2020-2021學年高二數(shù)學上學期期中測試卷01（人教A版2019）

期中測試卷01

（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）

測試范圍：選擇性必修第一冊RJ-A（2019）第一章、第二章

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.對于空間任意一點。和不共線的三點4、B、C,有如下關系：OP=-OA+-OB+-OC,則（）。

632

A、四點。、4、B、C必共面

B、四點P、4、B、C必共面

C、四點。、P、B、C必共面

D、五點0、P、4、B、C必共面

2.已知平面a、6的法向量分別為K=（一1,y,4）、7=（x,-1,一2）且a16，則x+y的值為（）。

A、-8

B、-4

C、4

D、8

3.若a?+/=2c?（c羊0）,則直線ax+by+c=0被圓/+必=1所截得的弦長為（）。

A、-

2

B、,

2

C、1

D、V2

4.已知三條直線ax+2y+8=0、4x+3y=10和2%—y=10中沒有任何兩條平行，但它們不能構成三角

形的三邊，則實數(shù)Q的值為（）o

A、—1

B、0

C、1

D、2

5.直線&y=px（p是不等于0的整數(shù)）與直線y=x+10的交點恰好是整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)），那

么滿足條件的直線2有（）。

A、6條

B、7條

C、8條

D、無數(shù)條

6.過點P（0,3）的直線［與圓C：（x-2）2+（y-3）2=4交于4、B兩點，當=30。時，直線2的斜率為（）。

A、土豆

-3

B、.

3

C、+V3

D、V3

7.已知4（1,-2,3）、B（2,1,-1）兩點，則直線4B與空間直角坐標系中的yOz平面的交點坐標為（）。

A、（0,0,0）

B、（0,-5,7）

C、*0.1）

D、（：，i,0）

8.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數(shù)k（k>0且k豐1）

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。若平面內兩定點4、B間的距離為2,動點P與4B距離之比為

V2.當P、4、B不共線時，4P4B面積的最大值是（）。

A、立

3

B、咨

3

C、V2

D、2V2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.

9.若平面內兩條平行線I］：x+（a-l）y+2=0與％：ax+2y+1=0間的距離為?，則實數(shù)a=（）。

A、-2

B、-1

C、1

D、2

10.己知3、7、X和才為空間中的4個單位向量，且方+7+2=3，|下一才|+|7—才|+|2—才|可

能等于（）。

A、2

B、3

C、4

D、5

11.給出下列命題，其中不正確的為（）。

A、若荏=次,則必有4與C重合，8與D重合，4B與CD為同一線段

B、若Zv0,則vN,7＞是鈍角

C、若同+CD=~S,則荏與就一定共線

D、非零向量3、%、X滿足才與X1與X,X與K都是共面向量，則水?、工必共面

12.已知圓M：（*-l）2+y2=1,過點A（O,2）向圓M作切線，切點為P，再作斜率為的割線交圓”于8、

C兩點，則4PBe的面積為（）。

56

A、—

65

64

B、—

65

211

C>-----

325

256

D、---

325

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正方體ABCD-4/也1。1中，索=；砧，若版=*鞏+丫（同+屈），則x

y=o(本小題每空2.5分)

14.已知直線百*-y+2=0及直線百x-y-10=0截圓C所得的弦長均為8,則圓C的面積是.

15.如圖所示，平行六面體ABCD—28停1。1中，4B=4D=44i=l，/.BAD=/LBAA1=120°.

ND441=60°,則線段4cl的長度是,

16.己知點P(x,y)是直線1：kx-y+4=0(k>0)上的動點，過點P作圓C：二十好+=。的切線p4,

4為切點。若|P川最小為2時，圓M：/+y?-狙丫=o與圓c外切，且與直線/相切，則m的值為。

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

如圖所示，三棱柱ABC-&BC中，M、N分別是上的點，且BM=2&M，C】N=2BJV。設4B=R，

斤=成，AA{=N。

(1)試用力另、2表示向量函正

(2)若ZB4C=90°，NB441=NCA41=60",AB=AC=AAj,=1,求MN的長。

18.(本小題滿分12分)

