【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊 25.1 比例線段 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(冀教版)

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一、選擇題

1．（2023·長寧模擬）已知P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的值為（）

A．B．C．D．

2．（2023·深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度與從輪子底部到拉桿頂部的高度之比是黃金比（約等于）．已知cm，則AB約是（）

A．30cmB．49cmC．55cmD．129cm

3．（2022九上·長清期末）如果，那么下列比例式中正確的是（）

A．B．C．D．

4．（2022九上·西安月考）若，則下列式子不正確的是（）

A．B．C．D．

5．（2022九上·惠陽月考）已知線段a、b，求作線段x，使，正確的作法是（）

A．B．

C．D．

6．（2023七上·景德鎮(zhèn)期中）已知非負(fù)數(shù)x，y，z滿足..，設(shè)，則W的最大值與最小值的和為（）

A．-2B．-4C．-6D．-8

7．（2023·瀘縣）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）

A．B．C．D．

8．（2023七上·景德鎮(zhèn)期末）設(shè)，且，則（）

A．673B．C．D．674

二、填空題

9．如圖，用大小相同的小正方形拼圖，第個(gè)圖是一個(gè)小正方形；第個(gè)圖由個(gè)小正方形拼成；第個(gè)圖由個(gè)小正方形拼成，依此規(guī)律，若第個(gè)圖比第個(gè)圖多用了個(gè)小正方形，則的值是．

10．（2023·澄城模擬）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雕像，則該雕像的下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)為m．（結(jié)果保留根號(hào)）

11．（2023·隨州模擬）生活中到處可見黃金分割的美.向日葵就是一個(gè)很好的例子，如果仔細(xì)觀察向日葵中心，就會(huì)發(fā)現(xiàn)似乎有條螺旋形的曲線，如果對(duì)此進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果會(huì)得到黃金分割數(shù)列，如圖是一株向日葵的俯視圖，點(diǎn)C分線段AB近似于黃金分割（黃金分割比≈0.618）.已知AC＝2，且AC＞BC，則BC的長約.

12．（2023九上·嘉祥期中）同學(xué)們學(xué)習(xí)了線段的黃金分割之后，曾老師提出了一個(gè)新的定義：點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，若＝kn，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，n階黃金分割點(diǎn)”．例如：若＝k2，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，2階黃金分割點(diǎn)”；若＝k3，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，3階黃金分割點(diǎn)”．若點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，k6＝．

13．（2023九上·四川期中）若，則的值為．

三、解答題

14．（2022八上·冠縣期中）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周長．

15．閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知互不相等)，求的值.

解：設(shè)，則，，

，.

依照上述方法解答下列問題：

已知，其中，求的值.

四、綜合題

16．（2023九上·湖北月考）定義：如圖1，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，如果=k，那么我們稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，叫做黃金分割數(shù).

（1）理解：利用圖1，運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)，求證：黃金分割數(shù)；

（2）應(yīng)用：如圖2，拋物線y＝x2+nx＋2n（n<0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（OA<OB），若原點(diǎn)O是線段AB的黃金分割點(diǎn)，①求線段AB的長；②直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).

17．（2023·黃埔模擬）如圖1所示，點(diǎn)C把線段分成與，若，則稱線段被點(diǎn)C黃金分割（goldensection），點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．

（1）根據(jù)上述定義求黃金比；

（2）在圖2中，利用尺規(guī)按以下步驟作圖，井保留作圖痕跡．①作線段的垂直平分線，得線段的中點(diǎn)M；②過點(diǎn)B作垂線l；③以點(diǎn)B為圓心，以為半徑作圓交l于N；④連接、，以N為圓心，以為半徑作圓交于P；⑤以點(diǎn)A為圓心，以為半徑作圓交于C．

（3）證明你按以上步驟作出的C點(diǎn)就是線段的黃金分割點(diǎn)．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：將B關(guān)于P對(duì)稱得，根據(jù)黃金分割的定義可知是的黃金分割點(diǎn)，

故答案為：C

【分析】由P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，可得BP=AP，據(jù)此即可求解.

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意可得：0.618，

∴AB≈49cm，

故答案為：B.

