直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系（一）導(dǎo)學(xué)案 高二上學(xué)期北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科（A/B）導(dǎo)學(xué)案主備班級(jí)小組學(xué)生姓名課題：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解直線的傾斜角與斜率的概念.2、掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的概念，過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式.難點(diǎn)：用直線的傾斜角和斜率刻畫(huà)直線的幾何特征，建立直線的傾斜角、斜率及直線上任意兩點(diǎn)縱橫坐標(biāo)差商之間的關(guān)系.【學(xué)習(xí)流程】◎基礎(chǔ)感知1、問(wèn)題1：直線是最簡(jiǎn)單的幾何圖形之一，確定一條直線的幾何要素是什么？追問(wèn)：還有沒(méi)有其他確定一條直線的方法？ 思考確定一條直線的幾何要素是什么？對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線（圖2.1-1)，如何利用坐標(biāo)系確定它的位置？我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線．2、問(wèn)題2：下面我們利用直角坐標(biāo)系進(jìn)一步研究確定直線位置的幾何要素.觀察圖2.1-2中經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的直線束，它們的區(qū)別是什么？你能用利用直角坐標(biāo)系中的一些元素將這些直線區(qū)分開(kāi)來(lái)嗎？設(shè)，為直線上的兩點(diǎn)，則就是這條直線的方向向量．所以，兩點(diǎn)確定一條直線可以歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線，它們組成一個(gè)直線束（圖2.1-2)，這些直線的區(qū)別是什么？在上述探究過(guò)程中，學(xué)生的第一反應(yīng)是與x軸的夾角.教師要做好引導(dǎo)，說(shuō)明方向與夾角之間的關(guān)系，兩者都描述了直線的傾斜程度.在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向．因此，這些直線的區(qū)別是它們的方向不同．如何表示這些直線的方向？我們看到，這些直線相對(duì)于軸的傾斜程度不同，也就是它們與軸所成的角不同．因此，我們可以利用這樣圖2.1-2的角來(lái)表示這些直線的方向．◎探究未知1、傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，把x軸（正方向）按方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l首次重合時(shí)所成的角，稱為直線l的傾斜角．通常傾斜角用α表示.(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為.2．直線的傾斜角α的取值范圍為.3.直線的傾斜角的意義是刻畫(huà)了直線的傾斜程度.點(diǎn)睛：傾斜角還可以這樣定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角思考：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？提示由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．例題1.設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí),傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),傾斜角為α-135°◎展示提升一、情境導(dǎo)學(xué)交通工程上一般用“坡度”來(lái)描述一段道路對(duì)于水平方向的傾斜程度,如圖,一輛汽車沿某條道路從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn),在水平方向前進(jìn)的距離為AD,豎直方向上升的高度為DB(如果是下降,則DB的值為負(fù)實(shí)數(shù)),則坡度k=上升高度水平距離=DBAD坡度是利用高度的平均變化率刻畫(huà)道路的傾斜程度，與坡度的意義類似，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜程度利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示如下：已知直線l上兩點(diǎn)顯然，若直線l與x軸垂直時(shí)，它的斜率不存在；若直線l與x軸不垂直，則它的斜率存在且唯一。故我們常用斜率來(lái)表示直線的傾斜程度.二、深化概念一般地，如圖2.1-4，當(dāng)向量的方向向上時(shí)，，平移向量到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的傾斜角也是，由正切函數(shù)的定義，有．同樣，當(dāng)向量的方向向上時(shí)，如圖2.1-5，，也有．k=若k是直線l的斜率，則v=(1,k)是它的一個(gè)方向向量；若直線l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x,y）,其中x≠0，則它的斜率k=三、直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系結(jié)合正切函數(shù)圖像可知，斜率k與傾斜角α有如下關(guān)系：當(dāng)α∈0,π2時(shí)當(dāng)α∈(π2，π當(dāng)α=π2例題已知直線l的傾斜角α，斜率為k（1）若α∈[0,（2）若α∈[π4（3）若k∈[-1,3]，求傾斜角◎達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.直線的傾斜角為（）A．0° B．45° C．90° D．135°2.若點(diǎn)，則直線AB的斜率是（

）A． B． C．1 D．23.若，，三點(diǎn)在同一條直線上，則的值為（

）A． B． C． D．4.下列命題中，正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C．若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是D．當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增.