小專題(六) 構(gòu)造全等三角形的常用方法

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|單元自測|滾動學(xué)習(xí)|科學(xué)高效第十二章全等三角形小專題(六)

構(gòu)造全等三角形的常用方法可編輯PPT請雙擊文本框彈出對象，便可編輯修改哦?。》椒?利用“角平分線”構(gòu)造全等三角形

因角平分線本身已經(jīng)具備全等的三個條件中的兩個(角相等和公共邊相等)，故在處理角平分線問題時，常作以下輔助線構(gòu)造全等三角形：(1)在角的兩邊截取兩條相等的線段；(2)過角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線段．1．(濱州中考改編)如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點(diǎn)，求證：PM＝PN.證明：過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°.∴∠EPF＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN.∴∠EPM＝∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF.在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN(ASA)．∴PM＝PN.【拓展1】OM＋ON的值是否為定值？請說明理由．解：OM＋ON的值是定值．理由：∵△PEM≌△PFN，∴ME＝NF.易證△EPO≌△FPO，∴OE＝OF.∴OM＋ON＝OE＋EM＋ON＝OE＋NF＋ON＝OE＋OF＝2OE＝定值．【拓展2】四邊形PMON的面積是否為定值？請說明理由．解：四邊形PMON的面積是定值．理由：∵△PEM≌△PFN，∴S△PEM＝S△PFN.∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值．方法2利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形

截長補(bǔ)短法的具體做法：在某一條線段上截取一條線段與特定線段相等，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種方法適用于證明線段的和、差、倍、分等題目．2．如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC＝AB＋CD.證明：在BC上截取BF＝AB，連接EF.∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠BFE.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠BFE＋∠D＝180°.∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠D.在△FCE和△DCE中，∴△FCE≌△DCE(AAS)．∴CF＝CD.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.3．(德州中考)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG.先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是

；EF＝BE＋DF解：EF＝BE＋DF仍然成立．理由：延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.方法3利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形

將中線延長一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等．

4．如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝2AM.證明：延長AM至N，使MN＝AM，連接BN.∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM.方法4利用“三垂直”構(gòu)造全等三角形

如圖，若AB＝AC，AB⊥AC，則可過斜邊的兩端點(diǎn)B，C向過A點(diǎn)的直線作垂線構(gòu)造△ABD≌△CAE.在平面直角坐標(biāo)系中，過頂點(diǎn)A的直線常為x軸或y軸．5．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示．(1)如圖1，若A(1，0)，B(0，3)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖2，若A(1，3)，B(－1，0)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖3，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A點(diǎn)坐標(biāo)．解：(1)過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D.則∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAD＝90°.∴∠BAO＝∠ACD.(2)過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E.同(1)可證△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1.∴C(4，1)．(3)過點(diǎn)A作AD⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為D，E.同(1