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第十二章全等三角形第2課時(shí)角平分線的判定1.探索并證明角平分線的判定:角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.會(huì)用角平分線的判定解決實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)
新課引入你還記得上節(jié)課所學(xué)的角平分線的性質(zhì)定理嗎?角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.那么在角的內(nèi)部,到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢?一
角平分線的判定思考如圖,要在
S
區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),使它到鐵路和公路的距離相等,并且離公路與鐵路的交叉處
500m,這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處?DCSO解:作夾角的角平分線
OC,在射線OC上截取
OD=500m,則點(diǎn)
D即為所求.新知學(xué)習(xí)我們知道,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢?利用三角形全等,可以得到角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.按照上述證明命題的步驟,自己證一證這個(gè)結(jié)論.證明如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中,
PE=PD,PO=PO,
∴Rt△PEO≌Rt△PDO(HL).
∴∠AOC=∠BOC.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.歸納角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.使用定理時(shí)這樣書寫:∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐例1如圖,BE=CF,DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F且DB=DC.求證:AD是∠BAC的平分線.證明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中,BE=CF,
DB=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.∴即AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐二
三角形的內(nèi)角平分線探究1分別畫出以下三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),且交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部.ABC┐ABCABC探究2過交點(diǎn)分別作三角形三邊的垂線,測(cè)量一下每一組垂線段的長(zhǎng)度,你發(fā)現(xiàn)了什么?ABCABBCAC過三角形三條角平分線交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.┐┐┐┐┐┐┐┐┐D
E
F
A
B
C
P
N
M
例2如圖,△ABC的角平分線
BM,CN相交于點(diǎn)
P,求證:點(diǎn)
P到三邊
AB,BC,CA
的距離相等.證明:過點(diǎn)
P作
PD,PE,PF分別垂直于
AB,BC,CA,垂足分別為
D,E,F(xiàn).∵BM是△ABC
的角平分線,點(diǎn)
P
在
BM
上,∴PD=PE.同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)
P到三邊
AB,BC,CA的距離相等.針對(duì)訓(xùn)練1.如圖,在直角△ABC
中,AC=BC,∠C
=90°,AP
平分∠BAC,BD
平分∠ABC;AP,BD
交于點(diǎn)
O,過點(diǎn)
O
作
OM⊥AC于點(diǎn)
M,若
OM=4.(1)
求點(diǎn)
O
到△ABC
三邊的距離和;MENABCPOD解:如圖,過點(diǎn)
O
作
ON⊥BC于點(diǎn)
N,過點(diǎn)
O
作
OE⊥AB于點(diǎn)
E,∵OM=4.∴OM+ON+OE=4+4+4=12.(2)
若△ABC
的周長(zhǎng)為
32,求
△ABC
的面積.解:連接
OC.ENABCPODM過三角形三條角平分線的交點(diǎn)O向任一邊作垂線段h,三角形周長(zhǎng)為C,則三角形面積=.隨堂練習(xí)1.如圖,在△ABC
中,點(diǎn)
O
是△ABC
內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn)
O
到△ABC
三邊的距離相等.若∠A=40°,則∠BOC
的度數(shù)為
()A.110°
B.120°
C.130°
D.140°解析:由于
O
到△ABC
三邊的距離相等,故
O
是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),即
BO,CO
都是內(nèi)角的平分線,則∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°,∴∠OBC+∠OCB=70°.∴∠BOC=180°-70°=110°.答案:A證明:如圖,過點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G,F(xiàn)H⊥AD于點(diǎn)H,F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M.2.如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)F在∠BAC的平分線上.GHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上,F(xiàn)G⊥AE,F(xiàn)M⊥BC.∴FG=FM.同理可得∴FM=FH.∴FG=FH,∴點(diǎn)F在∠BAC的平分線上.3.如圖,∠B=∠C=90°,M是BC的中點(diǎn),DM平分∠ADC.求證:AM是∠DAB的平分線.∵DM平分∠ADC,∠C=∠DNM=90°∴MN=MC(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),N解:如圖,作MN⊥AD于N,∵
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