【分析】利用黃金比，結(jié)合圖形，計(jì)算求解即可。

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】∵，

∴或．

故答案為：C．

【分析】利用比例的性質(zhì)求解即可。

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，∴4x=3y，

A、∵，

∴4x+4y=7y，

∴4x=3y，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、∵，

∴4x+12=3y+12，

∴4x=3y，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、∵，

∴y=4x-4y，

∴4x=5y，故該選項(xiàng)符合題意；

D、∵，

∴4x=3y，故該選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積結(jié)合已知條件可得4x=3y，同理可得各個(gè)選項(xiàng)中x、y的關(guān)系式，據(jù)此判斷.

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意，

∴，

∵線段x沒法先作出，

根據(jù)平行線分線段成比例定理，只有C符合．

故答案為：C．

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)，

則，，，

，，均為非負(fù)實(shí)數(shù)，

，

解得，

于是，

，

即．

的最大值是-2，最小值是-4，

的最大值與最小值的和為-6，

故答案為：C．

【分析】利用設(shè)k法，將x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根據(jù)k的取值范圍求解即可。

7．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴BF=BC=2，

在Rt,AF=，

∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，

∴即，

解得CD=，

同理BE=，

∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ABC===，

故答案為：A.

【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出BE、CD的長度，得到中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

8．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)

則

將x，y，z的值代入可得：

解得：

故答案為：B.

【分析】令，可將x、z的值用y與a表示，利用求出a的值，然后將所求的式子化簡成只含有y與a的式子，再代入求解即可.

9．【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，分析可得規(guī)律第n個(gè)圖由（2n-1）2個(gè)小正方形組成；

若第（n+1）個(gè)圖形比第n個(gè)圖形多72個(gè)小正方形，即；

化簡可得8n=72，即n=9；

故答案為：9.

【分析】根據(jù)圖像，得到圖像與正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系：第n個(gè)圖由（2n-1）2個(gè)小正方形組成。并以此構(gòu)建方程：，解出方程，則得到答案.

10．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

∴BC=AB=×2=-1.

故答案為：-1.

【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)結(jié)合題意可得BC=AB，然后將AB=2代入進(jìn)行計(jì)算.

11．【答案】1.236

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意知BC：AC≈0.618，

BC≈0.618AC＝0.618×2＝1.236.

故答案為：1.236.

【分析】由題意知BC：AC≈0.618，然后結(jié)合AC=2進(jìn)行計(jì)算.

12．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意，點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

整理得：，

解得：或，

經(jīng)檢驗(yàn)，或是上述分式方程的解，

∵，

∴，

故答案為：．

【分析】由題意得，則，再由=，即得，整理得，再解方程即可.

13．【答案】-1或2

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由,得

b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，

①+②+③，得

2（a+b+c）=k（a+b+c），

移項(xiàng)，得

2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，

因式分解，得

（a+b+c）（2-k）=0

a+b+c=0或k=2，

當(dāng)時(shí)，，

，

∴或2．

故答案為：-1或2．

【分析】將進(jìn)行變形，求出k的值即可。

14．【答案】解：根據(jù)題意可設(shè)a=5k，則b=7k，c=8k，

代入3a-2b+c=9，得：，

解得：，

∴，

∴△ABC的周長=a+b+c=5+7+8=20．

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【分析】設(shè)a=5k，則b=7k，c=8k，結(jié)合3a-2b+c=9，可得，求出，再求出，最后利用三角形的周長公式計(jì)算即可。

15．【答案】解：設(shè)，

則

①+②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，

，

，

原式.

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值；比例的性質(zhì)

【解析】【分析】按照題干中的例題思路，設(shè)，將這一式子變形可得y+y，x+y=kz，再將這三個(gè)式子相加，即可求出k的值，從而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中約分化簡，即可求解.

16．【答案】（1）證明：設(shè)，，則，

由得：，

即，

解得，

∵，

∴，

；

（2）解：①設(shè)，，則，，，

由二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系得：，是方程的兩根，

∴，，

∵原點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，

∴，即，

∴，

整理得：，

∴，

∴，

即；②，.

【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；黃金分割

【解析】【解答】（2）②由（2）①得：，

由黃金分割點(diǎn)的定義得：，

解得，

則，

故，.

