環(huán)繞月球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動周期為120.5min，月球的半徑約為1.7×103km，只考慮月球?qū)Φ窃屡摰淖饔昧ΓΤＡ縂＝6.67×10－11N·m2/kg2，則月球質(zhì)量約為()A．6.7×1022kg B．6.7×1023kgC．6.7×1024kg D．6.7×1025kg答案A解析由題意可知，h＝112km＝1.12×105m，T＝120.5min＝7230s，R＝1.7×103km＝1.7×106m，設(shè)月球的質(zhì)量為M，登月艙的質(zhì)量為m，由月球?qū)Φ窃屡摰娜f有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，可有M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，代入數(shù)據(jù)解得M≈6.7×1022kg，A正確，B、C、D錯誤．例9(多選)(2023·黑龍江省鶴崗一中高三檢測)“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，軌道半徑為r，速度大小為v.已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響．下列選項(xiàng)正確的是()A．月球平均密度為eq\f(3v2,4πGR2)B．月球平均密度為eq\f(3v2r,4πGR3)C．月球表面重力加速度大小為eq\f(v2,R)D．月球表面重力加速度大小為eq\f(v2r,R2)答案BD解析由萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得M＝eq\f(v2r,G)，月球體積V＝eq\f(4,3)πR3，所以月球平均密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3v2r,4πGR3)，故A錯誤，B正確；在月球表面，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得月球表面重力加速度大小為g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(v2r,R2)，故C錯誤，D正確．課時(shí)精練1．在萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)歷程中，下列敘述符合史實(shí)的是()A．開普勒通過分析第谷的天文觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律B．丹麥天文學(xué)家第谷經(jīng)過多年的天文觀測和記錄，提出了“日心說”的觀點(diǎn)C．卡文迪什通過實(shí)驗(yàn)推算出來引力常量G的值，被譽(yù)為第一個(gè)能“稱量地球質(zhì)量”的人D．伽利略利用“地—月系統(tǒng)”驗(yàn)證了萬有引力定律的正確性，使得萬有引力定律得到了推廣和更廣泛的應(yīng)用答案C解析萬有引力定律是由牛頓發(fā)現(xiàn)的，故A錯誤；日心說是哥白尼提出的，故B錯誤；卡文迪什通過扭稱裝置測出了引力常量，由黃金代換式可得地球質(zhì)量，故C正確；牛頓利用“地—月系統(tǒng)”驗(yàn)證了萬有引力定律的正確性，故D錯誤．2．火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B.火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相等時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積答案C解析由開普勒第一定律(軌道定律)可知，太陽位于木星運(yùn)行橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，故A錯誤；火星和木星繞太陽運(yùn)行的軌道不同，運(yùn)行速度的大小不可能始終相等，故B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律(周期定律)知，太陽系中所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的平方的比值是同一個(gè)常數(shù)，故C正確；對于太陽系某一個(gè)行星來說，其與太陽連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，不同行星在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積不相等，故D錯誤．3．(2023·河南省孟津縣一中檢測)國際小行星中心于2021年10月8日確認(rèn)公布了中國科學(xué)院紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的一顆新彗星，命名為C/2021S4.這顆彗星與太陽的最近距離約為7AU，繞太陽轉(zhuǎn)一圈約需要1000年，假設(shè)地球繞太陽做圓周運(yùn)動，地球與太陽的距離為1AU，引力常量已知．則()A．由以上數(shù)據(jù)不可估算太陽的質(zhì)量B．由以上數(shù)據(jù)可估算太陽的密度C．彗星由近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動時(shí)機(jī)械能增大D．該彗星與太陽的最遠(yuǎn)距離約為193AU答案D解析地球環(huán)繞太陽做圓周運(yùn)動時(shí)，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，由于地球的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期及引力常量G已知，則可估算中心天體(太陽)的質(zhì)量，A錯誤；由于太陽的半徑未知，則太陽的密度不能估算，B錯誤；彗星由近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動的過程中，只有太陽的引力做功，則機(jī)械能守恒，C錯誤；由開普勒第三定律可得eq\f(a3,r3)＝eq\f(T慧2,T2)，代入數(shù)據(jù)得彗星的半長軸為a＝100AU，所以彗星與太陽的最遠(yuǎn)距離約為2a－7AU＝193AU，D正確．4．(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度大小為g′，空氣阻力不計(jì)，忽略地球和星球自轉(zhuǎn)的影響．則()A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80答案AD解析設(shè)初速度為v0，由對稱性可知豎直上拋的小球在空中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，選項(xiàng)A正確，B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，則eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，選項(xiàng)C錯誤，D正確．5．國產(chǎn)科幻巨作《流浪地球》引起了人們對地球如何離開太陽系的熱烈討論．其中有一種思路是不斷加速地球使其圍繞太陽做半長軸逐漸增大的橢圓軌道運(yùn)動，最終離開太陽系．假如其中某一過程地球剛好圍繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動，地球到太陽的最近距離仍為R，最遠(yuǎn)距離為7R(R為加速前地球與太陽間的距離)，則在該軌道上地球公轉(zhuǎn)周期將變?yōu)?)A．8年B．6年C．4年D．2年答案A解析由開普勒第三定律得eq\f(R3,T2)＝eq\f(\f(R＋7R,2)3,T′2)，解得T′＝8年，選項(xiàng)A正確．6.(2021·全國乙卷·18)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞．這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎．若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M答案B7．(多選)(2022·重慶卷·9)我國載人航天事業(yè)已邁入“空間站時(shí)代”．