【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊 28.2 過三點(diǎn)的圓 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(冀教版)

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一、選擇題

1．（2022九上·定海期中）的外心在三角形的內(nèi)部，則是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷

2．（2023九上·臨沭期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，圓心坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

3．（2023九上·諸暨月考）給定下列圖形可以確定一個圓的是（）

A．已知圓心B．已知半徑C．已知直徑D．已知三個點(diǎn)

4．（2023九上·宿遷月考）給出下列命題：①弦是直徑；②半圓是??；③長度相等的兩段弧是等??；④圓上兩點(diǎn)間的線段叫弧；⑤過圓心的線段是直徑；⑥直角三角形的三個頂點(diǎn)在同一個圓上.其中正確的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

5．（2023九上·越城期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（）

A．1.5B．2C．2.5D．5

6．（2022九上·廣平期末）下列條件中，能確定一個圓的是（）

A．經(jīng)過已知點(diǎn)MB．以點(diǎn)O為圓心，長為半徑

C．以長為半徑D．以點(diǎn)O為圓心

7．（2022九上·杭州月考）如圖，為等腰直角三角形的斜邊（為定長線段），為的中點(diǎn)，為延長線上的一個動點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，給出下列四個結(jié)論：①為的外心；②；③；④.其中正確的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

8．（2022九上·利辛月考）已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則該直角三角形外接圓的半徑長為（）

A．3B．4C．6D．2.5

二、填空題

9．（2022九上·長沙月考）在中，，則外接圓半徑R=.

10．（2023九上·青岡期末）在中，是它的外心，cm，到的距離是5cm，則的外接圓的半徑為cm．

11．（2023九上·余姚期末）如圖，點(diǎn)B、E、C在一直線上，在直線同側(cè)，，，當(dāng)時(shí)，外接圓的半徑為．

12．（2022九上·青州期中）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)上，圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是．

13．（2023九上·西城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．

三、解答題

14．（2023九上·廬陽期末）如圖，學(xué)校某處空地上有A、B、C三棵樹，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個圓形景觀魚池，要求A、B、C三棵樹恰在圓周上，請你幫助設(shè)計(jì)魚池，在圖中作出它的魚池輪廓，保留作圖痕跡并將圓心標(biāo)記為點(diǎn)O．

15．（2023九上·萊陽期末）如圖，AD為△ABC的外接圓O的直徑，AE⊥BC于E．求證：∠BAD=∠EAC．

四、綜合題

16．（2022九上·義烏月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、.

（1）①以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)畫出，使得與位似，且點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，位似比為2：1.

②點(diǎn)坐標(biāo)為▲.

③的面積為▲個平方單位.

（2）的外接圓圓心的坐標(biāo)為.

17．（2022九上·西山期中）如圖，是等邊的外接圓．

（1）如圖1，連接AO，延長AO交弦BC于點(diǎn)M，交于點(diǎn)P．連接PB，PC．求證：；

（2）如圖2，若P為上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：∵銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，

∴△ABC是銳角三角形，

故答案為：A.

【分析】三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形外心與三角形的位置關(guān)系可判斷三角形的形狀．

2．【答案】B

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．

如圖所示，則圓心是（2，0）．

故答案為：B．

【分析】作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，再求解即可。

3．【答案】C

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：A、不能確定，因?yàn)榘霃讲淮_定，故不符合題意；

B、不能確定，因?yàn)閳A心的位置不確定，故不符合題意；

C、能確定，給定一直徑，則圓心和半徑確定，所以可以確定一個圓，故符合題意；

D、不能確定，不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個圓，在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個圓，故不符合題意；

故答案為：C.

【分析】圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，故知道圓心和半徑可以確定一個圓；不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個圓；平面內(nèi)任意三點(diǎn)都不在同一直線的四點(diǎn)，如果滿足：①以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)確定一個圓，②同底，且同側(cè)的兩個三角形，如果同底所對的兩個角相等，那么這四點(diǎn)確定一個圓，據(jù)此一一判斷得出答案.