過點P(4.1)作直線2分別交*、y軸正半軸于4、B兩點。

(1)當440B面積最小時，求直線1的方程。

(2)當|04+|0B|取最小值時，求直線［的方程。

19.(本小題滿分12分)

如圖所示，在2MBe中，/.ABC=。為4B邊上一點，且30B=30C=24B,2D4=240=P0,P01平

4

面ABC，且D4〃P0。

(1)求證：平面PBD平面C。。；

(2)求直線PD與平面BDC所成角的正弦值。

A

B

20.(本小題滿分12分)

已知平行四邊形4BCD的三個頂點的坐標為4(一1,4)、B(-2,一1)、C(2,3)。

⑴在44BC中，求邊4c中線所在直線方程；

⑵求平行四邊形4BCD的頂點。的坐標及邊BC的長度；

(3)求44BC的面積。

21.(本小題滿分12分)

如圖1,在直角梯形A8CD中，AD//BC，4BAD=1AB=BC=1，AD=2，E是4D的中點，。是AC與BE

的交點。將44BE沿BE折起到441BE的位置，如圖2。

(1)證明：CD1平面&OC;

(2)若平面4BE1平面BCDE,求平面4BC與平面&CD夾角的余弦值。

22.(本小題滿分12分)

如圖所示，直四棱柱4BCD-Ai&CiDi的底面是菱形，=4,4B=2,/.BAD=60°，E、M、N分別是BC、

BB「&D的中點。

(1)證明：MN〃平面CRE：

(2)求二面角4-MAt-N的正弦值。

C

AB

期中測試卷。1（解析）

（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）

測試范圍：選擇性必修第一冊RJ-A（2019）第一章、第二章

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1―?1—*1—

1.對于空間任意一點。和不共線的三點A、B、C,有如下關系：。尸=—OA+—O3+—OC,則（）。

632

A、四點0、A、B、C必共面

B、四點P、A、B、C必共面

C、四點。、P、B、C必共面

D、五點0、P、A、B、C必共面

【答案】B

【解析］由OP=±OA+±OB+上OC得：-+-+-=1,可得四點P、A、B、C必共面，故選B。

632632

2.已知平面a、p的法向量分別為"=（—1,y,4）、B=（x,—1,—2）且則x+y的值為（）。

A、-8B、-4C、4D、8

【答案】A

【解析】由己知得a/=（）,BP-x-y-8=0,則x+y=-8,故選A。

3.若/+62=202（0/0）,則直線如+外+。=0被圓/+>2=1所截得的弦長為（）。

A,-B,—C、1D,V2

22

【答案】D

［解析］；圓心（0,0）到直線ax+by+c=0的距離d=尸,=—.

yja2+Z;22

因此根據(jù)直角三角形的關系，弦長的一半就等于（等）2=專，.?.弦長為五，故選D。

4.已知三條直線依+2y+8=0、4x+3y=10和2x-y=10中沒有任何兩條平行，但它們不能構成三角形

的三邊，則實數(shù)。的值為（）。

A、-1B、0C、1D、2

【答案】A

【解析】由已知得三條直線必過同一個點，則聯(lián)立+解得這兩條直線的交點為（4,_2）,

［2x-y=10

代入奴+2y+8=0可得a=—1,故選A。

5.直線/：y=px（〃是不等于0的整數(shù)）與直線y=x+10的交點恰好是整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)），

