第03章 正弦交流電路

第三章正弦交流電路本章主要內(nèi)容1.正弦量.相量2.有效值3．

正弦電路元件4．

基爾霍夫定律相量形式5．

無源一端口網(wǎng)絡(luò),阻抗,導(dǎo)納6．

交流電路功率7．

復(fù)雜正弦交流電路計算

本章教學(xué)目的:

正弦交流電路是應(yīng)用最廣泛的電路，本章介紹單相正弦交流電路理論中的基本概念和規(guī)律。本章教學(xué)要求:掌握正弦量的概念及其相量表示法，相量運算；正弦電路元件特性；交流電路KCL、KVL形式；交流電路功率、有功功率和無功功率及功率因數(shù)的概念；簡單正弦電路分析方法。3.1正弦交流電量的基本概念交流電路:電壓或電流是時間的周期性函數(shù),一周期內(nèi)平均值為零.正弦交流電路:電壓或電流是時間的正弦函數(shù).瞬時表達式1)正弦交流電流描述(電流參考方向如圖所示)瞬時值電流波形圖瞬時表達式需規(guī)定參考方向!瞬時表達式2)正弦交流電的三要素1>Im

幅值(最大值)2>ω

角頻率,ω=2pf,

f

頻率,T

周期,T=1/f3>(ωt＋yi)相位，

yi

初相位我國電網(wǎng)f＝50Hz，ω＝314弧度／秒,

T=20毫秒例:電流表達式必須規(guī)定參考方向!例如規(guī)定參考方向從1到2，i＝5sin（314t+45°），則隨時間變化曲線如圖。對于同一個電流,如果參考方向改為從2到1，記為i′，則

i′＝－i＝－5sin（314t＋45°）＝5sin（314t－135°），即把時間起點沿ωt軸移動180°。i與i′表示同一電流，由于正方向不同，初相位相差180°。2）相位差:

同頻率正弦交流電相位差

i1超前i2相位差：φ＝（ωt＋φi1）－（ωt＋φi2）＝φi1－φi2可見，相位差＝初相位之差。

若 φ＞0，φi1＞φi2，i1超前i2；兩個同頻率正弦量，見圖i1＝I1sin（ωt＋φi1），i2＝I2sin（ωt＋φi2）3.2周期交流電量的有效值有效值物理意義：周期交流電流流過電阻R時，在一個周期內(nèi)消耗的能量等于某一大小的直流電流I在同一電阻相同時間內(nèi)消耗的能量。稱這一直流電流I為交流電流的有效值。交流電功率:直流電功率:周期交流電流有效值:（有效值又稱為均方根值）

同理，周期交流電壓有效值為

由得:正弦交流電流的有效值

設(shè)電流,則正弦交流電流的有效值為:即同樣可定義電壓有效值

注意：電氣工程上電壓電流的大小，一般都用有效值來表示，電氣工程測量儀表一般也指有效值。電路計算中一般用有效值運算。單相電壓220V是指有效值，其最大值約為311V.

三角函數(shù)計算1）正弦交流電瞬時值與相量關(guān)系

線段P在虛軸上的投影3.3正弦交流電量的相量表示瞬時表達式波形圖相量圖相量以角頻率逆時針旋轉(zhuǎn)，其在虛軸上的投影即為正弦交流電流的瞬時值。正弦交流電的三種表達方式:瞬時表達式相量復(fù)數(shù)式相量(復(fù)數(shù)式)

代數(shù)表示法t=t0t=t1合成電流

時域計算：正弦函數(shù)計算

任一時刻合成電流瞬時值等于二個電流瞬時值之和。合成電流相量計算:2）正弦交流電量計算

設(shè)求兩個電流之和合成相量等于二個電流相量之和。正弦交流電瞬時表達式計算→相量計算（復(fù)數(shù)計算）。

求例1：已知，把瞬時值運算變?yōu)橄嗔窟\算,注意，只有同頻率量才可進行相量運算。

相量圖3)轉(zhuǎn)換為瞬時式1)轉(zhuǎn)換為相量形式:解：2)相量(復(fù)數(shù))運算3.4正弦交流電路的元件電壓電流相量表達式（相量歐姆定律）相量表達式:相量形式歐姆定律

1）電阻元件

時域瞬時式

平均功率

瞬時功率:

2）電感元件

時域表達式

，稱為感抗，反映某一頻率下電感電壓有效值與電流有效值關(guān)系,具有阻抗的量綱.相量表達式:,即有:相量形式歐姆定律

時的電感電流。例1：一線圈電感，試求電壓為解:當時,線圈電抗線圈電流電流幅值當線圈電抗線圈電流電流幅值同一電感在不同頻率時，電抗相差很大。相量表達式即:相量形式歐姆定律

