第四課時(shí) 最值、范圍問(wèn)題

第八章平面解析幾何第四課時(shí)最值、范圍問(wèn)題內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一最值問(wèn)題角度1基本不等式法求最值[思路分析]

由定義求方程→設(shè)直線方程→聯(lián)立橢圓與直線方程→由條件寫出面積的表達(dá)方式→通過(guò)換元，利用基本不等式求出面積的最大值．

→在橢圓中求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng),問(wèn)題，常結(jié)合橢圓的定義求解．又因?yàn)閎2＝a2－c2，所以b2＝2②，(3分)(2)依題意可知直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB方程為x＝my＋2（m≠0）.→在圓錐曲線中設(shè)直線方程時(shí)，若所設(shè)直線可以垂直于x軸，但不能垂直于y軸，則直接設(shè)直線為x＝my＋n(m，n為常數(shù))，這樣可以避免分類討論

易知Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳M⊥x軸，BN⊥x軸，所以M(x1，0)，N(x2，0)．

[滿分規(guī)則]?得步驟分：由①②③準(zhǔn)確運(yùn)用橢圓定義，求出a，b，c可分別得1分，第一問(wèn)共4分，由④聯(lián)立橢圓和直線方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系式得1分，⑤設(shè)直線方程可得1分；?得關(guān)鍵分：由⑥聯(lián)立兩直線求出C點(diǎn)橫坐標(biāo)得2分，⑦表示△ABC面積得1分；?得計(jì)算分：由⑧通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)面積表達(dá)式得1分，由⑨利用換元后，由基本不等式求出最值得3分．

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．解當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意；設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.Δ＝16(4k2－3)>0，

角度2函數(shù)法求最值解由題意，得橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上．

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，0)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△F2MN的面積的最大值．解∵點(diǎn)(－2，0)在橢圓E外，∴直線l的斜率存在．設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：y＝k(x＋2)．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．

Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，

圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．感悟提升

訓(xùn)練2

(2023·濟(jì)南聯(lián)考節(jié)選)已知拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x＝－1上，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且P點(diǎn)在第一象限，滿足FP⊥FQ，記直線OP，OQ，PQ的斜率分別為k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．解設(shè)P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，

題型二范圍問(wèn)題得其右焦點(diǎn)為(1，0)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)重合，故拋物線C的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.

(2)記P(4，0)，若拋物線C上存在兩點(diǎn)B，D，且直線BD的斜率存在，使△PBD為以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求直線BD的斜率的取值范圍．解設(shè)直線BD的方程為y＝kx＋m，則Δ＝(2km－4)2－4k2m2＞0，得km＜1.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，設(shè)BD中點(diǎn)為M(x0，y0)，

由△PBD是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，則PM⊥BD，整理得km＝2－2k2.由km＜1，則2－2k2＜1，解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．感悟提升

∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，

(2)若存在直線l，使得AF2⊥BF2，求Γ的離心率的取值范圍．得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，∴(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，∴(m2＋1)b4＝4a2c2，

∴c4＋a4－6a2c2≤0，∴e4－6e2＋1≤0，∴4a2＜b2＝c2－a2，∴e2＞5.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固】解由已知可得點(diǎn)A(－6，0)，F(xiàn)(4，0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.又－6≤m≤6，解得m＝2.由橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，由于－6≤x≤6，(2)過(guò)點(diǎn)(0，2)的直線l(直線l不與x軸垂直)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且O為坐標(biāo)原點(diǎn).求△MON的面積的最大值.解因?yàn)橹本€l不與x軸垂直，則l的斜率k存在，設(shè)l的方程為y＝kx＋2，因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，解因?yàn)闄E圓E過(guò)點(diǎn)A(0，－2)，所以b＝2.(2)過(guò)點(diǎn)P(0，－3)的直線l斜率為k，交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC交y＝－3于點(diǎn)M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范圍.解由題意可得，直線l的斜率存在，且直線l的方程為y＝kx－3，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2).Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)>0，故k>1或k<－1.即|k|≤3，解得－3≤k≤3.綜上，k的取值范圍為[－3，－1)∪(1，3].4.(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p，0)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|＝3. (1)求C的方程；【B級(jí)

能力提升】(2)設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.解根據(jù)(1)知F(1，0)，D(2，0).當(dāng)MN的斜率存在時(shí),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，同理，可得直線AM的方程為y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直線BN的方程為y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直線AB的方程為y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因?yàn)?/p>