矩陣理論及應用4

第七節(jié)兩個特殊的線性空間歐氏空間1、歐氏空間的定義與性質定義1.7.1（內積和歐氏空間）設是實數(shù)域上的線性空間，若對于中的任意兩個向量和，按某種規(guī)則，恒有惟一的一個實數(shù)與之對應，用記號表示，且滿足1、交換率：2、齊次率：4、正定率：，當且僅當時3、分配率：這里，、和是中任意向量，是任意的實數(shù)，則稱為向量和的內積。定義了內積的實數(shù)域上的線性空間稱為Euclid空間，簡稱歐氏空間或實內積空間。9/16/20231電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間例1.7.2在實數(shù)域上的維方陣按通常的矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法構成的維實線性空間中，若對任意兩個矩陣，，規(guī)定它滿足內積的4條規(guī)則，因此上式是內積，為歐氏空間。

例1.7.1在實數(shù)域上的維向量空間中，若對任意兩個向量規(guī)定（1）（2）驗證它們滿足內積的4條規(guī)則。因此上式是內積，為歐氏空間。9/16/20232電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間內積的基本性質：例1.7.3定義在區(qū)間上的連續(xù)的一元實函數(shù)所構成的線性空間中若對它的任意兩個連續(xù)函數(shù)和，規(guī)定則由定積分的性質，容易驗證，它滿足內積的4條規(guī)則，因此上式是內積，構成歐氏空間。（1）（2）（3）9/16/20233電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間2、度量矩陣對稱矩陣設是維歐氏空間的基，對于中的任意兩個向量其中稱矩陣為對于基的度量矩陣（或Gram矩陣）。正定矩陣9/16/20234電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間例1.7.4設和是維歐氏空間的兩個基，且對于這兩個基的度量矩陣分別為和。求證：與合同，即不同基的度量矩陣是合同的。證明：設9/16/20235電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間3、歐氏空間中兩向量的長度和夾角在解析幾何中,三維空間的向量其向量的長度表示為兩向量的夾角三維空間中的向量及其夾角9/16/20236電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間在歐氏空間中，內積具有其正定性，即且如在上述三維向量空間中，向量的長度可以表示為其內積的定義為在以后的討論中，如無特殊的聲明，在實向量空間中都采用此內積定義。定義1.7.2（歐氏空間中向量的長度）在歐氏空間中，非負實數(shù)稱為中向量的長度（或模，范數(shù)），記為（或），即若，則稱為單位向量。對于任意的非零向量，可取，則是與線性相關（同方向）的單位向量。通常稱此過程為向量的單位化或規(guī)范化。9/16/20237電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間向量長度的性質：（1），且；（2）對任意的，；（3）對任意的，有；（四邊形法則）（4）對任意的，，；（三角法則）（5）對任意的，有，且等號成立的充分必要條件是與線性相關。（Cauchy不等式）證明：證（3）：9/16/20238電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間證（5）分兩種情況：第一種情況：與線性相關的情況第二種情況：與線性無關的情況：對于任意的，有，因此有上式為關于的實系數(shù)的一元二次多項式，要是其恒大于零，則有9/16/20239電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間總結上述兩種情況，得，即，且等號成立的充分必要條件是與線性相關。證（4）：對任意，有9/16/202310電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間由上述性質（5）（Cauchy不等式）可知（歐氏空間中兩向量的夾角和距離）定義1.7.3在中任意兩個非零向量與的夾角定義為與的距離定義為（由長度導出的距離）9/16/202311電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間4、正交性與標準正交基（兩向量的正交或垂直）定義1.7.4對于歐氏空間中的兩個向量與，有，則稱與正交或垂直，記為。例1.7.5對定義在區(qū)間上的三角函數(shù)組，由內積不難驗證其中任意兩個函數(shù)互相正交。9/16/202312電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間（正交向量組）定義1.7.5如果歐氏空間中的一組非零向量兩兩正交，則稱為正交向量組。例1.7.6已知兩向量與正交，證明。證明：由于向量與正交，，因此上式可以推廣到多個向量的情形，即向量組是正交向量組，則有9/16/202313電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間定理1.7.1設是正交向量組，則它們必線性無關。證明：應用反正法，先假設它們是線性相關的，則存在一組不全為零的實數(shù)，使得由于因此必線性無關。（正交基）定義1.7.6在歐氏空間中，由個非零向量組成的正交向量組稱為的正交基；由單位向量組成的正交基稱為標準正交基（或法正交基）。對于標準正交基，有因此，標準正交基下的度量矩陣為單位矩陣。9/16/202314電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間若是的標準正交基，則對于中的任意向量向量的坐標可以通過內積表達出來，因此有定理1.7.2設是歐氏空間的一個基，則可以找到的一個標準正交基，使得Gram—Schmidt正交化方法證明：（1）令作為所求正交基中的第一個向量。（2）令，由正交條件來確定待定系數(shù)。9/16/202315電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間

（3）令，再由正交條件和來確定待定系數(shù)和。，（4）以此類推，可得（5）取。即為的一個標準正交基。9/16/202316電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間解：

例1.7.7將歐氏空間中的向量組，，，化為標準正交向量組。9/16/202317電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間將單位化可得：即為的一個標準正交基。9/16/202318電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間5、內積空間的子空間性質1、若向量組中的每一個向量均與向量正交，則的線性組合也與正交。證明：向量組中的每一個向量均與向量正交，則對任意的，有故與向量正交。9/16/202319電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間定義1.7.7設為歐氏空間的子空間，是中的一個向量，如果對于中的每一個向量，都有，則稱與子空間正交，記為。設為歐氏空間的子空間，向量與正交的充要條件是與的每一基向量正交。定理1.7.3在歐氏空間中，如果把所有與其子空間正交的向量作為一個集合，記為，則這個集合也構成的一個子空間，稱為的正交補空間或的正交補。假設，對于任意的，，，因此有故故為的一個子空間。9/16/202320電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間定理1.7.4任一歐氏空間為其子空間及的正交補空間的直和，即證明：若，則，從而，定理成立。若，設，且的一個標準正交基為對于任意的，令，那么令，由于所以，于是有，即又可得9/16/202321電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間推論：是歐氏空間的子空間，且的維數(shù)為，則的正交補空間的維數(shù)為，即有正交補空間的一個應用（正交補空間與齊次線性方程組的解之間的關系）齊次線性方程組其系數(shù)矩陣9/16/202322電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間引入向量，，于是上述方程組可以改寫為由此可見，求上述方程組的解向量，就是求與正交的向量。齊次方程組的解空間就是的正交補空間。的維數(shù)為齊次方程組的解空間的維數(shù)？設生成的子空間為9/16/202323電子信息工程學院第七節(jié)兩個特殊的線性空間對于任意矩陣，有，，定理1.7.5證明：設矩陣的第個列向量為,并記由定理1.7.4可得同理可證：9/