若中國空間站繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行周期為T，軌道半徑約為地球半徑的eq\f(17,16)倍，已知地球半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則()A．漂浮在空間站中的宇航員不受地球的引力B．空間站繞地球運(yùn)動的線速度大小約為eq\f(17πR,8T)C．地球的平均密度約為eq\f(3π,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))3D．空間站繞地球運(yùn)動的向心加速度大小約為地面重力加速度的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2倍答案BD解析漂浮在空間站中的宇航員依然受地球的引力，所受引力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動，處于完全失重狀態(tài)，視重為零，故A錯誤；根據(jù)勻速圓周運(yùn)動的規(guī)律，可知空間站繞地球運(yùn)動的線速度大小約為v＝eq\f(2π×\f(17,16)R,T)＝eq\f(17πR,8T)，故B正確；設(shè)地球質(zhì)量為M，空間站的質(zhì)量為m，其所受萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)R))2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)R))，則地球的平均密度約為ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)))3eq\f(3π,GT2)，故C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)R))2)＝ma，則空間站繞地球運(yùn)動的向心加速度大小為a＝eq\f(GM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)R))2)，地面的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，可得eq\f(a,g)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2，即空間站繞地球運(yùn)動的向心加速度大小約為地面重力加速度大小的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2倍，故D正確．8．將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時(shí)，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時(shí)，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)答案C解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上受到的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是萬有引力的分力，有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A錯誤；在兩極有mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正確；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D錯誤．9．(2023·重慶市模擬)2021年5月15日，“天問一號”著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原，中國首次火星探測任務(wù)著陸火星取得圓滿成功．如果著陸前著陸器近火星繞行的周期為100min.已知地球平均密度為5.5×103kg/m3，地球近地衛(wèi)星的周期為85min.估算火星的平均密度約為()A．3.8×103kg/m3 B．4.0×103kg/m3C．4.2×103kg/m3 D．4.5×103kg/m3答案B解析衛(wèi)星在行星表面繞行星做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，設(shè)行星密度為ρ，則有M＝ρ·eq\f(4π,3)R3，聯(lián)立可得ρ＝eq\f(3π,GT2)∝eq\f(1,T2)，則有eq\f(ρ火,ρ地)＝eq\f(T地2,T火2)，解得火星的平均密度約為ρ火＝eq\f(T地2,T火2)ρ地＝eq\f(852,1002)×5.5×103kg/m3≈4.0×103kg/m3，B正確，A、C、D錯誤．10.(2023·四川省成都七中模擬)如圖所示，A、B兩顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，O為地心，在兩衛(wèi)星運(yùn)行過程中，AB連線和OA連線的夾角最大為θ，則A、B兩衛(wèi)星()A．做圓周運(yùn)動的周期之比為2eq\r(\f(1,sin3θ))B．做圓周運(yùn)動的周期之比為eq\f(1,sin3θ)C．與地心O連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積之比為eq\r(\f(1,sinθ))D．與地心O連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積之比為eq\f(1,sinθ)答案C解析夾角最大時(shí)，OB與AB垂直，根據(jù)幾何關(guān)系有rB＝rAsinθ，由開普勒第三定律可得eq\f(TA2,TB2)＝eq\f(rA3,rB3)，則eq\f(TA,TB)＝eq\r(\f(1,sin3θ))，A、B錯誤；t時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星與地心連線掃過的面積S＝eq\f(t,T)·πr2，則eq\f(SA,SB)＝eq\f(TB,TA)·eq\f(rA2,rB2)＝eq\r(\f(1,sinθ))，C正確，D錯誤．11．(2021·全國甲卷·18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實(shí)施三次近火制動后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m．已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案C解析忽略火星自轉(zhuǎn)，則在火星表面有eq\f(GMm,R2)＝mg，可知GM＝gR2，設(shè)與運(yùn)行周期為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為r，由萬有引力提供向心力可知eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，設(shè)近火點(diǎn)到火星中心的距離為R1＝R＋d1，設(shè)遠(yuǎn)火點(diǎn)到火星中心的距離為R2＝R＋d2，橢圓軌道半長軸為eq\f(R1＋R2,2)，由開普勒第三定律可知eq\f(r3,T2)＝eq\f(\f(R1＋R2,2)3,T2)，由以上分析可得d2≈6×107m，故選C.12．若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度大小之比為(質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的萬有引力為零)()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(R－d2,R＋h2)C.eq\f(R－dR＋h2,R3) D.eq\f(R－dR＋h,R2)答案C解析設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬有引力大小似近相等，有g(shù)＝Geq\f(M,R2).由于地球的質(zhì)量為M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR.質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣萭′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R)；根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma，“天宮一號”所在處的重力加速度為a＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(a,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，eq\f(g′,a)＝eq\f(R－dR＋h2,R3)，故C正確，A、B、D錯誤．