離散傅里葉變換課件

第3章離散傅里葉變換3.1引言3.2傅里葉變換的幾種可能形式3.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）3.4離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì)3.5有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論3.8利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近第3章離散傅里葉變換3.1引言1通過(guò)上面的講述，看起來(lái)的有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列之間的差別似乎很小，因?yàn)槔眠@兩個(gè)關(guān)系式可以直接從一個(gè)構(gòu)造出另一個(gè)。然而在研究DFT的性質(zhì)以及改變x(n)對(duì)X(k)的影響時(shí)，這種差別是很重要的。盡管DFT和DTFT非常相似，但它們是兩種完全不同的運(yùn)算。DFT是一種數(shù)值運(yùn)算，它根據(jù)有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)x(n)計(jì)算有限個(gè)系數(shù)X(n)；而DTFT不具備計(jì)算可行性，因?yàn)樗腔跓o(wú)限長(zhǎng)的序列x(n)

來(lái)求解連續(xù)函數(shù)X(ω)的。

通過(guò)上面的講述，看起來(lái)的有限長(zhǎng)序列x(n)和2

信號(hào)時(shí)域抽樣理論實(shí)現(xiàn)了信號(hào)時(shí)域的離散化，使我們能用數(shù)字技術(shù)在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行處理。而離散傅里葉變換理論實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，因而開(kāi)辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號(hào)的新途徑，從而推進(jìn)了信號(hào)的頻譜分析技術(shù)向更深更廣的領(lǐng)域發(fā)展。

33.6離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT的一些性質(zhì)，本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè):DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT的一些性質(zhì)4一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。

和的長(zhǎng)度N1和N2不等時(shí)，選擇為變換長(zhǎng)度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證5二.序列的圓周移位1.定義一個(gè)有限長(zhǎng)序列的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將進(jìn)行周期延拓再進(jìn)行移位最后取主值序列：

二.序列的圓周移位6離散傅里葉變換課件72.圓周移位的含義

由于我們?nèi)≈髦敌蛄衳(n)，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來(lái)。如果把排列在一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱(chēng)作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列:。2.圓周移位的含義8圓周移位過(guò)程示意圖圓周移位過(guò)程示意圖93.時(shí)域圓周移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位，即則圓周移位后的DFT為證利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。3.時(shí)域圓周移位定理則圓周移位后的DFT為證利用周期10再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長(zhǎng)序列的圓周移位在離散頻域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移，而對(duì)頻譜的幅度沒(méi)有影響。再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長(zhǎng)序列的圓周移位在離散11

4.頻域圓周移位定理對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：若則這就是調(diào)制特性。它說(shuō)明，時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。4.頻域圓周移位定理則這就是調(diào)制特性。12三、對(duì)偶性若則三、對(duì)偶性若13四、圓周共軛對(duì)稱(chēng)性1.周期序列共軛對(duì)稱(chēng)分量與共軛反對(duì)稱(chēng)分量周期為N的周期序列的共軛對(duì)稱(chēng)分量與共軛反對(duì)稱(chēng)分量分別定義為

同樣，有四、圓周共軛對(duì)稱(chēng)性142.有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量分別定義為由于所以這表明長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列可分解為兩個(gè)長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。2.有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量由于所以153.共軛對(duì)稱(chēng)特性之一證明：3.共軛對(duì)稱(chēng)特性之一證明：164.共軛對(duì)稱(chēng)特性之二證明：可知：4.共軛對(duì)稱(chēng)特性之二證明：可知：175.共軛對(duì)稱(chēng)特性之三證明：5.共軛對(duì)稱(chēng)特性之三證明：186.共軛對(duì)稱(chēng)特性之四證明：6.共軛對(duì)稱(chēng)特性之四證明：197.共軛對(duì)稱(chēng)特性之五、六8.X(k)圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量的對(duì)稱(chēng)性7.共軛對(duì)稱(chēng)特性之五、六8.X(k)圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共20五、DFT形式下的帕斯瓦爾定理證如果令y(n)=x(n)，則式（2-62）變成五、DFT形式下的帕斯瓦爾定理證如果令y(n)=x(21即這表明一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的。即這表明一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)22六、圓周卷積（循環(huán)卷積）設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N-1），且有：若則表示x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷積。六、圓周卷積（循環(huán)卷積）若則表示x1(n)和x2(n)23

證這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列和作周期卷積后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓，即根據(jù)DFS的周期卷積公式證這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列24由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單換元，也可證明由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 25卷積過(guò)程可以用圖來(lái)表示。圓周卷積過(guò)程中，求和變量為m,n為參變量。先將x2(m)周期化，形成x2((m))N;再反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N，取主值序列則得到x2((-m))NRN(m)，通常稱(chēng)之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)。對(duì)x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2((n-m))NRN(m);當(dāng)n=0,1,2,…,N-1時(shí)，分別將x1(m)與x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。