那么滿足條件的直線/有（）。

A、6條B、7條C、8條D、無數(shù)條

【答案】B

【解析】聯(lián)立卜=川，.?.px=x+i。.?10，八10

即riX=------,V=10d--------,

[y=x+10/?-Ip-\

"一1=±1或±2或±5或±10,p值有7個，直線有七條，故選B。

6.過點P（0,3）的直線/與圓C：（x-2）2+（y-3）2=4交于A、8兩點，當/C4B=30°時，直線/的斜率為

（）。

A、±—B、—C、±V3D、百

33

【答案】A

【解析】由題意得NAC3=120°,則圓心C（2,3）到直線/的距離為1,

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=O,此時直線/與圓相切，不合題意，舍去，

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y=fcr+3,則2-3+3l=W^==l，

解得&=±走，故選A。

3

7.已知A。,-2,3）、3（2,1,-1）兩點，則直線A5與空間直角坐標系中的yOz平面的交點坐標為（）。

A、（0,0,0）B,（0,-5,7）C、q,O,g）D、（（,；,0）

【答案】B

【解析】設AS連線與平面yOz的交點為尸（0,必，4）,

；A、B、4三點共線，則麗=九次+（1-入）?麗，

則（0,%，Z|）=X,（1,—2,3）+（1—A.）,（2,1,—1）,

0=X+2-2X=2-X[九=2

則|y=一2九+1-九二1一3九，解得卜]=—5,則尸（0,—5,7）,故選B。

Z]=3入-1+九二4九—1Zj=7

8.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數(shù)々（攵＞0且Zwl）

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。若平面內兩定點A、8間的距離為2,動點P與A、B距離

之比為亞，當P、A、8不共線時，面積的最大值是（）。

A、@B、也3MD、2V2

33

【答案】D

【解析】如圖，以經(jīng)過A、8的直線為x軸，線段48的垂直平分線為y軸，建系，A(-1,0)、3(1,0),

..?幺.?X+lf+y2_

設P(x,y),

22

畫J(x-I)+y

兩邊平方并整理得：一+/一6*+1=()=(x-3)2+y2=8,

AftAB面積的最大值是』x2x2近=2收，故選D。

2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.若平面內兩條平行線4：x+(a—1)>+2=0與4：辦+2)+1=0間的距離為平，則實數(shù)。=()。

A、-2B、-1C、1D、2

【答案】BD

【解析】?.,/,///,,：.a(a-1)=2,解得。=一1或a=2,

。=一1時〃=垣，符合，當。=2時1=還，符合，故選BD。

54

10.已知〃、務、c和Z為空間中的4個單位向量，且。+1+。=6,|。一1|+|3-6/|+|。一1|可能等于()o

A、2B、3C、4D、5

【答案】CD

［解析］,?*\a-d\+\b-d\+\c-d\>\a-d+b-d+c-d\=\a+h+c-3d\,而4+B+c=6,

：.\a-d\+\b-d\+\c-d\>\-3d|=3,

又,：a、b>c、Z是單位向量，且a+B+c=6,:.a-d、h-d>c-d一定不共線，

：.\a-d\+\b-d\+\c-d\>3,故選CD。

11.給出下列命題，其中不正確的為()。

A、若而=而，則必有A與C重合，5與。重合，AB與8為同一線段

若〃.至<0,則<〃工>是鈍角

c、若麗+而=6,則荏與而一定共線

D、非零向量a、b>c滿足a與3,%與c,c與a都是共面向量，則a、b>c必共面

【答案】ABD

【解析】對于A,考慮平行四邊形A3OC中，滿足礪=而，

不滿足A與C重合，8與。重合，AB與8為同一線段，故A錯,

對于B,當兩個非零向量"、否的夾角為兀時，滿足"石<0,

但它們的夾角不是鈍角，故B錯，

對于C,當M+而=6時，AB=-CD,則而與而一定共線，故C對，

對于D,考慮三棱柱ABC—A5G，礪=7、AC=b.AA}=c,

滿足〉與Z,3與］，Z?與［都是共面向量，但"、%、最不共面，故D錯，

故選ABD。

7

12.已知圓M：(x-l)2+y2=i,過點A(0,2)向圓M作切線，切點為P,再作斜率為-‘的割線交圓〃于

B、C兩點，則APBC的面積為()。

56064C、迫D、*

AA、D、—

6565325325

【答案】BD

7

【解析】由題意知”(1,0),過點A(0,2)作斜率為-的割線BC,v

則直線3c的方程為7x+4y-8=0,

點M到直線BC的距離為4=.,7-81■■=

772+42

則弦|叼=沙2一片=2鵬=提,

過點A作圓M的切線，其中一條為y軸,切點為。軸，

|081

則點。到直線3C的距離"，=;~=8

'<72+42夜，

AP3C的面積即為AOBC的面積，故SXPBC~~1BCI-=—XX,

BC2-2V65V6565

又另一條切線為AP,設直線AP的方程為丘-y+2=0,由題意得〃PJ_AP,

且點M到直線AP的距離|MP\=耳理=1,解得％=—3,4

則直線AP的方程為3x+4y-8=0,

與圓M的方程聯(lián)立易得P(|,1),

|-x7+~x4-8|2

點P到直線的距離&=55_=,

V72+425V65

16

MS_132_256

綜上所述APBC的面積為上64或絲256，故選BD。

65325

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知正方體ABCQ-45GA中，港=；而，^AE=xAA]+y(AB+AD),貝ijx=,

y=.(本小題每空2.5分)