13.(多選)(2021·福建卷·8)兩位科學(xué)家因?yàn)樵阢y河系中心發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎．他們對一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進(jìn)行了持續(xù)觀測，記錄到的S2的橢圓軌道如圖所示．圖中O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓偏心率(離心率)約為0.87.P、Q分別為軌道的遠(yuǎn)銀心點(diǎn)和近銀心點(diǎn)，Q與O的距離約為120AU(太陽到地球的距離為1AU)，S2的運(yùn)行周期約為16年．假設(shè)S2的運(yùn)動軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬有引力影響，根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識，可以推出()A．S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比B．銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比C．S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比D．S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比答案BCD解析設(shè)銀河系中心超大質(zhì)量的致密天體質(zhì)量為M，恒星S2繞銀河系中心(銀心)做橢圓軌道運(yùn)動的橢圓半長軸為a，半焦距為c，根據(jù)題述Q與O的距離約為120AU，可得a－c＝120AU，又有橢圓偏心率(離心率)約為eq\f(c,a)＝0.87，聯(lián)立可以解得a和c，設(shè)想恒星S2繞銀心做半徑為a的勻速圓周運(yùn)動，由開普勒第三定律可知周期也為TS2，因此Geq\f(M致密mS2,a2)＝mS2aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,TS2)))2，對地球圍繞太陽運(yùn)動，有Geq\f(M太陽m地,r2)＝m地req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))2，而a＝120r，TS2＝16T1，聯(lián)立可解得銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比，不能得出S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比，選項(xiàng)A錯誤，B正確；由開普勒第二定律有eq\f(1,2)vP(a＋c)＝eq\f(1,2)vQ(a－c)，可解得S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比為eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，選項(xiàng)C正確；在遠(yuǎn)銀心點(diǎn)和近銀心點(diǎn)，由萬有引力定律和牛頓第二定律，分別有Geq\f(M致密mS2,a＋c2)＝mS2aP，Geq\f(M致密mS2,a－c2)＝mS2aQ，聯(lián)立可解得S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比為eq\f(aP,aQ)＝eq\f(a－c2,a＋c2)，選項(xiàng)D正確．

第2講人造衛(wèi)星宇宙速度目標(biāo)要求1.會比較衛(wèi)星運(yùn)行的各物理量之間的關(guān)系.2.理解三種宇宙速度，并會求解第一宇宙速度的大小.3.會分析天體的“追及”問題．考點(diǎn)一衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析1．基本公式(1)線速度：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r)).(2)角速度：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3)).(3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM)).(4)向心加速度：由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2).結(jié)論：同一中心天體的不同衛(wèi)星，軌道半徑r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢．2．“黃金代換式”的應(yīng)用忽略中心天體自轉(zhuǎn)影響，則有mg＝Geq\f(Mm,R2)，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天體質(zhì)量M未知時(shí)，可用gR2替換GM.3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的軌道是赤道軌道．(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．(2)同步衛(wèi)星①軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同．②周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，T＝24h.③高度固定不變，h＝3.6×107m.④運(yùn)行速率約為v＝3.1km/s.(3)近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運(yùn)行速度)，T＝85min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)．注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星．1．同一中心天體的兩顆行星，公轉(zhuǎn)半徑越大，向心加速度越大．(×)2．同一中心天體質(zhì)量不同的兩顆行星，若軌道半徑相同，速率不一定相等．(×)3．近地衛(wèi)星的周期最?。?√)4．極地衛(wèi)星通過地球兩極，且始終和地球某一經(jīng)線平面重合．(×)5．不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量不一定相同，但離地面的高度是相同的．(√)1．公式中r指軌道半徑，是衛(wèi)星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r＝R＋h.2．同一中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量只與r有關(guān)；不同中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量與中心天體質(zhì)量M和r有關(guān)．考向1衛(wèi)星運(yùn)行參量與軌道半徑的關(guān)系例1(2022·廣東卷·2)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季．假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時(shí)長約為地球的1.88倍．火星和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動．下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是()A．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大B．火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大C．火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小D．