利用夾逼準(zhǔn)則求極限之歐陽(yáng)引擎創(chuàng)編

歐陽(yáng)引擎創(chuàng)編 歐陽(yáng)引擎創(chuàng)編 2021.01.01歐陽(yáng)引擎創(chuàng)編 歐陽(yáng)引擎創(chuàng)編 2021.01.01利用夾逼準(zhǔn)則求極限歐陽(yáng)引擎(2021.01.01)夾逼準(zhǔn)則的使用方法：定理1用夾逼準(zhǔn)則求極限，就是將數(shù)列放大和縮小。要求放大和縮小后的極限容易求出，此時(shí)常將其放大到最大項(xiàng)的整數(shù)倍，縮小到最小項(xiàng)的整數(shù)倍，并且此時(shí)兩者極限相等，即兩者是等價(jià)無(wú)窮小，此時(shí)就可以得到原數(shù)列極限的值。題型1夾逼準(zhǔn)則常用于求若干項(xiàng)和的極限推論1極限變化過(guò)程中最小項(xiàng)與最大項(xiàng)之比為1時(shí)可以使用夾逼準(zhǔn)則求其極限。證明：不妨設(shè)最小項(xiàng)為a(X),最大項(xiàng)為Pa),數(shù)列有n項(xiàng)，則整數(shù)倍為n倍，TOC\o"1-5"\h\zna(X) a(X)lim 二1二lim .由定理1可知 〃P(x) P(%)11 1lim(. +. +...+. )彳夕U1.^求nT0弋n2+2 nn2+4 nn2+2n.=lim<1=1.nfslim-21+2n=lim"2+2==lim<1=1.nfsnfsnfsvn2+2nnfs\n2+2n解：nn解：nn2+21-n< ++...+ 1 <f1.由推論1， nn2+2nnn2+2nn2+4vn2+2n nn2+2由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為1.lim(—1—+例2.求nfsn2+n+1——1——+...+——1——).n2+n+2n2+n+n解：limn-8n2+n+1y=lim =1.n-8n2+n+n V + n2+n+nn2+n+1n2+n+20.由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為0.lim(例3.求n-8―n—).n2+n+n解：由推論1，1 n(n+1)-― 2 2n n(n+1)? < + +…+ < n2+n+nn2+n+1 n2+n+2 n2+n+n2由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為2.由以上例題可以看出用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)列進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s接下來(lái)的例題稍有難度，難處仍難在放縮的技巧2n

lim

例4.求n-8例0<2n=2」」*...x2V上（放到第二項(xiàng)最大）解：n!123nn!4 2nlim—=0 lim—=0.且n-8n!.故由夾逼準(zhǔn)則可知n-8n!例5.求nlim——(a>1).n-8。n解：設(shè)a=1+h(h〉0),貝U0<n-<—2—, lim—2—=0,從而an (n-1)h2因?yàn)閚-g(n-1)h2limn—=0.由夾逼準(zhǔn)則可知n-Nn3；n2sin(n!)lim 例6.求n-g n+10<解：由于3n2sin(n!)<3n23：n2< 0<解：由于3n2sin(n!)<3n23：n2< .Tn（三角函數(shù)有界性）即3：n1<3n2sin(n!)1 11<rlim--=lim——0,3n,而n-g3n n-g3n由夾逼準(zhǔn)則可知嗎3n2sin(n!) -0.n+1例7.求1

lim(1+2n+3n)n.n-g解：原式―lim3[(1)+(2)n+1n]：—lim3[(1)n+n-g n-g因?yàn)?<(3)n+(l)n<1,1<(3)n+(3)n+1<3兩邊同時(shí)乘以3n得至1」3n<1+2n+3n<3n+1,1 1再兩邊同時(shí)開(kāi)n次方根得到3<[1+2n+3n]n<3義3n.當(dāng)n-g時(shí),右邊―lim(3x3n)-3xlim3'-3x1—3-lim3-左邊.n-gn-gn-g故由夾逼準(zhǔn)則可得1

lim(1+2n+3n)n=3.故由夾逼準(zhǔn)則可得n-g口lim—例8.求x-gX解：由取整函數(shù)的性質(zhì)可知x-1<圖<x.|na_Lx-1<曰<X,即1-1<曰<1；當(dāng)x>0時(shí)，XXXXX歐陽(yáng)弓歐陽(yáng)弓I擎創(chuàng)編 2021.01.01歐陽(yáng)弓擎創(chuàng)編 歐陽(yáng)弓擎創(chuàng)編 2021.01.01當(dāng)x<0時(shí),x-1、口、x1口 ＞一＞—,即1--＞一＞1；…1」=，…n…日"1.因?yàn)閤— x 由夾逼準(zhǔn)則可得x—x例9.求xIb\.lim—I—I（a>0,b>0）.x-0+