4．【答案】C

【知識點(diǎn)】圓的認(rèn)識；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，故弦不一定是直徑，原說法錯誤；

②圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，半圓是弧，原說法正確；

③在同圓或等圓中，長度相等的兩段弧叫做等弧，原說法錯誤；

④圓上兩點(diǎn)間的線段叫弦，原說法錯誤；

⑤過圓心的弦是直徑，原說法錯誤；

⑥直角三角形的三個頂點(diǎn)共圓，都在以斜邊的一半為半徑的圓上，原說法正確；

∴正確的有②⑥兩個，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)弦的定義，可對①作出判斷；根據(jù)弧的定義對②作判斷；等弧必須在同圓或等圓中，則可對③作出判斷；圓上兩點(diǎn)間的線段叫弦，而不是弧，可對④作判斷；過圓心的線段不一定是弦，而直徑是弦，可對⑤作判斷；每個三角形都有一個外接圓，對⑥作判斷.

5．【答案】C

【知識點(diǎn)】勾股定理；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：直角三角形兩條直角邊為3，4

那么此直角三角形的斜邊為

即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理求出斜邊的長，然后根據(jù)直角三角形外接圓的直徑為斜邊的長進(jìn)行解答.

6．【答案】B

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，

∴B選項(xiàng)符合題意，

故答案為：B．

【分析】利用確定圓的條件逐項(xiàng)判斷即可。

7．【答案】D

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：①為等腰斜邊上的中線，

垂直平分，

又垂直平分，

為的外心，

故①正確；

②為的外心，，

，

故②正確；

③，

，

又，

∴，

，

即，

故③正確；

④過作，交于，

則是等腰直角三角形，

，，

，

又，，

∴，

，

，

.故④正確，

綜上所述，正確的有①②③④.

故答案為：D.

【分析】由題意可得CO垂直平分AB，結(jié)合DE垂直平分PB可得E為△ABP的外心，據(jù)此判斷①②；根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EBO=∠PBC，證明△BPC∽△BEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可判斷③；過E作EM⊥OC，交AC于M，則△EMC是等腰直角三角形，MC=EC，∠PME=45°，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠PEM=∠BEC，利用SAS證明△PME≌△BCE，得到PM=BC=AB，則PM=CM+PC=EC+PC，據(jù)此判斷④.

8．【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：，

，

解得，；

所以直角三角形的兩條直角邊為：3、4，

由勾股定理得：斜邊長；

所以直角三角形的外接圓半徑長為2.5，

故答案為：D．

【分析】先解方程得x=3，x=4，即得兩直角邊長，再利用勾股定理求出斜邊長，由于直角三角形的外接圓半徑長為斜邊長的一半，即得結(jié)論.

9．【答案】2

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：在中，

直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，

外接圓半徑為斜邊長的一半

外接圓半徑

故答案為：2.

【分析】根據(jù)直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)可得其外接圓的半徑等于斜邊長的一半即可得出答案.

10．【答案】13

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：如圖所示，

∵O為外心，OD⊥BC，

∴BD＝BC＝12，又OD＝5，

∴由勾股定理，得

OB＝（cm），

∴△ABC的外接圓的半徑是13cm．

故答案為：13．

【分析】先求出BD＝BC＝12，再結(jié)合OD＝5，利用勾股定理求出OB的長即可。

11．【答案】

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的外接圓與外心；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CO⊥DE交BH的延長線于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，

∵BE=BA，

∴AH垂直平分AE，

∵CD=CE，

∴CO垂直平分DE，

∴點(diǎn)O是△ADE的外心，

∴∠OBC=∠ABE=α，∠OCB=∠DCE=α，

∴∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∵OF⊥BC，

∴CF=CB=（BE+CE）=，

∴EF=CE-CF=，

∵，

∴

解之：，

∴.

故答案為：.

【分析】過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CO⊥DE交BH的延長線于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，利用已知可證得AH垂直平分AE，CO垂直平分DE，可得到點(diǎn)O是△ADE的外心，由此可證得∠OBC=∠OCB，利用等角對等邊可知OB=OC；再利用等腰三角形的性質(zhì)可求出CF的長，即可得到EF的長，利用銳角三角形函數(shù)的定義可求出OF的長；然后利用勾股定理求出OE的長，即可得到△ADE的外接圓的半徑.

