高等數(shù)學(xué)各章總結(jié)

第一章函數(shù)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：函數(shù)函數(shù)集合函數(shù)關(guān)系實(shí)數(shù)集（區(qū)間）集合的運(yùn)算（交、并、補(bǔ)）實(shí)數(shù)集（區(qū)間）函數(shù)的表示基本初等函數(shù)，初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)分段函數(shù)反函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性奇偶性周期性有界性經(jīng)濟(jì)學(xué)常用函數(shù)建立函數(shù)關(guān)系（應(yīng)用問題）二、例題：判斷題設(shè),,可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)；函數(shù)的定義域是且；函數(shù)在內(nèi)無界；函數(shù)在內(nèi)無界；是奇函數(shù)；與是相同函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；與是同一函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)的定義域是；與不是同一個(gè)函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).填空題設(shè)則復(fù)合函數(shù)為=_________；設(shè),,則=_______；復(fù)合函數(shù)是由________,________,_______函數(shù)復(fù)合而成的；已知,則__________；,其定義域?yàn)開_________；設(shè)函數(shù),則=__________；考慮奇偶性,函數(shù)為___________函數(shù)；函數(shù)的反函數(shù)是,它的圖象與的圖象關(guān)于________對(duì)稱.選擇題函數(shù)的定義域是()(A)(B)(C)(D)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)()(A)單調(diào)增加(B)單調(diào)減少(C)不增不減(D)有增有減下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是()(A)(B)(C)(D)已知函數(shù)，則的值為()(A)(B)(C)1(D)2

第二章極限與連續(xù)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：極限連續(xù)極限連續(xù)極限連續(xù)極限的定義極限的性質(zhì)數(shù)列極限連續(xù)的定義一點(diǎn)處的連續(xù)開區(qū)間上連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性最值性介值性零點(diǎn)定理極限的計(jì)算函數(shù)極限唯一性有界性保號(hào)性四則運(yùn)算法則夾逼準(zhǔn)則無窮小性質(zhì)及等價(jià)無窮小代換兩個(gè)重要極限連續(xù)函數(shù)的計(jì)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的復(fù)合無窮小與無窮大及關(guān)系由連續(xù)性求極限初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)及類型二、例題：判斷題函數(shù)在點(diǎn)處有極限，則函數(shù)在點(diǎn)必連續(xù)；時(shí),與是等價(jià)無窮小量；若，則必在點(diǎn)連續(xù)；當(dāng)時(shí)，與相比是高階無窮??；函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)；設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，則；函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)；是函數(shù)的間斷點(diǎn)；是一個(gè)無窮小量；當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)的無窮小量；若存在，則在處有定義；若與是同一過程下兩個(gè)無窮大量，則在該過程下是無窮小量；是一個(gè)復(fù)合函數(shù)；；；函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)；是函數(shù)的間斷點(diǎn)；以零為極限的變量是無窮小量；填空題_______；=_______；函數(shù)在_______處間斷；=_______；當(dāng)時(shí)，是比______階的無窮小量；當(dāng)時(shí)，若與是等價(jià)無窮小量，則______；__________；設(shè)連續(xù)，則_________；___________；________；_________；設(shè)在處________（是、否）連續(xù)；當(dāng)時(shí)，與是______（同階、等價(jià)）無窮小量.選擇題當(dāng)時(shí)，為()(A)無窮小量(B)無窮大量(C)有界變量但不是無窮小量(D)無界變量時(shí)，下列變量中為無窮大量的是()(A)(B)(C)(D)已知函數(shù)，則和()(A)都存在(B)都不存在(C)第一個(gè)存在，第二個(gè)不存在(D)第一個(gè)不存在，第二個(gè)存在函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是()(A)(B)(C)(D)設(shè)，則()(A)(B)(C)(D)函數(shù)，在處()(A)左連續(xù)(B)右連續(xù)(C)連續(xù)(D)左、右皆不連續(xù)()(A)0(B)不存在(C)(D)1在點(diǎn)處有定義，是在處連續(xù)的()(A)必要條件(B)充分條件(C)充分必要條件(D)無關(guān)條件下列極限存在的有()(A)(B)(C)(D)計(jì)算與應(yīng)用題設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，且，求.求極限:(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10)求極限:(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10)第三章導(dǎo)數(shù)與微分一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算基本微分公式微分形式不變性微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算極限的計(jì)算右導(dǎo)數(shù)基本公式導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)（對(duì)數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)）反函數(shù)求導(dǎo)可微的定義可微、可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系可微的幾何意義復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程高階導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系二、例題：判斷題若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則；若在處可導(dǎo)，則一定存在；函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)；若在上連續(xù)，則在內(nèi)一定可導(dǎo)；；函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)；若則；；若在點(diǎn)不可導(dǎo)，則在不連續(xù)；函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).