火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小答案D解析由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，結(jié)合C選項(xiàng)解析，可知火星公轉(zhuǎn)的線速度小于地球公轉(zhuǎn)的線速度，故A錯誤；根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)可知火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故D正確．例2(2020·浙江7月選考·7)火星探測任務(wù)“天問一號”的標(biāo)識如圖所示．若火星和地球繞太陽的運(yùn)動均可視為勻速圓周運(yùn)動，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽運(yùn)動的()A．軌道周長之比為2∶3B．線速度大小之比為eq\r(3)∶eq\r(2)C．角速度大小之比為2eq\r(2)∶3eq\r(3)D．向心加速度大小之比為9∶4答案C解析軌道周長C＝2πr，與半徑成正比，故軌道周長之比為3∶2，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，則eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(r地,r火))＝eq\f(\r(2),\r(3))，故B錯誤；由萬有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，則eq\f(ω火,ω地)＝eq\r(\f(r地3,r火3))＝eq\f(2\r(2),3\r(3))，故C正確；由eq\f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，則eq\f(a火,a地)＝eq\f(r地2,r火2)＝eq\f(4,9)，故D錯誤．考向2同步衛(wèi)星例3關(guān)于地球同步衛(wèi)星，下列說法錯誤的是()A．它的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同B．它的周期、高度、速度大小都是一定的C．我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星可以定點(diǎn)在北京上空D．我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星必須定點(diǎn)在赤道上空答案C解析地球同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，選項(xiàng)A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r可知，因地球同步衛(wèi)星的周期一定，則高度、速度大小都是一定的，選項(xiàng)B正確；同步衛(wèi)星必須定點(diǎn)在赤道上空，不可以定點(diǎn)在北京上空，選項(xiàng)C錯誤，D正確．例4利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通信．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()A．1hB．4hC．8hD．16h答案B解析地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應(yīng)隨之變小，由開普勒第三定律可知衛(wèi)星離地球的高度應(yīng)變小，要實(shí)現(xiàn)三顆衛(wèi)星覆蓋全球的目的，則衛(wèi)星周期最小時(shí)，由幾何關(guān)系可作出衛(wèi)星間的位置關(guān)系如圖所示．衛(wèi)星的軌道半徑為r＝eq\f(R,sin30°)＝2R由eq\f(r13,T12)＝eq\f(r23,T22)得eq\f(6.6R3,24h2)＝eq\f(2R3,T22)，解得T2≈4h，故選B.考向3同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體比較例5(多選)如圖所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) B.eq\f(a1,a2)＝(eq\f(R,r))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))答案AD解析根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v12,r)，Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v22,R)，故eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))；對于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同點(diǎn)是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，故選A、D.例6有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動，衛(wèi)星b在地面附近近地軌道上正常運(yùn)行，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖，重力加速度為g，則有()A．a(chǎn)的向心加速度大小等于重力加速度大小gB．b在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長C．c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是eq\f(π,6)D．d的運(yùn)行周期有可能是20h答案B解析赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的衛(wèi)星所需的向心力大小等于萬有引力的一個(gè)分力，萬有引力大小近似等于重力大小，則a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，衛(wèi)星的軌道半徑r越大，速度v越小，所以在b、c、d中b的速度最大，又由v＝ωr知a的速度小于c的速度，故在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長，故B正確；c是地球同步衛(wèi)星，周期是24h，則c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是eq\f(4h,24h)×2π＝eq\f(π,3)，故C錯誤；由開普勒第三定律可知，衛(wèi)星的半徑r越大，周期T越大，所以d的運(yùn)動周期大于c的運(yùn)動周期，即大于24h，則不可能是20h，故D錯誤．同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及赤道上物體的比較如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，軌道半徑為r3.比較項(xiàng)目近地衛(wèi)星(r1、ω1、v1、a1)同步衛(wèi)星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力來源萬有引力萬有引力萬有引力的一個(gè)分力軌道半徑r2>r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3線速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3考點(diǎn)二宇宙速度第一宇宙速度(環(huán)繞速度)v1＝7.9km/s，是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度第二宇宙速度(逃逸速度)v2＝11.2km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度1．地球的第一宇宙速度的大小與地球質(zhì)量有關(guān)．(√)2．月球的第一宇宙速度也是7.9km/s.(×)3．同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度．(√)4．若物體的發(fā)射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，則物體繞太陽運(yùn)行．(√)1．第一宇宙速度的推導(dǎo)方法一：由Geq\f(m地m,R2)＝meq\f(v2,R)，得v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s≈7.9×103m/s.