【答案】I-

4

【解析】vAXE=-^A{C}-/.A￡=^+^(^1B1+AlD1)=A4,+-(Afi+AD),：.x=\,y=\

14.已知直線岳-y+2=0及直線島-y-10=0截圓C所得的弦長均為8,則圓C的面積是

【答案】2571

【解析】?.?已知的兩條直線平行且截圓C所得的弦長均為8，

...圓心到直線的距離d為兩平行直線距離的?半，即d=1x及叫=3,

2V3TT

又直線截圓C所得的弦長為8,.?.圓的半徑r=5/32+42=5,...圓C的面積是25兀。

15.如圖所示，平行六面體A5CD—A|8|CQ|中，AB=AD=AA［=\,ABAD=ZBAAt=120°,ND4A=60°,

則線段AG的長度是________。

［答案］^\

［解析］?：ACt=AB+AD+AA］,VVj_\\

--*2*2?2,2??????\'\

AAC1=AB+AO+朋+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-A4,\A/A

=l+l+l+2xlxlx(-)+2xlxlx(-)+2xlxlx—=2,

222

IAq|=V2o

16.己知點P(x,y)是直線/：依—y+4=0(%>0)上的動點，過點P作圓C：/+/2+2丫=()的切線”,

A為切點。若|P4|最小為2時，圓M：一+丁―機)，=0與圓c外切，且與直線/相切，則加的值為。

【答案】26—2

【解析】圓C的圓心為C(0,—1),半徑為1,

當CP與/垂直時，?小?的值最小，此時點c到直線，的距離為d=，+旬，

J1+嚴

由勾股定理得『+22=（，+4]）2,又%>0,解得％=2,

Jl+%2

圓M的圓心為M（0,9,半徑為|￡|,

:圓M與圓C外切，.?.|匕|+1=|-一1）|,

22

m

|--+4|

?.?圓M與直線/相切，.??'=—2=—,解得機=2后-2。

2V5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

如圖所示，三棱柱ABC-44G中，M、N分別是48、81cl上的點，且8W=2A|M,C、N=2B、N。

設AS=a,AC=b,AAt=ca

（1）試用a、b.c表示向量MN；

⑵若Nfi4c=90°,NMj=NCM|=60°,AB=AC=AA}=1,求MN的長。

【解析】(1)赤=麗+麗+麗=g明+Q+；而

2分

1f——]-*—1-171■*

=—(c-a)+a+—(b-a)=—a+—b^-—c；4分

33333

——?—c—*2—2—2—*—*—?—?—?—

⑵(a+〃+c)2=a+b+c+2a-b-^-2a-c+2b-c6分

=l+l+l+0+2xlxlx—+2xlxlx—=5,8分

22

^\a+h+c\=y[5,：.\MN\=^\a+b+c\=^-.

10分

18.（本小題滿分12分）

過點P（4,l）作直線/分別交x、y軸正半軸于A、3兩點。

（1）當A4OB面積最小時，求直線/的方程。

⑵當|041+1081取最小值時，求直線I的方程。

【解析】設直線/：土+上=1(。>0，8>0),:宜線/經(jīng)過點P(4,l),...9+,=1,

2分

abab

41

(1)-+-=1>2A^>16,當且僅當a=8,b=2時等號成立,4分

ah

，當a=8,Z?=2時，5乂08=：。人最小,

此時直線/的方程為]+]=l,即x+4y-8=。；6分

41

(2)V-+-=1,a>0,b>0,

ab

41ci4b/a4b

：.\OA\+\OB\=a+b=(a+bX-+-)=5+-+—>5+2^~?—=9,9分

abba\ba

當且僅當a=6,2=3時等號成立，10分

...當|。41+1OB|取最小值時，直線/的方程為x+2y-6=0。12分

19.(本小題滿分12分)

冗

如圖所示，在A4BC中，NABC=—,。為AB邊上一點，且3O5=3OC=2AB,2DA=2AO=PO,PO1.

