北師大版八年級數學上冊 （勾股定理的應用）勾股定理教學課件

勾股定理的應用第一章勾股定理

知識點1

確定幾何體上的最短路線1.如圖,有一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為100cm,15cm和10cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點.若A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物,則它所走的最短路線的長度為(B)A.115cm B.125cm C.135cm D.145cm2.某?！肮鈱W節(jié)”的紀念品是一個底面為等邊三角形的三棱鏡(如圖).在三棱鏡的側面上,從頂點A到頂點A'鑲有一圈金屬絲.已知此三棱鏡的高為8cm,底面邊長為2cm,則這圈金屬絲的長度至少為

10

cm.

【變式拓展】

知識點2

應用勾股定理及其逆定理解決實際問題3.如圖,廠房屋頂人字形鋼架的跨度BC=12米,AB=AC=6.5米,則中柱AD(D為底邊BC的中點)的長是(D)A.6米 B.5米

C.3米 D.2.5米4.《九章算術》卷九“勾股”中記載:今有立木,系索其末,委地三尺.引索卻行,去本八尺而索盡,問索長幾何?譯文:今有一豎立著的木柱,在木柱的上端系有繩索,繩索從木柱上端順木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牽著繩索(繩索頭與地面接觸)退行,在距木根部8尺處時繩索用盡.問繩索長是多少?設繩索長為x尺,可列方程為

(x-3)2+64=x2

.

5.(教材母題變式)國家八縱八橫高鐵網絡規(guī)劃中“京昆通道”的重要組成部分——西成高鐵于2017年12月6日開通運營,西安至成都列車運行時間由14小時縮短為3.5小時.張明和王強相約從成都坐高鐵到西安旅游.如圖,張明家(記作A)在成都東站(記作B)南偏西30°的方向且相距4000米,王強家(記作C)在成都東站南偏東60°的方向且相距3000米,則張明家與王強家的距離為

5000米

.

6.如圖,小巷左右兩側是豎直的墻壁,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米.若梯子底端位置保持不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面1.5米,則小巷的寬度為(A)A.2.7米 B.2.5米 C.2米 D.1.8米8.如圖,將一根長為9cm的筷子,置于底面直徑為3cm,高為4cm的圓柱形水杯中,設筷子露在杯子外面的長度是hcm,則h的取值范圍是

4≤h≤5

.

10.(改編)《算法統(tǒng)宗》記載古人丈量田地的詩:“昨日丈量地回,記得長步整三十.廣斜相并五十步,不知幾畝及分厘.”其大意是:昨天丈量了田地回到家,記得長方形田地的長為30步,寬和對角線之和為50步.不知該田地有幾畝?請幫他算一算,該田有

2

畝(1畝=240平方步).

11.一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個零件中∠A與∠DBC都應為直角.工人師傅量的這個零件各邊的尺寸如圖所示.(1)這個零件符合要求嗎?(2)求這個四邊形的面積.13.某拖拉機位于A學校正南方向130m的B處,正以120m/min的速度沿公路BC方向行駛,如圖所示.已知A學校到BC的距離AD=50m.

勾股定理的應用第一章勾股定理導入新課講授新課當堂練習課堂小結

情境引入學習目標1.學會運用勾股定理求立體圖形中兩點之間的最短距離．（重點）2.能夠運用勾股定理解決實際生活中的問題.(重點,難點)

在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂數學？CBAAC+CB>AB（兩點之間線段最短）導入新課情境引入思考：在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？講授新課立體圖形中兩點之間的最短距離一BA問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？BAdABA'ABBAO想一想：螞蟻走哪一條路線最近？A'

螞蟻A→B的路線

若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則:BA3O12側面展開圖123πAB【方法歸納】立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據兩點之間線段最短確定最短路線.A'A'例1

有一個圓柱形油罐，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）ABABA'B'解：油罐的展開圖如圖，則AB'為梯子的最短距離.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.即梯子最短需13米.典例精析數學思想：立體圖形平面圖形轉化展開變式1：當小螞蟻爬到距離上底3cm的點E時，小明同學拿飲料瓶的手一抖，那滴甜甜的飲料就順著瓶子外壁滑到了距離下底3cm的點F處，小螞蟻到達點F處的最短路程是多少？（π取3）EFEFEFEF解：如圖，可知△ECF為直角三角形，由勾股定理,得EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100，∴EF=10(cm).B牛奶盒A變式2：看到小螞蟻終于喝到飲料的興奮勁兒，小明又靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在了點A處，并在點B處放上了點兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找到完成任務的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296AB22=82+（10+6）2=320AB32=62+（10+8）2=360勾股定理的實際應用二問題：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.（1）你能替他想辦法完成任務嗎？解:連接對角線AC，只要分別量出AB、BC、AC的長度即可.AB2+BC2=AC2△ABC為直角三角形（2）量得AD長是30cm，AB長是40cm，BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD邊垂直于AB邊.（3）若隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？解:在AD上取點M,使AM=9,在AB上取點N使AN=12,測量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例2

如圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.故滑道AC的長度為5m.解：設滑道AC的長度為xm，則AB的長也為xm，AE的長度為（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5.數學思想：實際問題數學問題轉化建模例3

如圖，在一次夏令營中，小明從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了400m到達點B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到達目的地C.求A、C兩點之間的距離．解：如圖，過點B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C兩點間的距離為500m.E方法總結

此類問題解題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題；在數學模型(直角三角形)中，應用勾股定理或勾股定理的逆定理解題．當堂練習1．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB2．有一個高為1.5m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m，問這根鐵棒有多長？解:設伸入油桶中的長度為xm,則最長時:最短時,x=1.5所以最長是2.5+0.5=3(m).答:這根鐵棒的長應在2～3m之間.所以最短是1.5+0.5=2(m).解得：x=2.5梯子的頂端沿墻下滑4m,梯子底端外移8m.解：在Rt△AOB中，在Rt△COD中，3.一個25m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為24m,如果梯子的頂端A沿墻下滑4m,那么梯子底端B也外移4m嗎?4.我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？DABC解：設水池的水深AC為x尺，則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.5.為籌備迎接新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖①.已知圓筒的高為108cm