12．【答案】（5，2）

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：設(shè)三角形的外心為，由題意可得：

，

則，

解方程可得：，

故答案為（5，2）．

【分析】設(shè)三角形的外心為，根據(jù)，可得，再求出，即可得到答案。

13．【答案】（2，1）

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．

如圖所示，則圓心是（2，1）．

故答案為（2，1）．

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，作弦AB和BC的垂直平分線，即可得出答案。

14．【答案】解：如圖所示．連接，分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)O，以的長度為半徑，O為圓心作圓，則即為所求，

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【分析】先作的垂直平分線，再根據(jù)題意作圖即可。

15．【答案】證明：連接BD，

∵AD是△ABC的外接圓直徑，

∴∠ABD=90°．

∴∠BAD+∠D=90°．

∵AE是△ABC的高，

∴∠AEC=90°．

∴∠CAE+∠ACB=90°．

∵∠D=∠ACB，

∴∠BAD=∠EAC．

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【分析】因?yàn)锳D是△ABC的外接圓直徑，所以∠ABD=90°，根據(jù)∠BAD+∠D=90°，∠AEC=90°，可知∠D=∠ACB，所以∠BAD=∠CAE．

16．【答案】（1）解：①如圖，即為所求；

；②（2，2）；③4

（2）（2，3）

【知識點(diǎn)】三角形的面積；三角形的外接圓與外心；作圖﹣位似變換

【解析】【解答】（1）解：②點(diǎn)坐標(biāo)為；

故答案為：；

③

∴的面積為4個平方單位；

故答案為：4；

（2）解：如圖，利用網(wǎng)格的特點(diǎn)，作、的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)，

即為的外接圓圓心；

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

故答案為：.

【分析】（1）①連接OA并延長至點(diǎn)D，使OD=2OA，連接OB并延長至點(diǎn)E，使OE=2OB，在y軸上C點(diǎn)的上方找點(diǎn)F，使OF=2OC，再連接D、E、F即可；②根據(jù)點(diǎn)D的位置讀出其坐標(biāo)即可；③根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式直接計(jì)算即可得出△DEF的面積；

（2）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)，作AB、AC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)M就是△ABC的外接圓的圓心，根據(jù)點(diǎn)M的位置讀出其坐標(biāo)即可.

17．【答案】（1）證明：連接OB、OC

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60°，

又∵OB=OP=OC，

∴△OBP與△OCP均為等邊三角形，

∴，，

則，

即證：.

（2）解：仍然成立，理由如下，

如圖，延長PB至點(diǎn)D，使得BD=CP，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠APC=∠ABC=60°，

又∵∠ABP+∠ACP=180°，

∠ABP+∠ABD=180°，

∴∠ABD=∠ACP，

∴△ABD≌△ACP(SAS)，

∴AD=AP，∠D=∠APC=60°，

∴△ADP是等邊三角形，

∴PA=PD=PB+BD=PB+BC，

即.

【知識點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用等邊三角形與圓的基本性質(zhì)，易證△OBP與△OCP均為等邊三角形，從而利用特殊性易證得；

（2）利用線段和差關(guān)系選擇截長或補(bǔ)短(此處只演示補(bǔ)短)構(gòu)造全等或利用旋轉(zhuǎn)將CP與BP加和，進(jìn)而只需證DP=AP，故而先證△ABD≌△ACP，進(jìn)而利用全等性質(zhì)即得△ADP是等邊三角形，從而得證。

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一、選擇題

1．（2022九上·定海期中）的外心在三角形的內(nèi)部，則是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷

【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：∵銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，

∴△ABC是銳角三角形，

故答案為：A.

【分析】三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形外心與三角形的位置關(guān)系可判斷三角形的形狀．

2．（2023九上·臨沭期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，圓心坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．

如圖所示，則圓心是（2，0）．

故答案為：B．

【分析】作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，再求解即可。

3．（2023九上·諸暨月考）給定下列圖形可以確定一個圓的是（）

A．已知圓心B．已知半徑C．已知直徑D．已知三個點(diǎn)

【答案】C

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：A、不能確定，因?yàn)榘霃讲淮_定，故不符合題意；

B、不能確定，因?yàn)閳A心的位置不確定，故不符合題意；

C、能確定，給定一直徑，則圓心和半徑確定，所以可以確定一個圓，故符合題意；

D、不能確定，不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個圓，在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個圓，故不符合題意；

故答案為：C.

