三角形角平分線專題講解

文檔來源為文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持#由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（—）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，/AOCMBOC如取OE=OF并連接DEDF,則有△OED^AOFDADC從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。ADC例1.如圖1-2，AB//CD，BE平分/BCDCE平分/BCD點(diǎn)E在AD上,求證：BC=AB+CD分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法

來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2.已知：如圖1-3，AB=2ACZBAD2CADDA=DB求證DCLAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明例3.已知：如圖1-4，在△ABC中，/C=2ZB,AD平分/BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)已知在△ABC中,AD平分/BAC/B=2/C,求證：AB+BD=AC已知：在厶ABC中，/CAB=ZB，AE平分/CAB交BC于E，AB=2AC求證：AE=2CE已知：在厶ABC中,AB>AC,A為/BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC

已知：D是厶ABC的/BAC勺外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DBDC求證：BD+CD>AB+AC（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。圖2-1例1.如圖2-1，已知AB>AD,ZBACMFAC,CD=BC求證：/ADCZB=180圖2-1分析：可由C向ZBAD的兩邊作垂線。近而證ZADC與ZB之和為平角。例2.如圖2-2，在△ABC中,ZA=90,AB=ACZABDZCBD求證：BC=AB+AD分析：過D作DELBC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3，△ABC的角平分線BMCN相交于點(diǎn)P。求證：ZBACBB已知在厶ABC中，/C=90,AD平分/CABCD=1.5,DB=2.5.求AC。已知：如圖2-5, /BACKCAD,AB>ADCELAB1AE=2（AB+AD.求證：/D+ZB=180。已知：如圖2-6,在正方形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F為BC上的點(diǎn)，ZFAEZDAE求證：AF=AD+CF已知：如圖2-7，在Rt△ABC中,ZACB=90,CDLAB,垂足為D,AE平分ZCAB交CD于F,過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形,垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1.已知：如圖3-1,ZBADZDACAB>AC,CLAD于D,H是BC中點(diǎn)。1求證：DH*（AB-AC2分析：延長CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證圖3-2例2.已知：如圖3-2,AB=ACZBAC=90,AD為ZA圖3-2BC的平分線，CE!BE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角

例3.已知：如圖3-3在厶ABC中，ADAE分別/BAC的內(nèi)、外角平分線,過頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M求證：AM=MEN圖3-3例4.已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分/BACAD=ABCMLAD交N圖3-3例4.已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分/BACAD=ABCMLAD交AD1延長線于M求證：AM=(AB+AC2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△AB1D關(guān)于AD的對(duì)稱△AED然后只需證DM=EC另外21由求證的結(jié)果AM=(AB+AC，即2AM=AB+AC也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：已知：在厶ABC中,AB=5AC=3D是BC中點(diǎn)，AE是/BAC的平分線，且CELAE于E,連接DE求DE已知BE、BF分別是△ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFLBF1于F,AE1BE于E,連接EF分別交ABAC于MN,求證MN=BC2、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-2例4如圖，AB>AC,/仁/2,求證：AB-AC>BDCDBB例5如圖，BC>BABD平分/ABC且AD=CD求證：/A+ZC=18QEE如圖,AB//CDAEDE分別平分ZBAD各ZADE求證：AD=AB+GD如圖,D C練習(xí)：1.已知，如圖，ZC=2ZA,AC=2BC求證：△ABC是直角三角形CC2.已知：如圖，AB=2AQZ仁/2,DA=DB求證：DdACCC已知CE人。是厶ABC的角平分線，/B=60°,求證：AC=AE+CD已知：如圖在厶ABC中,ZA=90°,AB=ACBD是/ABC的平分線，求證:BC=AB+ADCC三由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：

1、 截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、 補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖1-1：D、EABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交ABAC于MN,在厶AMN中,AM+AN>MD+DE+NE；）在厶BDM中,MB+MD>B（2）在厶CEN中,CN+NE>CE（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE???AB+AC>BD+DE+EC(法二：圖1-2)延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G在厶ABF和△GFCffiAGDE中有：AB+AF>BD+DG+G三角形兩邊之和大于第三邊)…(1)GF+FOGE+C?上)(2)DG+GE>D0同上)(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+>EC圖21二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)