方法二：由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s≈7.9×103m/s.第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時(shí)它的運(yùn)行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈5075s≈85min.正是近地衛(wèi)星的周期．2．宇宙速度與運(yùn)動軌跡的關(guān)系(1)v發(fā)＝7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動．(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌跡為橢圓．(3)11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s，衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動的軌跡為橢圓．(4)v發(fā)≥16.7km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間．例7(2023·湖北省聯(lián)考)中國火星探測器“天問一號”成功發(fā)射后，沿地火轉(zhuǎn)移軌道飛行七個(gè)多月，于2021年2月到達(dá)火星附近，要通過制動減速被火星引力俘獲，才能進(jìn)入環(huán)繞火星的軌道飛行．已知地球的質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍，下列說法正確的是()A．若在火星上發(fā)射一顆繞火星運(yùn)動的近地衛(wèi)星，其速度至少需要7.9km/sB．“天問一號”探測器的發(fā)射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC．火星與地球的第一宇宙速度之比為1∶eq\r(5)D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案C解析衛(wèi)星在行星表面附近繞行的速度為該行星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq\r(5)，所以在火星上發(fā)射一顆繞火星運(yùn)動的近地衛(wèi)星，其速度至少需要v火＝eq\f(7.9,\r(5))km/s，故A錯誤，C正確；“天問一號”探測器掙脫了地球引力束縛，則它的發(fā)射速度大于等于11.2km/s，故B錯誤；g地＝Geq\f(M地,R地2)，g火＝Geq\f(M火,R火2)，聯(lián)立可得g地>g火，故D錯誤．例8宇航員在一行星上以速度v0豎直上拋一質(zhì)量為m的物體，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)2t后落回手中，已知該星球半徑為R.求：(1)該星球的第一宇宙速度的大小；(2)該星球的第二宇宙速度的大小．已知取無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零，物體距星球球心距離為r時(shí)的引力勢能Ep＝－Geq\f(mM,r).(G為引力常量)答案(1)eq\r(\f(v0R,t))(2)eq\r(\f(2v0R,t))解析(1)由題意可知星球表面重力加速度為g＝eq\f(v0,t)，由萬有引力定律知mg＝meq\f(v12,R)解得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(v0R,t)).(2)由星球表面萬有引力等于物體重力知eq\f(GMm,R2)＝mg，又Ep＝－Geq\f(mM,R)，解得Ep＝－eq\f(mv0R,t)，由機(jī)械能守恒定律有eq\f(1,2)mv22－eq\f(mv0R,t)＝0，解得v2＝eq\r(\f(2v0R,t)).考點(diǎn)三天體的“追及”問題例9如圖所示，A、B為地球的兩個(gè)軌道共面的人造衛(wèi)星，運(yùn)行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B兩衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉(zhuǎn)周期為T0.某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星距離達(dá)到最近，從該時(shí)刻起到A、B間距離最遠(yuǎn)所經(jīng)歷的最短時(shí)間為()A.eq\f(T0,2\r(k3)＋1) B.eq\f(T0,\r(k3)－1)C.eq\f(T0,2\r(k3)－1) D.eq\f(T0,\r(k3)＋1)答案C解析由開普勒第三定律得eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，設(shè)兩衛(wèi)星至少經(jīng)過時(shí)間t距離最遠(yuǎn)，即B比A多轉(zhuǎn)半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又由A是地球同步衛(wèi)星知TA＝T0，聯(lián)立解得t＝eq\f(T0,2\r(k3)－1)，故選C.天體“追及”問題的處理方法1．相距最近：兩同心轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星(rA<rB)同向轉(zhuǎn)動時(shí)，位于同一直徑上且在圓心的同側(cè)時(shí)，相距最近．從相距最近到再次相距最近，兩衛(wèi)星的運(yùn)動關(guān)系滿足：(ωA－ωB)t＝2π或eq\f(t,TA)－eq\f(t,TB)＝1.2．相距最遠(yuǎn)：兩同心轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星(rA<rB)同向轉(zhuǎn)動時(shí)，位于同一直徑上且在圓心的異側(cè)時(shí)，相距最遠(yuǎn)．從相距最近到第一次相距最遠(yuǎn)，兩衛(wèi)星的運(yùn)動關(guān)系滿足：(ωA－ωB)t′＝π或eq\f(t′,TA)－eq\f(t′,TB)＝eq\f(1,2).例10(多選)如圖，在萬有引力作用下，a、b兩衛(wèi)星在同一平面內(nèi)繞某一行星c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有()A．a(chǎn)、b運(yùn)動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8B．a(chǎn)、b運(yùn)動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次答案AD解析根據(jù)開普勒第三定律：半徑的三次方與周期的二次方成正比，則a、b運(yùn)動的周期之比為1∶8，A正確，B錯誤；設(shè)題圖所示位置ac連線與bc連線的夾角為θ<eq\f(π,2)，b轉(zhuǎn)動一周(圓心角為2π)的時(shí)間為Tb，則a、b相距最遠(yuǎn)時(shí)有eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7個(gè)值；a、b相距最近時(shí)有eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m＝0,1,2，…，6，m可取7個(gè)值，故在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次，C錯誤，D正確．課時(shí)精練1.(2023·江蘇海安市高三檢測)神舟十三號飛船首次采用徑向端口對接；飛船從空間站下方的停泊點(diǎn)進(jìn)行俯仰調(diào)姿和滾動調(diào)姿后與天宮空間站完成對接，飛船在完成對接后與在停泊點(diǎn)時(shí)相比()A．線速度增大 B．繞行周期增大C．所受萬有引力增大 D．向心加速度增大答案B解析飛船繞地球穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝F萬＝man，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，an＝eq\f(GM,r2)，依題意，飛船從停泊點(diǎn)到完成對接屬于從低軌到高軌，即軌道半徑增大，可知線速度減小，周期增大，所受萬有引力減小，向心加速度減小，故A、C、D錯誤，B正確．2．