填空題，則_________；曲線在點(diǎn)處的切線方程是________；設(shè)，則=______；，_______；設(shè)，則=________；設(shè)，則=________；曲線在點(diǎn)的處的切線方程是_______；若與在處可導(dǎo)，則=_________；=_______；設(shè)在處可導(dǎo)，且，則用A的代數(shù)式表示為_______；導(dǎo)數(shù)的幾何意義為________________________；曲線在處的切線方程是___________；曲線在處的切線方程是___________；函數(shù)的微分__________；曲線在點(diǎn)處切線方程是_________；的近似值是_________；(是正整數(shù))的階導(dǎo)數(shù)是________.選擇題設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則下列命題中正確的是()(A)存在(B)不存在(C)存在(D)不存在設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)且，則等于()(A)4(B)–4(C)2(D)–2設(shè)，則在點(diǎn)=0處()(A)可導(dǎo)(B)連續(xù)但不可導(dǎo)(C)不連續(xù)(D)無定義設(shè)可導(dǎo)，則=()(A)(B)(C)(D)設(shè)，且存在，則()(A)(B)(C)(D)函數(shù)，則()(A)(B)(C)(D)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為()(A)(B)(C)(D)函數(shù)在處連續(xù)，是在處可導(dǎo)的()充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件已知，則()(A)(B)(C)(D)函數(shù)在處()(A)連續(xù)但不可導(dǎo)(B)連續(xù)且可導(dǎo)(C)極限存在但不連續(xù)(D)不連續(xù)也不可導(dǎo)函數(shù)，在處()(A)左連續(xù)(B)右連續(xù)(C)連續(xù)(D)左、右皆不連續(xù)設(shè)，則()(A)(B)(C)(D)函數(shù)，在點(diǎn)不連續(xù)是因?yàn)?)(A)(B)(C)不存在(D)不存在設(shè)，則()(A)(B)(C)(D)已知函數(shù)，則（）(A)(B)(C)(D)設(shè)，則在處（）(A)極限不存在(B)極限存在，但不連續(xù)(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)已知，則()(A)(B)(C)(D)計(jì)算與應(yīng)用題設(shè)f(x)=(),求設(shè)確定是的函數(shù)，求設(shè)，求設(shè)，求設(shè)確定是的函數(shù)，求設(shè)，求y,求及，求及，求，并求其在點(diǎn)處的切線與法線方程.，求及，求及，求，并求其在點(diǎn)處的切線與法線方程.已知，求設(shè)，求求的微分設(shè)，求設(shè)，求方程確定是的函數(shù)，求設(shè)，求方程確定是的函數(shù)，求，求，求已知，求設(shè)，求已知，求求的微分第四章函數(shù)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：中值定理及應(yīng)用中值定理及應(yīng)用中值定理羅爾定理中值定理的應(yīng)用洛必達(dá)法則函數(shù)的單調(diào)性極值曲線的凹向拐點(diǎn)拉格朗日定理柯西定理最大值與應(yīng)用問題漸近線，函數(shù)作圖邊際與彈性分析二、例題：判斷題曲線在是下凹的，在是上凹的；是在上的極小值點(diǎn)；曲線在點(diǎn)沒有切線；函數(shù)可導(dǎo)，極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)；函數(shù)的極值只可能發(fā)生在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；是曲線的拐點(diǎn)；7若，，則是的極大值；8.函數(shù)在上滿足拉格朗日定理；9.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則；函數(shù)在上的極大值一定大于極小值；當(dāng)很小時(shí)，；；曲線的拐點(diǎn)是；函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，則或不存在；是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件；曲線沒有拐點(diǎn)；設(shè)，其中函數(shù)在處可導(dǎo)，則；因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以在內(nèi)必有最大值；填空題（為正整數(shù)）=________；設(shè)在點(diǎn)處取得極小值，則=_______；設(shè)在是上凹的，則=______；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則曲線在內(nèi)的凹向是_______；若，則曲線的拐點(diǎn)橫坐標(biāo)是______；函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的______；函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的__________；選擇題函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的()(A)0(B)(C)(D)π函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，則必有（）(A)(B)(C)且(D)或不存在計(jì)算與應(yīng)用題求極限：(1);(2);(3);(4).設(shè)某產(chǎn)品價(jià)格與銷量的關(guān)系為（為銷量），求：銷量為30時(shí)的總收益；銷量為30時(shí)的平均收益；銷量為30時(shí)的邊際收益；3、設(shè)某糕點(diǎn)加工廠生產(chǎn)A類糕點(diǎn)的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是求邊際利潤(rùn)函數(shù)；當(dāng)產(chǎn)量分別200公斤，250公斤和300公斤時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。4.某商品的成本函數(shù)為，求：時(shí)的總成本，平均成本及邊際成本；產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最??？并求最小平均成本。求平均成本最小時(shí),價(jià)格上漲一個(gè)單位,成本的增加為多少?5.給定函數(shù)，求其單調(diào)區(qū)間，極值，凹向區(qū)間及拐點(diǎn)。證明題1.證明當(dāng)時(shí)，2．證明當(dāng)時(shí)，；3.證明當(dāng)時(shí)，第五章不定積分一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：二、例題：判斷題；；若可導(dǎo)，則；是的一個(gè)原函數(shù)；若則；設(shè)且,則；；填空題____；設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則=_____；______；_______；函數(shù)________的原函數(shù)是；若，則______；=；選擇題若，則必有()(A)(B)(C)(D)設(shè)，則()(A)為常數(shù)(B)為常數(shù)(C)(D)下列等式中，正確的是()(A)(B)(C)(D)已知函數(shù)，則的所有原函數(shù)是()(A)(B)(C)(D)下列計(jì)算過程正確的是()(A)(B)(C)(D)若，則()(A)(B)(C)(D)計(jì)算與應(yīng)用題1dx2dx3dx4dx5dx6dx7dx89dx