角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：圖21例如：如圖2-1:已知D ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/BDC>/BAC分析：因?yàn)?BDC與/BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/BDC處于在外角的位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/BDC?^EDC勺外角，???/BDC2DEC同理/DEC2BAC:丄BDC2BAC證法二：連接AD并廷長交BC于F,這時(shí)/BDF^AABD的夕卜角，???/BDF2BAD同理，/CDF*CAD BDF+/CDF*BAD*CAD即：/BDC*BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,圖31如：圖31例如：如圖3-1：已知ADABC的中線，且*仁*2*3=*4,求證:BE+CF>EF。分析｝要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知*仁*2，*3=*4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NENF,貝UDN=DC在厶DBE?3NDE中:「DN=D（輔助線作法）“ *仁*2（已知）''ED=E（公共邊）

???△DBE^ANDE（SAS???BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在厶EFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊）???BE+CF>EF注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1:在△ABC中,AB>ACZ仁/2,P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC分析:要證：AB-AOPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再連接PN貝UPC=PN又在△PNB中,PB-PNvBN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在AAPN和/1APC中"AN二AC（輔助線作法）,/1二Z2（已知）AP=AP（公共邊）???ZAPN幻APC（SAS），/PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）T在ZBPN中，有PB-PNvBN（三角形兩邊之差小于第三邊）???BP-PCvAB-ACC“7M證明：（補(bǔ)短法）

C“7M延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在MBP和/△AMP中，AB=AM（輔助線作法）/仁Z2（已知）AP=AP（公共邊）???/ABPMMP（SAS）???PB二PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又?.?在ZPCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）???AB-AOPB-PC。例1例1?如圖,例2如圖，在四邊形ABCD中,AC平分/BAD,CE±AB于E,AD+AB=2AE求證：/ADC求證：/ADC#B=18Gb例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=ACA=108°,BD平分ABC求證：BC=AB+DC例4如圖，已知Rt△ABC中，/ACB=90,AD是/CAB的平分線，DMLAB1于1于M,且AM=M。求證：CD=2DB1.如圖，AB//CDAEDE分別平分/BAD各ZADE求證：AD=AB+C。nr.nr.2.如圖，△ABC中，ZBAC=90，AB=ACAE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BDLAE于D,CELAE于E。求證：BD=DE+CE四由中點(diǎn)想到的輔助線口訣:三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是△ABC的中線，貝USaabD=Saace=JSaabc（因?yàn)椤鰽BD與△ACD是等底同高的）

例1如圖2,AABC中，AD是中線，延長AD到E,使DE=ADDF是△DCE的中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因?yàn)锳D是AABC的中線，所以Saac=1Saab=,X2=1，又因CD是AAC22】E的中線，故Sacd=Saac=1，因DF是ACDE勺中線，所以SaCDF=1Sa2Z2???ACDF的面積為1。Z（二八由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2?如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CDE、F分別是BCAD的中點(diǎn)，BACD的延長線分別交EF的延長線G耳求證：/BGEMCHE證明：連結(jié)BD并取BD的中點(diǎn)為M連結(jié)MEMF???ME是ABCD勺中位線，ME1CD MEFMCHE=Z???MF是AABD勺中位線，MF[AB???/MFEMBGE2???AB=CD?ME=MF MEFMMFE從而/BGEMCHE

（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知△ABC中，AB=5AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長。解：延長AD至UE,使DE=AD貝UAE=2AD=￡2=4。在△ACD和△EBD中,???AD=ED/ADChEDBCD=BD???△ACD^AEBD二AC=BE從而BE=AC=3在AABE中，因AU+BE=42+32=25=AB,故/E=90°,???BD=丁-；廠J=廠I=〔」，故BC=2BD=2_;AD又是BC邊上的中例4.如圖5,已知AABC中,AD是/AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。證明：延長AD至UE,使DE=AD仿例3可證：ABED^ACAD故EB=ACZE=Z2,又/仁/2,?/仁/E,?AB=EB從而AB=AC即卩AABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC丄BC,ADLBD,求證：AC=BD證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DECE貝UDECE分別為RtAABDRtAABC斜邊AB上的中線,故DE=CE=AB,因此/CDEMDCE???AB//DC,/CDEM1,/DCEN2,/仁/2,在AADE和ABCE中,

vDE=CEZ仁/2,AE=BE???△ADE^ABCE二AD=BC從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90,BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE證明：延長BACE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中,V/仁/2,BE=BEZBEF=/BEC=90,???ABEF^ABEC二EF=EC從而CF=2CE又/1+/F=/3+/F=90°,故/1=/3。90在AABD和AACF中,v/仁/3,AB=AC/BAD/CAF=90?AABD^AACF?-BD=CF?-BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1: ABC的中線，且/仁/2,/3=/4,求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M使DM=D,連接CMMR在厶BDEffiACDM中,'BD=C（中點(diǎn)定義）?/仁/5（對(duì)頂角相等）ED=M（輔助線作法）?△BDE^ACD