我國首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”已于酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．“墨子”由火箭發(fā)射至高度為500km的預(yù)定圓形軌道．此前在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第二十三顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星G7，G7屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(高度約為36000km)，它將使北斗系統(tǒng)的可靠性進(jìn)一步提高．關(guān)于衛(wèi)星以下說法中正確的是()A．這兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度可能大于7.9km/sB．通過地面控制可以將北斗G7定點(diǎn)于西昌正上方C．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期比北斗G7的周期小D．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小答案C解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，知軌道半徑越大，線速度越小，北斗G7和量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的線速度均小于地球的第一宇宙速度，故A錯誤；北斗G7為同步衛(wèi)星，只能定點(diǎn)于赤道正上方，故B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期小，故C正確；衛(wèi)星的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，半徑小的量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D錯誤．3.(2022·山東卷·6)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星．如圖所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動，軌道平面與赤道平面接近垂直．衛(wèi)星每天在相同時(shí)刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點(diǎn)正上方，恰好繞地球運(yùn)行n圈．已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面高度為()A． B．C． D．答案C解析地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律有eq\f(GMm,R2)＝mg，可得GM＝gR2，根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T′＝eq\f(T,n)，根據(jù)牛頓第二定律，萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力，則有eq\f(GMm′,R＋h2)＝m′eq\f(4π2,T′2)(R＋h)，聯(lián)立以上式子解得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R，故選C.4．(2022·河北卷·2)2008年，我國天文學(xué)家利用國家天文臺興隆觀測基地的2.16米望遠(yuǎn)鏡，發(fā)現(xiàn)了一顆繞恒星HD173416運(yùn)動的系外行星HD173416b,2019年，該恒星和行星被國際天文學(xué)聯(lián)合會分別命名為“羲和”和“望舒”，天文觀測得到恒星羲和的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的2倍，若將望舒與地球的公轉(zhuǎn)均視為勻速圓周運(yùn)動，且公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等．則望舒與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為()A．2eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析地球繞太陽公轉(zhuǎn)和行星望舒繞恒星羲和公轉(zhuǎn)都是由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得公轉(zhuǎn)的線速度大小為v＝eq\r(\f(GM,r))，其中中心天體的質(zhì)量之比為2∶1，公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等，則望舒與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為eq\r(2)，故選C.5．星球上的物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝eq\r(2)v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6).不計(jì)其他星球的影響．則該星球的第二宇宙速度為()A.eq\r(\f(gr,3))B.eq\r(\f(gr,6))C.eq\f(gr,3)D.eq\r(gr)答案A解析該星球的第一宇宙速度滿足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v12,r)，在該星球表面處萬有引力等于重力，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(g,6)，由以上兩式得該星球的第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(gr,6))，則該星球的第二宇宙速度v2＝eq\r(2)×eq\r(\f(gr,6))＝eq\r(\f(gr,3))，故A正確．6．如圖所示，a為地球赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星．關(guān)于a、b、c做勻速圓周運(yùn)動的說法中正確的是()A．角速度關(guān)系為ωa＝ωb>ωcB．向心加速度的大小關(guān)系為aa>ab>acC．線速度的大小關(guān)系為vb>vc>vaD．周期關(guān)系為Ta＝Tb>Tc答案C解析衛(wèi)星c為地球同步衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，則ωa＝ωc；對于b和c，由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因?yàn)閞b<rc，可知ωc<ωb，即ωb>ωc＝ωa，A錯誤．因a、c有相同的角速度，由a＝ω2r得aa<ac；對b和c，由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，因?yàn)閞b<rc，可知ab>ac，即ab>ac>aa，B錯誤．因a、c有相同的角速度，由v＝ωr可知va<vc；對b和c，由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，因?yàn)閞b<rc，可知vb>vc，即vb>vc>va，C正確．對b和c，由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因?yàn)閞b<rc，可知Tc>Tb，即Ta＝Tc>Tb，D錯誤．7．(2023·遼寧省模擬)火星是近些年來發(fā)現(xiàn)的最適宜人類居住生活的星球，我國成功地發(fā)射“天問一號”標(biāo)志著我國成功地邁出了探測火星的第一步．已知火星直徑約為地球直徑的一半，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，航天器貼近地球表面飛行一周所用時(shí)間為T，地球表面的重力加速度為g，若未來在火星表面發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，最小發(fā)射速度約為()A.eq\f(gT,2π) B.eq\f(\r(5)gT,10π)C.eq\f(\r(5)gT,5π) D.eq\f(2\r(5)gT,5π)答案B解析由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得到星球的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，設(shè)地球的第一宇宙速度為v1，由g＝ωv1＝eq\f(2π,T)v1，得v1＝eq\f(gT,2π)，設(shè)火星的第一宇宙速度為v2，則eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2,M1))·eq\r(\f(R1,R2))，代入數(shù)據(jù)解得v2＝eq\f(\r(5),5)v1＝eq\f(\r(5)gT,10π)，B項(xiàng)正確．