4

平面A3C,旦DA/IPO。

(1)求證：平面PBOL平面COD；

(2)求直線PD與平面所成角的正弦值。

乂尸O_L平面ABC，OCu平面ABC，.,.PO,OC，2分

又；PO、ABu平面以8,PO[}AB=O,

...CO,平面尸A8，即CO_L平面P3Z),3分

又COu平面COD，，平面平面CQD；4分

⑵解：以OC、OB、O尸所在射線分別為X、y、Z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設Q4=1,則PO=08=OC=2,ZM=1,則C(2,0,0),5(0,2,0),尸(0,0,2),D(0,-l,l),

/.PD=(0,-l,-l),就=(2,-2,0),麗=(0,-3,1),6分

n-BC=O[2x-2y=0

設平面3ZX7的一個法向量為〃=(x,y,z),[-3y+z=0

n?BD=0

令y=1,貝ijx=1,z=3,n=(1,1,3),9分

設PD與平面g/x7所成的角為e,

75n,,lxO+lx(-l)+3x(-l),2>/22

則sin0=|-----：z-Il//?-

IPD""IJ。?+(_])2+(_])2*J]2+儼+32H

即直線PD與平面BDC所成角的正弦值為2叵。

12分

11

20.(本小題滿分12分)

已知平行四邊形A8CO的三個頂點的坐標為A(-1,4)、8(-2,-1)、C(2,3)。

(1)在A4BC中，求邊AC中線所在直線方程；

(2)求平行四邊形A3CD的頂點D的坐標及邊3c的長度;

(3)求A43c的面積。

【解析】如圖建系，

17

⑴設AC邊中點為M，則M點坐標為(5,]),1分

2+1

->十190

二直線—=-，二直線3M的方程為：y-(-l)=-(x+2),3分

-+255

2

即：9x—5y+13=0,AC邊中線所在直線的方程為：9x-5y+13=0；4分

⑵設點。的坐標為(x,y),由已知得M為線段8D的中點,

—2+x

2x=3

有4解得廠8，?,?0(3,8),6分

-1+^7

2-2

又??,以一2,-1)、C(2,3),則|5cb卜2-2)2+㈠-3產(chǎn)=4也；8分

⑶由8(—2,—1)、C(2,3)得直線3C的方程為：x-y+\=0,9分

BC12分

/.A到直線BC的距離4._)=1序”=2四，,SMBC=gx4后x2夜=8。

21.(本小題滿分12分)

TT

如圖1,在直角梯形ABCO中，AD//BC,/區(qū)4。=上，AB^BC=\,AD=2,E是AO的中點，。是AC

2

與3E的交點。將A45E沿BE折起到AA3E的位置，如圖2。

(1)證明：CD，平面A|OC；

(2)若平面4BE，平面BCDE,求平面A,BC與平面AXCD夾角的余弦值。

圖1圖2

rr

【解析】(1)證明：在圖1中，AB=5C=1,AD=2,E是4。的中點，ZBAD=~,：.BErAC,

2

即在圖2中，BE±O\.BEYOC,1分

乂oanoc=o,。4、OCu平面AOC，8EJ?平面AOC，3分

又CD//BE，,CDL平面AQC；4分

(2)解：由已知，平面平面5cDE,又由(1)知，BE_LO4、BE1OC，

二/4。。為二面角4-BE-C的平面角，ZA|OC=/,5分

如圖，以。為原點，OB.OC,兩為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系,

：48=4￡=8C=￡D=1,BC//ED,

：.8（坐,0,0）、E（一卓0,0）、4（0,0,*）、C（0，￥，0）,

.,.瓦=（一與,￥，0）,冠=（0,g,-與），CD=~BE^（-72,0,0）,7分

，一一[%?BC=01-M+y=0

設平面A/C的法向量〃1=（如外"，貝4上一,即'