數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)

數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)第二章插值法插值問題的提出：滿足插值條件P(xi)=yi的簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)為f(x)的插值函數(shù)。插值多項(xiàng)式-滿足插值條件的插值多項(xiàng)式是存在唯一的。通過已知節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的求解。拉格朗日插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)牛頓插值多項(xiàng)式

均差（差商），均差的性質(zhì)及應(yīng)用（對(duì)稱性、n階均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)，牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。第三章函數(shù)逼近的基本概念曲線擬合的最小二乘法已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求它的擬合曲線。

線性化

建立法方程組

求解未知變量

給出擬合曲線函數(shù)第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分的基本思想

代數(shù)精度牛頓-科特斯公式

等距離節(jié)點(diǎn)的求積公式

n=1梯形公式代數(shù)精度為1

n=2Simpson公式代數(shù)精度為3

n=4Cotes公式代數(shù)精度為5偶階求積公式的代數(shù)精度第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分復(fù)合求積公式

復(fù)合梯形公式及其余項(xiàng)的誤差估計(jì)

n等分，n+1個(gè)點(diǎn)h=(b-a)/n

復(fù)合辛普森公式及其余項(xiàng)的誤差估計(jì)

n等分,2n+1個(gè)點(diǎn)h=(b-a)/n

高斯求積公式

定義：求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，則其節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式為高斯型求積公式。第五章解線性方程組的直接方法高斯消去法矩陣的三角分解

TH7矩陣的LU分解，A的順序主子式全都不為零，則A可以分解為L(zhǎng)與U的乘積，且這種分解是唯一的。Ax=b

LUx=b

Ly=b

y

Ux=y

x

方法：1、公式求解未知的LU，2、可以使用緊湊格式分解第五章解線性方程組的直接方法向量和矩陣的范數(shù)

向量范數(shù)及矩陣范數(shù)的定義，常見的向量范數(shù)與矩陣范數(shù)（1、2、最大范數(shù)）、譜半徑。誤差分析

條件數(shù)第六章解線性方程組的迭代法Ax=b

x=Bx+f雅克比迭代法與高斯-賽德爾迭代法

A=D-L-U

迭代法的求解公式，收斂條件TH7求解線性方程組迭代法收斂的充要條件TH8A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則兩種迭代法均收斂。譜半徑越小收斂速度越快。SOR迭代法以及SOR迭代法收斂的必要條件。第七章非線性方程與方程組的數(shù)值解法二分法、二分法二分的次數(shù)與預(yù)定精度之間的關(guān)系。不動(dòng)點(diǎn)迭代法-什么情況下發(fā)散，什么情況下收斂。

TH1不動(dòng)點(diǎn)迭代的存在唯一性以及收斂的條件。

TH2誤差的估計(jì)局部收斂性與收斂階

簡(jiǎn)單迭代法-線性收斂牛頓迭代法、牛頓迭代法的收斂階用于求單根時(shí)為線性收斂，用于求重根時(shí)為至少二階收斂。簡(jiǎn)單迭代法的收斂階是線性收斂。弦截法的收斂階小于牛頓迭代法大于簡(jiǎn)單迭代法。第九章常微分方程初值問題數(shù)值解法歐拉法與后退歐拉法梯形方法改進(jìn)歐拉公式局部截?cái)嗾`差（上述幾種方法）與階、局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)龍格-庫(kù)塔方法（泰勒展開式）單步法的收斂性--整體截?cái)嗾`差例1.在某化學(xué)反應(yīng)里,測(cè)得生成物濃度y%與時(shí)間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)公式x=1,2,3,4,5,6y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50方案一：設(shè)baxxxPy+=

)(求a和b使得線性化/*linearization*/：令，則bXaY+

就是個(gè)線性問題將化為后易解a和b。),(iiYX),(iiyxX=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6Y=1/4.00,1/6.40,1/8.00,1/8.80,1/9.22,1/9.50m=6法方程組為求解出a與b方案二：設(shè)xbeaxPy/)(-=

(a>0,b>0)線性化：由可做變換xbay-

lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+

就是個(gè)線性問題將化為后易解A和B),(iiYX),(iiyx例用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，并估計(jì)誤差。（n=5,共11個(gè)節(jié)點(diǎn)）解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，節(jié)點(diǎn)列為則復(fù)化Simpson公式為010.20.40.60.80.10.30.50.70.9截?cái)嗾`差估計(jì)：用改進(jìn)歐拉公式求方程的數(shù)值解（，步長(zhǎng)

，，

xnyn

0.11.09590.21.18410.31.26620.41.3434