N卷積過(guò)程可以用圖來(lái)表示。圓周卷積過(guò)程中，求和26圓周卷積過(guò)程示意圖圓周卷積過(guò)程示意圖27離散傅里葉變換課件28圓周卷積過(guò)程示意圖圓周卷積過(guò)程示意圖29N或N特別要注意，兩個(gè)長(zhǎng)度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號(hào)○來(lái)表示。圓周內(nèi)的N表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。NN或N特別要注意，兩個(gè)長(zhǎng)度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)30根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)稱(chēng)性，可得頻域圓周卷積定理：若x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則N即時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于各個(gè)DFT的圓周卷積再乘以1/N。根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)稱(chēng)性，可得頻域圓周卷積定31七、有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積

時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見(jiàn)第5章），因此圓周卷積與線性卷積相比，計(jì)算速度可以大大加快。但是實(shí)際問(wèn)題大多總是要求解線性卷積。例如，信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積，如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長(zhǎng)序列，那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來(lái)代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？下面就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。

七、有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積時(shí)域圓周321.線性卷積的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為它們線性卷積為設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N2-1）。設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N1-1），x2(33的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3的非零區(qū)間為1012n1012n334m-1-2-3mm1012mm-1-2-3mm1012m35mn2103145233211012mmn2103145233211012m362.用圓周卷積計(jì)算線性卷積LL先假設(shè)進(jìn)行L點(diǎn)的圓周卷積，再討論L取何值時(shí)，圓周卷積才能代表線性卷積。

設(shè)y(n)=x1(n)○x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積，L≥max［N1,N2］，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn)的序列。在這L個(gè)序列值中，x1(n)只有前N1個(gè)是非零值，后L-N1個(gè)均為補(bǔ)充的零值。同樣，x2(n)只有前N2個(gè)是非零值，后L-N2個(gè)均為補(bǔ)充的零值。則2.用圓周卷積計(jì)算線性卷積LL先假設(shè)進(jìn)行L點(diǎn)的圓37先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓它們的周期卷積序列為先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓它們的38前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個(gè)非零值。如果周期卷積的周期L<N1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥N1+N2-1時(shí)，才沒(méi)有交疊現(xiàn)象。這時(shí),在y1(n)的周期延拓中，每一個(gè)周期L內(nèi)，前N1+N2-1個(gè)序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)個(gè)點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。圓周卷積正是周期卷積取主值序列L因此前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個(gè)非39所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為滿(mǎn)足此條件后就有即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為滿(mǎn)足此40線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積41線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積42例一個(gè)有限長(zhǎng)序列為

（1）計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。例一個(gè)有限長(zhǎng)序列為（1）計(jì)算序列x(n)的143（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT0≤n≤4其他求序列y(n)。（4）將w(n)的n值范圍改為0≤n≤6，求y(n)。（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是式中,44

解：（1）x(n)的10點(diǎn)DFT（2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。本題中m=-2,x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)解：（1）x(n)的10點(diǎn)DFT（2）X45（3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進(jìn)行圓周卷積，可以先計(jì)算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝因?yàn)閳A周卷積為y(n)=z(n)y(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝（3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n46（4）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進(jìn)行圓周卷積，可以先計(jì)算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2｝圓周卷積為在0≤n≤9求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對(duì)n=0,1,2,…,9求和，得到：（4）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n47n01234567891011Z(n)z(n+10)11111332222200000000200y(n)3311133222____所以10點(diǎn)圓周卷積為y(n)=｛3,3,1,1，1,3,3,2,2,2｝n0123448離散傅里葉變換課件493.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣

時(shí)域抽樣:對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。

頻域抽樣:對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的抽樣.所以DFT就是頻域抽樣。3.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論502.由頻域抽樣恢復(fù)序列一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的Z變換為

由于x(n)絕對(duì)可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對(duì)X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到2.由頻域抽樣恢復(fù)序列51對(duì)進(jìn)行反變換,并令其為,則對(duì)進(jìn)行反變換,并令其為52

可見(jiàn),由得到的周期序列是非周期序列x(n)的周期延拓。也就是說(shuō),頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓。1,m=n+rN,0,其他m1,m=n+rN,533.頻域抽樣不失真的條件

當(dāng)x(n)不是有限長(zhǎng)時(shí)，無(wú)法周期延拓；

當(dāng)x(n)為長(zhǎng)度M,只有NM時(shí),才能不失真的恢復(fù)信號(hào),即3.頻域抽樣不失真的條件541.由X(k)恢復(fù)X(Z)

序列x(n)（0nN-1）的Z變換為由于，所以二.由X(k)表達(dá)X(Z)與的問(wèn)題——內(nèi)插公式1.由X(k)恢復(fù)X(Z)二.由X(k)表達(dá)X(Z)與55離散傅里葉變換課件56上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱(chēng)作內(nèi)插函數(shù)。上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱(chēng)作內(nèi)插函數(shù)。575. 與X(k)的關(guān)系

由于的特性可知,在每個(gè)抽樣點(diǎn)上其值為1,故就精確等于X(k)。即5. 與X(k)的關(guān)系58而在抽樣點(diǎn)之間,等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值

疊加而得。在以后章節(jié)中，我們將會(huì)看到，頻率抽樣理論為FIR濾波