【分析】（1）設(shè)，，從而可得，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；

（2）①設(shè)，，從而可得，，，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義可得，從而可得，由此化簡即可得；②根據(jù)①的結(jié)論，利用黃金分割點(diǎn)的定義分別求出OA、OB的長，由此即可得.

17．【答案】（1）解：如圖，設(shè)，，．

由，得．∴，

即，

解這個(gè)方程，得，（不合題意，舍去）．

所以，黃金比

（2）解：如圖所示．

①作線段的垂直平分線，得線段的中點(diǎn)M；

②過點(diǎn)B作垂線l；

方法2：如圖所示，用圓規(guī)過點(diǎn)B作垂線l．

③以點(diǎn)B為圓心，以為半徑作圓交l于N；

④連接、，以N為圓心，以為半徑作圓交于P；

⑤以點(diǎn)A為圓心，以為半徑作圓交于C．

（3）解：設(shè)，由以上作法可知，，

在中，，

∴．

∴，所以點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；黃金分割

【解析】【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)黃金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案；

（2）根據(jù)要求作圖即可；

（3）設(shè)，根據(jù)題意表示出BN、NP，根據(jù)勾股定理求出AN，求出AC與AB的比值，根據(jù)黃金比值進(jìn)行判斷即可。

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一、選擇題

1．（2023·長寧模擬）已知P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的值為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：將B關(guān)于P對(duì)稱得，根據(jù)黃金分割的定義可知是的黃金分割點(diǎn)，

故答案為：C

【分析】由P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，可得BP=AP，據(jù)此即可求解.

2．（2023·深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度與從輪子底部到拉桿頂部的高度之比是黃金比（約等于）．已知cm，則AB約是（）

A．30cmB．49cmC．55cmD．129cm

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意可得：0.618，

∴AB≈49cm，

故答案為：B.

【分析】利用黃金比，結(jié)合圖形，計(jì)算求解即可。

3．（2022九上·長清期末）如果，那么下列比例式中正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】∵，

∴或．

故答案為：C．

【分析】利用比例的性質(zhì)求解即可。

4．（2022九上·西安月考）若，則下列式子不正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，∴4x=3y，

A、∵，

∴4x+4y=7y，

∴4x=3y，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、∵，

∴4x+12=3y+12，

∴4x=3y，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、∵，

∴y=4x-4y，

∴4x=5y，故該選項(xiàng)符合題意；

D、∵，

∴4x=3y，故該選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積結(jié)合已知條件可得4x=3y，同理可得各個(gè)選項(xiàng)中x、y的關(guān)系式，據(jù)此判斷.

5．（2022九上·惠陽月考）已知線段a、b，求作線段x，使，正確的作法是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意，

∴，

∵線段x沒法先作出，

根據(jù)平行線分線段成比例定理，只有C符合．

故答案為：C．

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

6．（2023七上·景德鎮(zhèn)期中）已知非負(fù)數(shù)x，y，z滿足..，設(shè)，則W的最大值與最小值的和為（）

A．-2B．-4C．-6D．-8

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)，

則，，，

，，均為非負(fù)實(shí)數(shù)，

，

解得，

于是，

，

即．

的最大值是-2，最小值是-4，

的最大值與最小值的和為-6，

故答案為：C．

【分析】利用設(shè)k法，將x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根據(jù)k的取值范圍求解即可。

7．（2023·瀘縣）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴BF=BC=2，

在Rt,AF=，

∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，

∴即，

解得CD=，

同理BE=，

∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ABC===，

故答案為：A.

【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出BE、CD的長度，得到中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

8．（2023七上·景德鎮(zhèn)期末）設(shè)，且，則（）

A．673B．C．D．674

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)

則

將x，y，z的值代入可得：

解得：

故答案為：B.

【分析】令，可將x、z的值用y與a表示，利用求出a的值，然后將所求的式子化簡成只含有y與a的式子，再代入求解即可.

