考點(diǎn)24 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

考點(diǎn)24數(shù)列求和及綜合應(yīng)用1.(2021·浙江高考·T10)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*).記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則A.12<S100<3 B.3<S100C.4<S100<92 D.92<S【命題意圖】本題主要考查數(shù)列的綜合應(yīng)用及均值不等式.考查考生分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力.【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*),所以a2=12,a3=1-22,0<an+1由an+1=an1+an,可得1an+1=1a所以1an+1<1an+122,所以1an+1<1an+12,即1an+1?1an<12,由累加法得1an≤1+n-12=n+12所以an+1an≤n+1n+3,則an+1an·anan-1·an-1an-2即an+1a1≤3×2(n+3)(n+2),所以61101-1102+1100-1101+…+13-14+12-1【反思總結(jié)】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到an,an+1的不等關(guān)系,再由累加法可求得an≥4(n+1)2,由題目條件可知要證S100小于某數(shù),從而通過(guò)局部放縮得到an,an+1的不等關(guān)系,改變不等式的方向得到an2.(2021·北京新高考·T10)數(shù)列{an}是遞增的整數(shù)數(shù)列,且a1≥3,a1+a2+…+an=100,則n的最大值為 ()A.9 B.10 C.11 D.12【命題意圖】本題考查數(shù)列求和、數(shù)列單調(diào)性、整數(shù)的性質(zhì)等問(wèn)題,意在考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想,邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【解析】選C.要想n最大,前面的項(xiàng)越小越好.考慮從3開(kāi)始的連續(xù)整數(shù),3到13的和不足100,3到14的和超過(guò)100,所以要想n最大,需取3到12,再添上一個(gè)數(shù)使得和為100(此數(shù)為25,但不需要算出),此時(shí)有11個(gè)數(shù),即n最大為11.3.(2021·新高考I卷·T16)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推,則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折n次,那么∑k=1nSk=【命題意圖】本題主要考查實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,旨在考查數(shù)據(jù)處理能力及邏輯推理能力.【解析】對(duì)折3次有2.5×12,6×5,3×10,20×1.5共4種,面積和為S3=4×30=120dm2,對(duì)折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5種,面積和為S4=5×15=75dm2,對(duì)折n次有n+1種類型,Sn=2402n(n+1),因此∑k=1nS12∑k=1nSk=240·222+323答案:5240·34.(2021·浙江高考·T20)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若Tn≤λbn對(duì)任意n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查構(gòu)造遞推公式、錯(cuò)位相減等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),4(a1+a2)=3a1-9,4a2=94-9=-274,∴a2=-當(dāng)n≥2時(shí),由4Sn+1=3Sn-9①,得4Sn=3Sn-1-9②,①-②得4an+1=3an,a2=-2716≠0,∴an≠0,∴an+1an=34∴{an}是首項(xiàng)為-94,公比為34的等比數(shù)列,∴an=-94·34(2)由3bn+(n-4)an=0,得bn=-n-43an=(n-4)34n,所以Tn=-3×34-2×342-1×343+0×334Tn=-3×342-2×343-1×344+…+(n-5)·34兩式相減得14Tn=-3×34+342+343+344+…+=-94+9161-34n-11-34-(n-4)34n+1=-9所以Tn=-4n·34n+1,由Tn≤λbn得-4n·34n+1≤λ(n-4)·34n恒成立,即λ(nn=4時(shí)不等式恒成立,n<4時(shí),λ≤-3nn-4=-3-12n-n>4時(shí),λ≥-3nn-4=-3-12n-4,得λ≥-3,【反思總結(jié)】本題易錯(cuò)點(diǎn):(1)已知Sn求an不要忽略n=1的情況;(2)恒成立分離參數(shù)時(shí),要注意變量的正負(fù)零討論,如(2)中λ(n-4)+3n≥0恒成立,要對(duì)n-4=0,n-4>0,n-4<0討論,還要注意n-4<0時(shí),分離參數(shù)不等式要變號(hào).5.(2021·北京新高考·T21)(12分)定義Rp數(shù)列{an}:對(duì)實(shí)數(shù)p,滿足:①a1+p≥0,a2+p=0;②?n∈N*,a4n-1<a4n;③am+n∈{am+an+p,am+an+p+1},m,n∈N*.(Ⅰ)對(duì)于前4項(xiàng)2,-2,0,1的數(shù)列,可以是R2數(shù)列嗎?說(shuō)明理由;(Ⅱ)若{an}是R0數(shù)列,求a5的值;(Ⅲ)是否存在p,使得存在Rp數(shù)列{an},對(duì)?n∈N*,Sn≥S10?若存在,求出所有這樣的p;若不存在,說(shuō)明理由.【命題意圖】本題考查數(shù)列通項(xiàng)、求和等等,意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng).【解析】(I)不可以是R2數(shù)列.理由如下:當(dāng)m=n=1時(shí),a2?{a1+a1+2,a1+a1+3},不滿足③,故不可以是R2數(shù)列;(II)若an是R0是數(shù)列,則a2+0=0,故a2=0,令m=n=1,a2∈{2a1,2a1+1故a1=0或a1=-12(舍),則a1=0,令m=1,n=2,得到a3∈{0,1令m=n=2,得到a4∈{0,1},又a3<a4,所以a3=0,a4=1,令m=2,n=3,a5∈{0,1},令m=1,n=4,a5∈{1,2},故a5=1;(Ⅲ)存在p=2,使得存在Rf數(shù)列{an},對(duì)?n∈N*,Sn≥S10.由題意知,a2=-p,a2∈{2a1+p,2a1+p+1},又a1+p≥a2+p,故a1≥a2,可得a1=-p,因?yàn)閍3∈{-p,-p+1},a4∈{-p,-p+1},且a4>a3,故a3=-p,a4=-p+1,因?yàn)閍5∈{-p+1,-p+2},a5∈{-p,-p+1},故a5=-p+1,a6∈{-p+1,-p+2},a6∈{-p,-p+1},故a6=-p+1,a7∈{-p+1,-p+2},a8∈{-p+1,-p+2},又a8>a7,故a7=-p+1,a8=-p+2,a9∈{-p+2,-p+3},a9∈{-p+1,-p+2},故a9=-p+2,a10∈{-p+2,-p+3},a10∈{-p+1,-p+2},故a10=-p+2,a11∈{-p+2,-p+3},a12∈{-p+2,-p+3},又a12>a11,故a