8.(多選)地月系統(tǒng)是雙星模型，為了尋找航天器相對地球和月球不動的位置，科學(xué)家們做出了不懈努力．如圖所示，歐拉推導(dǎo)出L1、L2、L3三個(gè)位置，拉格朗日又推導(dǎo)出L4、L5兩個(gè)位置．現(xiàn)在科學(xué)家把L1、L2、L3、L4、L5統(tǒng)稱地月系中的拉格朗日點(diǎn)．中國“嫦娥四號”探測器成功登陸月球背面，并通過處于拉格朗日區(qū)的“嫦娥四號”中繼衛(wèi)星“鵲橋”把信息返回地球，引起眾多師生對拉格朗日點(diǎn)的熱議．下列說法正確的是()A．在拉格朗日點(diǎn)航天器的受力不再遵循萬有引力定律B．在不同的拉格朗日點(diǎn)航天器隨地月系統(tǒng)運(yùn)動的周期均相同C．“嫦娥四號”中繼衛(wèi)星“鵲橋”應(yīng)選擇L1點(diǎn)開展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)D．“嫦娥四號”中繼衛(wèi)星“鵲橋”應(yīng)選擇L2點(diǎn)開展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)答案BD解析在拉格朗日點(diǎn)的航天器仍然受萬有引力，仍遵循萬有引力定律，A錯誤；因在拉格朗日點(diǎn)的航天器相對地球和月球的位置不變，說明它們的角速度一樣，因此周期也一樣，B正確；“嫦娥四號”探測器登陸的是月球的背面，“鵲橋”要把探測器在月球背面采集的信息傳回地球，L2在月球的背面，因此應(yīng)選在L2點(diǎn)開展工程任務(wù)實(shí)驗(yàn)，C錯誤，D正確．9．(2023·遼寧丹東市月考)2021年10月16日，神舟十三號載人飛船順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，假設(shè)神舟十三號載人飛船在距地面高度為h的軌道做圓周運(yùn)動．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，下列說法正確的是()A．神舟十三號載人飛船運(yùn)行的周期為T＝2πeq\r(\f(R＋h3,gR2))B．神舟十三號載人飛船的線速度大小為eq\r(gR＋h)C．神舟十三號載人飛船軌道處的重力加速度為0D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR2)答案A解析根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r)，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，Geq\f(Mm,r2)＝man，且在地球表面滿足Geq\f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，由題意知神舟十三號載人飛船軌道半徑為r＝R＋h，解得周期為T＝2πeq\r(\f(R＋h3,gR2))，線速度大小為v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，向心加速度大小即重力加速度大小為an＝eq\f(gR2,R＋h2)，故A正確，B、C錯誤；根據(jù)密度公式得地球的平均密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3gR2,4πGR3)＝eq\f(3g,4πGR)，故D錯誤．10．(2023·湖北省荊州中學(xué)模擬)設(shè)想在赤道上建造如圖甲所示的“太空電梯”，站在太空艙里的宇航員可通過豎直的電梯緩慢直通太空站．圖乙中r為宇航員到地心的距離，R為地球半徑，曲線A為地球引力對宇航員產(chǎn)生的加速度大小與r的關(guān)系；直線B為宇航員由于地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的向心加速度大小與r的關(guān)系．關(guān)于相對地面靜止且在不同高度的宇航員，下列說法正確的有()A．隨著r增大，宇航員的角速度增大B．圖中r0為地球同步衛(wèi)星的軌道半徑C．宇航員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度D．隨著r增大，宇航員對太空艙的壓力增大答案B解析宇航員站在“太空電梯”上，相對地面靜止，故角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，在不同高度角速度不變，故A錯誤；當(dāng)r＝r0時(shí)，引力加速度正好等于宇航員做圓周運(yùn)動的向心加速度，即萬有引力提供做圓周運(yùn)動的向心力，若宇航員相當(dāng)于衛(wèi)星，此時(shí)宇航員的角速度跟地球的自轉(zhuǎn)角速度一致，可以看作是地球的同步衛(wèi)星，即r0為地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，故B正確；宇航員在r＝R處時(shí)在地面上，除了受到萬有引力還受到地面的支持力，線速度遠(yuǎn)小于第一宇宙速度，故C錯誤；宇航員乘坐太空艙在“太空電梯”的某位置時(shí)，有eq\f(GMm,r2)－FN＝mω2r，其中FN為太空艙對宇航員的支持力，大小等于宇航員對太空艙的壓力，則F壓＝FN＝eq\f(GMm,r2)－mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引為地球引力對宇航員產(chǎn)生的加速度大小，a向?yàn)榈厍蜃赞D(zhuǎn)而產(chǎn)生的向心加速度大小，由題圖可知，在R≤r≤r0時(shí)，(a引－a向)隨著r增大而減小，宇航員對太空艙的壓力隨r的增大而減小，故D錯誤．11．(多選)(2022·遼寧卷·9)如圖所示，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)可以看成勻速圓周運(yùn)動．在地圖上容易測得地球—水星連線與地球—太陽連線夾角α，地球—金星連線與地球—太陽連線夾角β，兩角最大值分別為αm、βm則()A．水星的公轉(zhuǎn)周期比金星的大B．水星的公轉(zhuǎn)向心加速度比金星的大C．水星與金星的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為sinαm∶sinβmD．水星與金星的公轉(zhuǎn)線速度之比為eq\r(sinαm)∶eq\r(sinβm)答案BC解析根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，a＝eq\f(GM,R2)，由題圖可知，水星的公轉(zhuǎn)半徑比金星的小，故水星的公轉(zhuǎn)周期比金星的小，水星的公轉(zhuǎn)向心加速度比金星的大，故A錯誤，B正確；設(shè)水星的公轉(zhuǎn)半徑為R水、地球的公轉(zhuǎn)半徑為R地，當(dāng)α金＝金＝eq\r(sinβm)∶eq\r(sinαm)，故D錯誤．12．(2023·黑龍江大慶市模擬)2020年6月23日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運(yùn)載火箭，成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星，暨北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星，至此北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座部署比原計(jì)劃提前半年全面完成．北斗導(dǎo)航衛(wèi)星工作在三種不同的圓形軌道當(dāng)中，包括地球靜止軌道(GEO)、傾斜地球同步軌道(IGSO)以及中圓地球軌道(MEO)，如圖所示．以下關(guān)于北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的說法中，正確的是()A．地球靜止軌道衛(wèi)星與傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的運(yùn)行速度大小相等B．