二、填空題

9．如圖，用大小相同的小正方形拼圖，第個(gè)圖是一個(gè)小正方形；第個(gè)圖由個(gè)小正方形拼成；第個(gè)圖由個(gè)小正方形拼成，依此規(guī)律，若第個(gè)圖比第個(gè)圖多用了個(gè)小正方形，則的值是．

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，分析可得規(guī)律第n個(gè)圖由（2n-1）2個(gè)小正方形組成；

若第（n+1）個(gè)圖形比第n個(gè)圖形多72個(gè)小正方形，即；

化簡可得8n=72，即n=9；

故答案為：9.

【分析】根據(jù)圖像，得到圖像與正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系：第n個(gè)圖由（2n-1）2個(gè)小正方形組成。并以此構(gòu)建方程：，解出方程，則得到答案.

10．（2023·澄城模擬）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雕像，則該雕像的下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)為m．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

∴BC=AB=×2=-1.

故答案為：-1.

【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)結(jié)合題意可得BC=AB，然后將AB=2代入進(jìn)行計(jì)算.

11．（2023·隨州模擬）生活中到處可見黃金分割的美.向日葵就是一個(gè)很好的例子，如果仔細(xì)觀察向日葵中心，就會(huì)發(fā)現(xiàn)似乎有條螺旋形的曲線，如果對(duì)此進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果會(huì)得到黃金分割數(shù)列，如圖是一株向日葵的俯視圖，點(diǎn)C分線段AB近似于黃金分割（黃金分割比≈0.618）.已知AC＝2，且AC＞BC，則BC的長約.

【答案】1.236

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意知BC：AC≈0.618，

BC≈0.618AC＝0.618×2＝1.236.

故答案為：1.236.

【分析】由題意知BC：AC≈0.618，然后結(jié)合AC=2進(jìn)行計(jì)算.

12．（2023九上·嘉祥期中）同學(xué)們學(xué)習(xí)了線段的黃金分割之后，曾老師提出了一個(gè)新的定義：點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，若＝kn，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，n階黃金分割點(diǎn)”．例如：若＝k2，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，2階黃金分割點(diǎn)”；若＝k3，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，3階黃金分割點(diǎn)”．若點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，k6＝．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意，點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

整理得：，

解得：或，

經(jīng)檢驗(yàn)，或是上述分式方程的解，

∵，

∴，

故答案為：．

【分析】由題意得，則，再由=，即得，整理得，再解方程即可.

13．（2023九上·四川期中）若，則的值為．

【答案】-1或2

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由,得

b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，

①+②+③，得

2（a+b+c）=k（a+b+c），

移項(xiàng)，得

2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，

因式分解，得

（a+b+c）（2-k）=0

a+b+c=0或k=2，

當(dāng)時(shí)，，

，

∴或2．

故答案為：-1或2．

【分析】將進(jìn)行變形，求出k的值即可。

三、解答題

14．（2022八上·冠縣期中）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周長．

【答案】解：根據(jù)題意可設(shè)a=5k，則b=7k，c=8k，

代入3a-2b+c=9，得：，

解得：，

∴，

∴△ABC的周長=a+b+c=5+7+8=20．

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【分析】設(shè)a=5k，則b=7k，c=8k，結(jié)合3a-2b+c=9，可得，求出，再求出，最后利用三角形的周長公式計(jì)算即可。

15．閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知互不相等)，求的值.

解：設(shè)，則，，

，.

依照上述方法解答下列問題：

已知，其中，求的值.

【答案】解：設(shè)，

則

①+②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，

，

，

原式.

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值；比例的性質(zhì)

【解析】【分析】按照題干中的例題思路，設(shè)，將這一式子變形可得y+y，x+y=kz，再將這三個(gè)式子相加，即可求出k的值，從而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中約分化簡，即可求解.

四、綜合題

16．（2023九上·湖北月考）定義：如圖1，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，如果=k，那么我們稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，叫做黃金分割數(shù).

（1）理解：利用圖1，運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)，求證：黃金分割數(shù)；

（2）應(yīng)用：如圖2，拋物線y＝x2+nx＋2n（n<0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（OA<OB），若原點(diǎn)O是線段AB的黃金分割點(diǎn)，①求線段AB的長；②直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】（1）證明：設(shè)，，則，

由得：，

即，

解得，

∵，

∴，

；

（2）解：①設(shè)，，則，，，

由二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系得：，是方程的兩根，

∴，，

∵原點(diǎn)