3）電容元件

時域表達式

電容元件瞬時功率

電容元件平均功率

稱為容抗，單位歐姆，容抗與頻率成比。對于復(fù)雜的線性電路，如果所有激勵源均為同一頻率的正弦函數(shù)，則各支路的電流和電壓都為和激勵源有相同頻率的正弦函數(shù)，都可以表示為相量形式，在電路計算中可采用相量計算的方法?；鶢柣舴蚨蓪τ谌魏坞娐肪闪ⅰ?.7基爾霍夫定律相量形式

基爾霍夫節(jié)點電流定律的時域表達式為

相量形式的基爾霍夫節(jié)點電流定律:基爾霍夫回路電壓定律的時域表達式為

相量形式的基爾霍夫回路電壓定律:元件歐姆定律:把節(jié)點電流或回路電壓的相量作成矢量圖，可得到一個閉合的矢量多邊形。在計算分析正弦交流電路中，可利用上述兩個定律及相量關(guān)系?；鶢柣舴蚨傻南嗔啃问?直流電路中敘述的電路分析方法和電路定理是基于KCL和KVL導(dǎo)出的，而這兩個基本定律對任何電路均成立。因此直流電路中敘述的分析方法和定理對于任何電路均成立，且在交流電路中可用相量形式表示。在今后的分析中將直接引用這些方法或定理。：設(shè)，求電源電壓。電源電壓有效值為141.4V注意：電壓電流相量形式滿足KCL，KVL，有效值不滿足KCL、KVL.求交流電路應(yīng)用相量關(guān)系計算。解：設(shè)例1圖示電路中，已知求，的值。圖中畫出了電壓的相量圖。解：由基爾霍失電壓定律，得例2為測量一只線圈的電感和電阻，將它與電阻R1串聯(lián)后接入頻率為50Hz的正弦電源，如圖所示，測得外加電壓，電阻R1上電壓，線圈兩端電壓。已知電阻，試求線圈的電阻R與電感L的值。

解：以電流作參考相量，分別作出電壓相量如圖所示。因為因此電壓相量組成一個閉合三角形。例3:在相量圖上，用余弦定理可求出角為:得，由相量圖又可得到，因此上述解題方法是利用相量的幾何關(guān)系，這是一種常用的解題方法。1)RLC串聯(lián)電路電路如圖，由KVL得:3.8無源一端口網(wǎng)絡(luò)阻抗導(dǎo)納及等效電路

阻抗:

Z—復(fù)數(shù)阻抗,XL—感抗,XC—容抗X—電抗阻抗符號相量圖例1

求:I,

UR,UL,UC

。

解：

取為參考相量AV

V

V

2)RLC并聯(lián)電路導(dǎo)納:導(dǎo)納Y中的實部G是該電路的電導(dǎo)，虛部為電路的電納.阻抗和導(dǎo)納互為倒數(shù):互換關(guān)系:3)無源一端口網(wǎng)絡(luò)計算

任意無源網(wǎng)絡(luò)在正弦激勵時可等效成為一入端阻抗（導(dǎo)納）。

例2圖示電路，已知，，，試求該電路的入端阻抗。若外加電壓，求各支路電流。則解：先求cb端等效阻抗，阻抗的等效導(dǎo)納cb右端等效阻抗電路入端阻抗

設(shè)則例3圖示電路，已知,求支路電流。解：畫出復(fù)數(shù)電路,輸入阻抗輸入阻抗3.9正弦交流電路的功率計算

1)瞬時功率:設(shè)電壓和電流取關(guān)聯(lián)方向，如圖

瞬時功率可分為恒定分量與二倍角頻率變化的正弦分量。瞬時功率在某些時間段為正值，表示此時一端口網(wǎng)絡(luò)正在吸收功率。在某些時間段為負值，表示網(wǎng)絡(luò)在輸出功率，將原來儲存的能量送回電網(wǎng)。

2）有功功率(平均功率):為電壓電流相位差;為電壓電流有效值;——功率因數(shù)；

——功率因數(shù)角。

決定一個一端口網(wǎng)絡(luò)負載平均功率的大小，不但與施加的電壓，流過的電流的有效值大小有關(guān)，而且與電壓電流的相位差，即功率因數(shù)角有關(guān)。

在一周期內(nèi)電路吸收的平均功率，也稱為有功功率。它的值為：

即實際測量接線圖

圖示接線時，功率表讀數(shù)等于以*號為參考方向的電壓電流表達式，用計算所得的數(shù)值。

注意：功率表二組線圈之間有同名端標記，用于判別功率傳輸方向。同名端指出了測量時的參考方向。

功率表測量值有正負符號。此時若：，則表示網(wǎng)絡(luò)A吸收功率；，則表示網(wǎng)絡(luò)A發(fā)出功率。

3）無功功率Q：無功功率

，單位為無功伏安（乏）（VAR）

無功功率Q表示無源二端網(wǎng)絡(luò)與外界的能量交換能力。，瞬時功率:以電感為例:(最大瞬時功率)當負載為電感性時，功率因數(shù)角，此時無功功率，表示電感性負載吸收無功功率。無功功率:當負載呈電容性時，功率因數(shù)角，此時無功功率，表示電容性負載發(fā)出無功功率。4）視在功率S：