中圓軌道衛(wèi)星的加速度小于地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度C．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星總是位于地球地面某地的正上方D．三種不同軌道的衛(wèi)星的運(yùn)行速度均大于第一宇宙速度答案A解析衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力．設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星的軌道半徑為r，衛(wèi)星運(yùn)行的速度大小為v，引力常量為G；根據(jù)萬有引力定律及物體做圓周運(yùn)動的規(guī)律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑相等，故兩衛(wèi)星的運(yùn)行速度大小相等，A正確；根據(jù)萬有引力定律及牛頓第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，中圓軌道衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑小于地球靜止軌道衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑，故中圓軌道衛(wèi)星的加速度大于地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度，B錯誤；傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)方向與地球旋轉(zhuǎn)方向不一致，C錯誤；近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度為第一宇宙速度，題中三種衛(wèi)星運(yùn)行軌道半徑均大于近地衛(wèi)星，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，三種衛(wèi)星的運(yùn)行速度均小于第一宇宙速度，D錯誤．13.(多選)A、B兩顆衛(wèi)星在同一平面內(nèi)沿同一方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離Δr隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示．已知地球的半徑為0.8r，引力常量為G，衛(wèi)星A的線速度大于衛(wèi)星B的線速度，不考慮A、B之間的萬有引力，則下列說法正確的是()A．衛(wèi)星A的加速度大于衛(wèi)星B的加速度B．衛(wèi)星A的發(fā)射速度可能大于第二宇宙速度C．地球的質(zhì)量為eq\f(256π2r3,49GT2)D．地球的第一宇宙速度為eq\f(8\r(5)πr,7T)答案ACD解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，設(shè)軌道半徑為r，則有Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，故半徑越小，線速度越大，因?yàn)樾l(wèi)星A的線速度大于衛(wèi)星B的線速度，故rA<rB；由Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，因?yàn)閞A<rB，所以aA>aB，A正確．第二宇宙速度是衛(wèi)星擺脫地球引力束縛所必須具有的速度，故衛(wèi)星發(fā)射速度大于第二宇宙速度時(shí)，衛(wèi)星不能繞地球做勻速圓周運(yùn)動，B錯誤．由題圖可知rA＋rB＝5r，rB－rA＝3r，聯(lián)立可得rA＝r，rB＝4r，由題圖可知每隔時(shí)間T兩衛(wèi)星距離最近，設(shè)A、B的周期分別為TA、TB，則有(eq\f(2π,TA)－eq\f(2π,TB))T＝2π，由開普勒第三定律有eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，聯(lián)立可得TA＝eq\f(7,8)T，TB＝7T，由Geq\f(MmB,rB2)＝mBrBeq\f(4π2,TB2)，故地球質(zhì)量為M＝eq\f(256π2r3,49GT2)，C正確．第一宇宙速度是最大的運(yùn)行速度，由Geq\f(Mm,0.8r2)＝eq\f(mv2,0.8r)，可得v＝eq\r(\f(GM,0.8r))＝eq\f(8\r(5)πr,7T)，D正確．

專題強(qiáng)化七衛(wèi)星變軌問題雙星模型目標(biāo)要求1.會處理人造衛(wèi)星的變軌和對接問題.2.掌握雙星、多星系統(tǒng)，會解決相關(guān)問題.3.會應(yīng)用萬有引力定律解決星球“瓦解”和黑洞問題．題型一衛(wèi)星的變軌和對接問題1．變軌原理(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動，有Geq\f(Mm,r12)＝meq\f(v2,r1)，如圖所示．(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，所需向心力變大，Geq\f(Mm,r12)<meq\f(vA2,r1)，衛(wèi)星做離心運(yùn)動進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ.(3)在橢圓軌道B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))將做近心運(yùn)動，Geq\f(Mm,r22)>meq\f(vB2,r2)，再次點(diǎn)火加速，使Geq\f(Mm,r22)＝meq\f(v′2,r2)，進(jìn)入圓軌道Ⅲ.2．變軌過程分析(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別為vA、vB.在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經(jīng)過B點(diǎn)的加速度也相同．(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3.(4)機(jī)械能：在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ和從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ都需要點(diǎn)火加速，則E1<E2<E3.考向1衛(wèi)星變軌問題中各物理量的比較例12021年2月，“天問一號”探測器成功實(shí)施近火制動，進(jìn)入環(huán)火橢圓軌道，并于2021年5月軟著陸火星表面，開展巡視探測等工作，探測器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的軌跡示意圖如圖所示，其中軌道Ⅰ、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ?yàn)閳A．探測器經(jīng)軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ運(yùn)動后在Q點(diǎn)登陸火星，O點(diǎn)是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切點(diǎn)，O、Q還分別是橢圓軌道Ⅲ的遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn)．下列關(guān)于探測器說法正確的是()A．由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在O點(diǎn)減速B．在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期小于在軌道Ⅲ上運(yùn)行的周期C．在軌道Ⅱ上運(yùn)行的線速度大于火星的第一宇宙速度D．在軌道Ⅲ上，探測器運(yùn)行到O點(diǎn)的線速度大于運(yùn)行到Q點(diǎn)的線速度答案A解析由高軌道進(jìn)入低軌道需要點(diǎn)火減速，則由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在O點(diǎn)減速，A正確；根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(r23,T22)＝eq