【分析】圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，故知道圓心和半徑可以確定一個圓；不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個圓；平面內(nèi)任意三點(diǎn)都不在同一直線的四點(diǎn)，如果滿足：①以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)確定一個圓，②同底，且同側(cè)的兩個三角形，如果同底所對的兩個角相等，那么這四點(diǎn)確定一個圓，據(jù)此一一判斷得出答案.

4．（2023九上·宿遷月考）給出下列命題：①弦是直徑；②半圓是弧；③長度相等的兩段弧是等弧；④圓上兩點(diǎn)間的線段叫弧；⑤過圓心的線段是直徑；⑥直角三角形的三個頂點(diǎn)在同一個圓上.其中正確的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【知識點(diǎn)】圓的認(rèn)識；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，故弦不一定是直徑，原說法錯誤；

②圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，半圓是弧，原說法正確；

③在同圓或等圓中，長度相等的兩段弧叫做等弧，原說法錯誤；

④圓上兩點(diǎn)間的線段叫弦，原說法錯誤；

⑤過圓心的弦是直徑，原說法錯誤；

⑥直角三角形的三個頂點(diǎn)共圓，都在以斜邊的一半為半徑的圓上，原說法正確；

∴正確的有②⑥兩個，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)弦的定義，可對①作出判斷；根據(jù)弧的定義對②作判斷；等弧必須在同圓或等圓中，則可對③作出判斷；圓上兩點(diǎn)間的線段叫弦，而不是弧，可對④作判斷；過圓心的線段不一定是弦，而直徑是弦，可對⑤作判斷；每個三角形都有一個外接圓，對⑥作判斷.

5．（2023九上·越城期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（）

A．1.5B．2C．2.5D．5

【答案】C

【知識點(diǎn)】勾股定理；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：直角三角形兩條直角邊為3，4

那么此直角三角形的斜邊為

即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理求出斜邊的長，然后根據(jù)直角三角形外接圓的直徑為斜邊的長進(jìn)行解答.

6．（2022九上·廣平期末）下列條件中，能確定一個圓的是（）

A．經(jīng)過已知點(diǎn)MB．以點(diǎn)O為圓心，長為半徑

C．以長為半徑D．以點(diǎn)O為圓心

【答案】B

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，

∴B選項(xiàng)符合題意，

故答案為：B．

【分析】利用確定圓的條件逐項(xiàng)判斷即可。

7．（2022九上·杭州月考）如圖，為等腰直角三角形的斜邊（為定長線段），為的中點(diǎn)，為延長線上的一個動點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，給出下列四個結(jié)論：①為的外心；②；③；④.其中正確的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】D

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：①為等腰斜邊上的中線，

垂直平分，

又垂直平分，

為的外心，

故①正確；

②為的外心，，

，

故②正確；

③，

，

又，

∴，

，

即，

故③正確；

④過作，交于，

則是等腰直角三角形，

，，

，

又，，

∴，

，

，

.故④正確，

綜上所述，正確的有①②③④.

故答案為：D.

【分析】由題意可得CO垂直平分AB，結(jié)合DE垂直平分PB可得E為△ABP的外心，據(jù)此判斷①②；根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EBO=∠PBC，證明△BPC∽△BEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可判斷③；過E作EM⊥OC，交AC于M，則△EMC是等腰直角三角形，MC=EC，∠PME=45°，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠PEM=∠BEC，利用SAS證明△PME≌△BCE，得到PM=BC=AB，則PM=CM+PC=EC+PC，據(jù)此判斷④.

8．（2022九上·利辛月考）已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則該直角三角形外接圓的半徑長為（）

A．3B．4C．6D．2.5

【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：，

，

解得，；

所以直角三角形的兩條直角邊為：3、4，

由勾股定理得：斜邊長；

所以直角三角形的外接圓半徑長為2.5，

故答案為：D．

【分析】先解方程得x=3，x=4，即得兩直角邊長，再利用勾股定理求出斜邊長，由于直角三角形的外接圓半徑長為斜邊長的一半，即得結(jié)論.

