三角形的各個心

三角形的各個心集團公司文件內(nèi)部編碼TTT-UUTT-MMYB-URTTY-ITTLTY-三角形中心三角形只有五種心重心:三中線的交點,三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中垂心:三高的交點;內(nèi)心:三內(nèi)角平分線的交點,是三角形的內(nèi)切圓的圓心的簡稱;外心:三中垂線的交點;旁心:一條內(nèi)角平分線與其它二外角平分線的交點.(共有三個.)是三角形的旁切圓的圓心的簡稱.當且僅當三角形是正三角形的時候,四心合一心,稱做正三角形的中心.三角形重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用證明，十分簡單。證明過程又是的特例。證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。重心的幾條性質(zhì)：1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間——橫坐標：(X1+X2+X3)/3縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標：（z1+z2+z3）/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。重心三條中線定相交，交點位置真奇巧，交點命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；長短之比二比一，靈活運用掌握好.三角形垂心的性質(zhì)設⊿ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.1、的垂心在三角形內(nèi)；的垂心在直角頂點上；的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形3、垂心H關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。4、△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。9、設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10、銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的211、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓三角形內(nèi)心定義在三角形中,三個角的角平分線的交點是這個三角形內(nèi)切圓的圓心而三角形的圓心就叫做三角形的內(nèi)心,三角形內(nèi)心的性質(zhì)設⊿ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.1、三角形的三條交于一點，該點即為三角形的內(nèi)心.2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.3、r=S/p.4、在Rt△ABC中，∠C=90°,r=(a+b-c)/2.5、∠BIC=90°+A/2.6、點O是平面ABC上任意一點，點I是⊿ABC內(nèi)心的是：a(OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.7、點O是平面ABC上任意一點，點I是⊿ABC內(nèi)心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC內(nèi)心I的坐標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)).和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr.10、（內(nèi)角平分線分三邊長度關系）⊿ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、則BQ/QA=a/b,CP/PA=a/c,BR/RC=c/b.三角形外心定義三角形的圓心叫做三角形的外心.三角形外心的性質(zhì)設⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.1、三角形三條邊的的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.2、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合.3、GA=GB=GC=R.3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).4、R=abc/4S⊿ABC.5、點G是平面ABC上一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.6、點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).7、點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.8、設d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）水利工程師，數(shù)學家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。具體內(nèi)容塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法簡介(Ⅰ)本題可利用證明：∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1(Ⅱ)也可以利用面積關系證明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明條高線必交于一點:設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點?？捎萌叨ɡ碜C明的其他定理;三角形三條中線交于一點:如圖5D,E分別為BC,AC中點所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1且因為AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三條中線交于一點此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=-1）塞瓦定理推論1.設E是△ABD內(nèi)任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)·(CE/AE)·(GA/DG)=1因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)·(CE/AE)·(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點的是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及易證3.如圖，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點的充分必要(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