數(shù)學(xué)人教A版必修4導(dǎo)學(xué)案2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示的意義．2．了解向量與坐標(biāo)的關(guān)系，會(huì)求給定向量的坐標(biāo)．1．平面向量的正交分解把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】如圖所示，在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，下列是正交分解的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))2．平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向______的兩個(gè)______向量i，j作為______．(2)坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，__________對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)______叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在____軸上的坐標(biāo)，y叫做向量a在____軸上的坐標(biāo)．(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐標(biāo)表示．(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝______，j＝______，0＝______.【做一做2】已知基向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，m＝4i－j，則m的坐標(biāo)是()A．(4,1) B．(－4,1) C．(4，－1) D．(－4，－1)3．向量與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)______就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的______就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)(x，y)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示．即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對(duì)是________的．向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同．當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)才相同．【做一做3】平面直角坐標(biāo)系中，任意向量m的坐標(biāo)有________個(gè)．答案：1．垂直【做一做1】B由于eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))是正交分解．2．(1)相同單位基底(2)有且只有一(x，y)xy(4)(1,0)(0,1)(0,0)【做一做2】C3．(x，y)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)【做一做3】1由于向量和有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的，則任意向量m的坐標(biāo)僅有1個(gè)．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三種：①字母表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，例如向量a；也可以用上面加箭頭的兩個(gè)大寫英文字母來表示，例如向量eq\o(AB,\s\up6(→))，該向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B.②幾何表示法：用有向線段來表示．③代數(shù)表示法：用坐標(biāo)表示．2．點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的聯(lián)系與區(qū)別剖析：(1)表示形式不同，向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號(hào)．(2)意義不同，點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量a＝(x，y)．(3)聯(lián)系：當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．題型一求向量的坐標(biāo)【例1】如圖所示，已知點(diǎn)M(1,2)，N(5,4)，試求eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．分析：用基底i和j表示eq\o(MN,\s\up6(→))＝xi＋yj，則(x，y)是eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．反思：向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對(duì)位置有關(guān)系．特別地，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．題型二由向量共線求參數(shù)值【例2】設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量ka＋b與2a＋kb共線，求實(shí)數(shù)k的值反思：解答由向量共線求參數(shù)值的題目，應(yīng)由向量共線定理：λa＋μb＝0(a，b不共線)，則λ＝0，μ＝0列出方程組，再解方程組得參數(shù)值．題型三平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【例3】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|OA|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)．反思：求向量的坐標(biāo)時(shí)，將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)后，利用三角知識(shí)求出終點(diǎn)坐標(biāo)即可．答案：【例1】解：分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝4i＋2j，所以eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(4,2)．【例2】解：∵向量ka＋b與2a＋kb∴存在實(shí)數(shù)λ使ka＋b＝λ(2a＋kb)即(k－2λ)a＝(kλ－1)b.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2λ＝0，,kλ－1＝0))k2＝2.∴k＝±eq\r(2).【例3】解：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．1．已知a＝(3,2x－1)，b＝(y＋1，x)，且a＝b，則xy＝________.2．如圖所示，向量的坐標(biāo)是________．3．在直角坐標(biāo)系中，|a|＝4，|b|＝3，a，b如圖所示，求它們的坐標(biāo)．答案：1．2∵a＝b，∴解得x＝1，y＝2，