二、填空題

9．（2022九上·長沙月考）在中，，則外接圓半徑R=.

【答案】2

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：在中，

直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，

外接圓半徑為斜邊長的一半

外接圓半徑

故答案為：2.

【分析】根據(jù)直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)可得其外接圓的半徑等于斜邊長的一半即可得出答案.

10．（2023九上·青岡期末）在中，是它的外心，cm，到的距離是5cm，則的外接圓的半徑為cm．

【答案】13

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：如圖所示，

∵O為外心，OD⊥BC，

∴BD＝BC＝12，又OD＝5，

∴由勾股定理，得

OB＝（cm），

∴△ABC的外接圓的半徑是13cm．

故答案為：13．

【分析】先求出BD＝BC＝12，再結(jié)合OD＝5，利用勾股定理求出OB的長即可。

11．（2023九上·余姚期末）如圖，點(diǎn)B、E、C在一直線上，在直線同側(cè)，，，當(dāng)時(shí)，外接圓的半徑為．

【答案】

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的外接圓與外心；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CO⊥DE交BH的延長線于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，

∵BE=BA，

∴AH垂直平分AE，

∵CD=CE，

∴CO垂直平分DE，

∴點(diǎn)O是△ADE的外心，

∴∠OBC=∠ABE=α，∠OCB=∠DCE=α，

∴∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∵OF⊥BC，

∴CF=CB=（BE+CE）=，

∴EF=CE-CF=，

∵，

∴

解之：，

∴.

故答案為：.

【分析】過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CO⊥DE交BH的延長線于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，利用已知可證得AH垂直平分AE，CO垂直平分DE，可得到點(diǎn)O是△ADE的外心，由此可證得∠OBC=∠OCB，利用等角對等邊可知OB=OC；再利用等腰三角形的性質(zhì)可求出CF的長，即可得到EF的長，利用銳角三角形函數(shù)的定義可求出OF的長；然后利用勾股定理求出OE的長，即可得到△ADE的外接圓的半徑.

12．（2022九上·青州期中）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)上，圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是．

【答案】（5，2）

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：設(shè)三角形的外心為，由題意可得：

，

則，

解方程可得：，

故答案為（5，2）．

【分析】設(shè)三角形的外心為，根據(jù)，可得，再求出，即可得到答案。

13．（2023九上·西城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．

【答案】（2，1）

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．

如圖所示，則圓心是（2，1）．

故答案為（2，1）．

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，作弦AB和BC的垂直平分線，即可得出答案。

三、解答題

14．（2023九上·廬陽期末）如圖，學(xué)校某處空地上有A、B、C三棵樹，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個圓形景觀魚池，要求A、B、C三棵樹恰在圓周上，請你幫助設(shè)計(jì)魚池，在圖中作出它的魚池輪廓，保留作圖痕跡并將圓心標(biāo)記為點(diǎn)O．

【答案】解：如圖所示．連接，分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)O，以的長度為半徑，O為圓心作圓，則即為所求，

【知識點(diǎn)】確定圓的條件

【解析】【分析】先作的垂直平分線，再根據(jù)題意作圖即可。

15．（2023九上·萊陽期末）如圖，AD為△ABC的外接圓O的直徑，AE⊥BC于E．求證：∠BAD=∠EAC．

【答案】證明：連接BD，

∵AD是△ABC的外接圓直徑，

∴∠ABD=90°．

∴∠BAD+∠D=90°．

∵AE是△ABC的高，

∴∠AEC=90°．

∴∠CAE+∠ACB=90°．

∵∠D=∠ACB，

∴∠BAD=∠EAC．

【知識點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【解析】【分析】因?yàn)锳D是△ABC的外接圓直徑，所以∠ABD=90°，根據(jù)∠BAD+∠D=90°，∠AEC=90°，可知∠D=∠ACB，所以∠BAD=∠CAE．

四、綜合題

16．（2022九上·義烏月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、.

（1）①以