第1節(jié) 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念

第四章三角函數(shù)、解三角形第1節(jié)任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．考試要求知識診斷基礎夯實內容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實11.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的______旋轉所形成的圖形.知識梳理端點正角負角零角象限角(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.(2)公式半徑長|α|r3.任意角的三角函數(shù)(1)定義前提如圖，設α是一個任意角，它的終邊與________交于點P(x，y)單位圓yyxx(2)定義的推廣設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sinα＝

；cosα＝

，tanα＝

(x≠0).[常用結論]1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.3.象限角4.軸線角1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角.(

)(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.(

)(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關.(

)(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.(

)×診斷自測×√√(2)第一象限角不一定是銳角.A.第一象限角

B.第二象限角C.第一或二象限角

D.第一或三象限角D3.(必修一P180T3改編)已知角θ的終邊經(jīng)過點P(－12，5)，則sinθ＋cosθ＝________.4.已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________.12πKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一象限角及終邊相同的角例1

(1)(多選)下列命題正確的是(

)AD

D項，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，從而當k＝－2時，β＝－675°；當k＝－1時，β＝－315°，故正確.

C感悟提升C

考點二弧度制及其應用例2

已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

(2)若扇形的周長是20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解由已知，得l＋2R＝20，所以當R＝5(cm)時，S取得最大值，此時l＝10(cm)，α＝2.

應用弧度制解決問題時應注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.感悟提升訓練2

(1)(多選)(2022·青島質檢)已知扇形的周長是6，面積是2，下列選項可能正確的有(

)A.圓的半徑為2 B.圓的半徑為1C.圓心角的弧度數(shù)是1 D.圓心角的弧度數(shù)是2ABC解析設扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α，可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.(2)(2023·廣州檢測)數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三角形(如圖所示).若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是(

)D考點三三角函數(shù)的定義及應用角度1三角函數(shù)的定義例3

(1)(2023·石家莊質檢)已知角α的終邊上一點P的坐標為(－2，1)，則cosα的值為(

)D

A角度2三角函數(shù)值的符號例4

(多選)(2022·重慶八中月考)已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(m，1－m).若m＞0，則下列各式的符號無法確定的是(

) A.sinα B.cosα C.sinα－cosα D.sinα＋cosαAC對于A，當m∈(0，1)時，sinα＞0；當m∈(1，＋∞)時，sinα＜0；當m＝1時，sinα＝0，所以sinα符號無法確定.1.三角函數(shù)定義的應用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.要判定三角函數(shù)值的符號，關鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.感悟提升訓練3(1)(2023·無錫調考)已知角α的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，若點P(sinα，tanα)在第四象限，則角α的終邊在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限B解析∵點P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα＞0，tanα＜0，∴角α的終邊在第二象限，故選B.

(2)sin2·cos3·tan4的值(

)A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在A所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·tan4＜0.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3C【A級

基礎鞏固】A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角D又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角.3.(2023·北京東城區(qū)調研)在平面直角坐標系中，角α的終邊過點(－1，0)，將α的終邊繞原點按逆時針方向旋轉120°與角β的終邊重合，則cosβ＝(

)A解析由題意知α＝π＋2k1π，k1∈Z，4.已知點P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的終邊上，且θ∈[－2π，0)，則角θ的大小為(

)D所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，5.(多選)下面說法正確的有(

)AD

DCB解析設∠AOB＝θ，半圓的半徑為r，扇形OCD的半徑為r1，9.若α＝1560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝_____________.解析因為α＝1560°＝4×360°＋120°，所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.120°或－240°3π10.已知扇形的圓心角為120°，弧長為2π，則扇形面積為________.ABD【B級

能力提升】13.(多選)如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，點B的坐標為(1，0)，∠BOA＝60°，質點A以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則(

)B