視在功率

，單位為伏安（VA）

對于發(fā)電機、變壓器等實際電氣設(shè)備，規(guī)定有額定工作電壓與額定工作電流。額定電壓決定于電氣設(shè)備的絕緣強度，而額定電流受設(shè)備容許溫升和機械強度等制約。因此它們的容量大小是由電壓和電流的乘積而定。視在功率表示電器裝置的容量。

，有功功率、無功功率和視在功率的關(guān)系為:5）復(fù)數(shù)功率在電力系統(tǒng)的計算中，為了使功率計算表達方便，常在正弦電路中用復(fù)數(shù)功率來表示一個元件或一個單端口網(wǎng)絡(luò)的功率。復(fù)數(shù)功率定義為電壓相量與電流共軛相量的乘積，用符號來表示，即復(fù)數(shù)功率的模即為視在功率，幅角是功率因數(shù)角，其實部為有功功率，虛部為無功功率。對于無源一端口網(wǎng)絡(luò)，其吸收的復(fù)數(shù)功率可表示為式中，I、U為一端口網(wǎng)絡(luò)電壓和電流的有效值；Z為等效阻抗；Y為等效導(dǎo)納的共軛復(fù)數(shù)。例1.求:負載有功功率P,無功功率Q,視在功率S.復(fù)數(shù)功率,功率因數(shù).,解:例2.功率為40W,功率因數(shù)為0.5的日光燈和功率為100W的白熾燈并聯(lián)在220V(50Hz)交流電源上,求總的功率因數(shù).解:日光燈支路電流總的功率因數(shù)6）功率因數(shù)提高

任何一種電氣設(shè)備的容量決定于它的額定電壓和額定電流的大小，但電氣設(shè)備發(fā)出（對發(fā)電機）或消耗（對負載）的有功功率不但與電壓電流有關(guān)，而且與功率因數(shù)有關(guān)。當電氣設(shè)備的功率因數(shù)較低時，設(shè)備的利用率就很低。舉例來說，一臺額定容量為1000kV·A的變壓器，如果負載的功率因數(shù)為0.7，則變壓器最大輸出功率為700kW。如果把負載功率因數(shù)提高到1，則變壓器最大可輸出1000kW的有功功率。這樣設(shè)備的利用率就提高了。在實際工業(yè)應(yīng)用中，多數(shù)用電負載是感性負載（如三相感應(yīng)電動機），使得負載端電流滯后于電壓，功率因數(shù)角。要提高功率因數(shù)，最簡便的措施是在感性負載兩端并聯(lián)電容器。

例4電感性負載通過并聯(lián)電容來提高功率因數(shù).設(shè)電源電壓

，負載阻抗為R和L:負載電流

有效值功率因數(shù)(若電力線路最大容許電流則負載端可并聯(lián)接入約70個電器負載。)同一線路，若在負載端并聯(lián)電容C，則電容電流

，總電流

若取

，則負載電流

此時，負載總功率因數(shù)

（電壓電流同相，

）

（同一電力線路最多可接入100個電器負載）

例5某一負載端電壓為10kV，有功功率為1000kW，功率因數(shù)（感性），現(xiàn)要把功率因數(shù)提高到0.9，問應(yīng)在負荷兩端并聯(lián)多大的電容？解：由題可知，在電容并聯(lián)前負載電流功率因數(shù)角

若以電壓為參考相量

則電流相量

把負載電流分解成沿

方向的有功分量

和與

垂直的無功分量

現(xiàn)要使功率因數(shù)提高到0.9，接入電容后總電流為負載電流

與電容電流之和。因為電容電流為容性無功電流，兩電流合成后總有功分量不變。當時，總電流為：無功分量

需要補償?shù)碾娙蓦娏?/p>

從而求出電容值：3.10

復(fù)雜正弦交流電路的計算

任意復(fù)雜的電網(wǎng)絡(luò)中，如果所有的激勵源都是同一頻率的正弦函數(shù)，電路所有器件均為線性器件，則電路中所有支路的電壓與電流都為與激勵源同頻率的正弦量。電路計算可以用相量來表示和進行運算。所有由基爾霍夫定律和歐姆定律推導(dǎo)出來的有關(guān)直流電路計算的方法和定理都可推廣應(yīng)用到交流電路的計