廣東省高州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題

第PAGE"pagenumber"17頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"17頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"17頁(yè)廣東省高州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1.已知集合，，則（

）A． B． C． D．2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．3.如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．4.設(shè)集合.，那么“且”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5.函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．6.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，，則（）A．3 B．4 C．5 D．67.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，在這6個(gè)頂點(diǎn)中任意取2個(gè)不同的頂點(diǎn)，得到線段，則的概率為（）A． B． C． D．8.如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．關(guān)于這個(gè)問題，下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲得錢是戊得錢的倍 B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的倍 D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢10.如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是函數(shù)，的一個(gè)對(duì)稱中心C． D．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)11.若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．， D．12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有一個(gè)極值點(diǎn) B．設(shè)，則與的單調(diào)性相同C．在上單調(diào)遞增 D．有且只有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13.當(dāng)為常數(shù)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則．14.在中，若，則是三角形．15.已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．16.若，，則．四、解答題（本大題共6小題）17.從條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并給出解答．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，求的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．18.年月日既是中華人民共和國(guó)第個(gè)國(guó)慶日，又是農(nóng)歷中秋節(jié)，雙節(jié)同慶，很多人通過(guò)短視頻或微信、微博表達(dá)了對(duì)祖國(guó)的祝福．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解通過(guò)短視頻或微信、微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝福的人們是否存在年齡差異，通過(guò)不同途徑調(diào)查了數(shù)千個(gè)通過(guò)短視頻或微信、微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝福的人，并從參與者中隨機(jī)選出人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這人中通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝福的有人．將這人按年齡分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求的值并估計(jì)這人的平均年齡；（2）把年齡在第，，組的居民稱為青少年組，年齡在第，組的居民稱為中老年組，選出的人中通過(guò)短視頻表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝福的中老年人有人，問是否有的把握認(rèn)為是否通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)的祝福與年齡有關(guān)？附：19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若為等差數(shù)列，，，求和的表達(dá)式；若數(shù)列滿足，求．20.如圖，在四棱柱中，底面，，，且，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值．21.已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作直線，，與橢圓分別交于點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）若直線，的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．22.設(shè)函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時(shí)，函數(shù)，證明：存在極小值點(diǎn)，且．

參考答案1.【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求集合，運(yùn)用集合間的運(yùn)算直接求解.【詳解】，所以，故選：B．2.【答案】D【分析】先運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再求模即可.【詳解】，所以故選：D.3.【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算即可求解.【詳解】依題意，，故選：B4.【答案】C【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義，結(jié)合集合的交集定義進(jìn)行求解即可【詳解】當(dāng)且成立時(shí)，根據(jù)集合的交集定義可知：，當(dāng)成立時(shí)，根據(jù)集合的交集定義可知：且，故“且”是“”的充分必要條件，故選：C5.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除C，再由當(dāng)時(shí)，排除A，D，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除C；又由當(dāng)時(shí)，排除A，D.故選：B．6.【答案】C【分析】通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)算出，再根據(jù)點(diǎn)以及點(diǎn)三點(diǎn)共線算出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用焦半徑公式即可.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上得，設(shè)，由直線過(guò)定點(diǎn)得，解得（舍去2），所以故選：C.7.【答案】C【分析】先分析，然后列舉基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式直接求得.【詳解】由已知得，，，在這6個(gè)頂點(diǎn)中任意取2個(gè)不同的頂點(diǎn)，，得到以下15條線段：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足的有以下6條線段：，，，，，，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式得，的概率為.故選C.8.【答案】D【分析】根據(jù)展開圖，得到直觀圖為直三棱柱，求得底面的外接圓半徑，由外接球體積求得外接球的半徑，進(jìn)而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距離，乘以2即得三棱柱的高，即為的長(zhǎng).【詳解】由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其外接圓的半徑滿足，所以．由得．由球的性質(zhì)可知，球心到底面的距離為，結(jié)合球和直三棱柱的對(duì)稱性可知，，故選D．9.【答案】AC【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，結(jié)合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得錢，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得錢，乙得錢，丙得錢，丁得錢，戊得錢，則有如下結(jié)論：甲得錢是戊得錢的倍，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯(cuò)誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C正確；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)圖像得函數(shù)解析式為，進(jìn)而判斷函數(shù)圖像性質(zhì).【詳解】由題知，，函數(shù)的最小正周期，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，，解得，，又，所以，故C正確；函數(shù)，因?yàn)?，所以不是函?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；令，，得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確．故選：ACD．11.【答案】ABC【分析】利用均值不等式以及不等式性質(zhì)即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，，故C正確；因?yàn)?，所以，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12.【答案】ACD【分析】利用的二次求導(dǎo)，得到，，從而存在，使得，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義即可判斷選項(xiàng)，求出的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論即可判斷選項(xiàng)．利用函數(shù)的極值點(diǎn)即可判斷選項(xiàng).【詳解】解：由題知，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，故的一個(gè)極值點(diǎn)為0，所以與的單調(diào)性不相同，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c在上都是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，，且，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．13.【答案】【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，得到，即得解.【詳解】的第項(xiàng)為，令，得，所以，解得．故答案為：14.【答案】等腰直角【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，有，所以，而，所以，，因此為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角15.【答案】【分析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為．由圓心在直線上，可設(shè)．因?yàn)榕c軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得．因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：16.【答案】【分析】由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，由，令，則，從而可得，則，從而得出答案.【詳解】由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得由，令，則所以，即所以，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，由以及，則由即，則故答案為：17.【答案】答案見解析.【分析】若選①，利用余弦定理可得，求出角后可計(jì)算三角形的面積.若選②，利用正弦定理可得，求出角后可計(jì)算三角形的面積.若選③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可計(jì)算三角形的面積.【詳解】解：選擇①，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，所以由余弦定理得，而為三角形?nèi)角，所以，所以的面積為．選擇②，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以．又，所以，所以，而為三角形?nèi)角，所以，所以，所以的面積為．選擇③，因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，所以．又，所以，所以，而為三角形?nèi)角，所以，所以的面積為．18.【答案】（1）；41.5；（2）是有.【分析】（1）利用所有小矩形的面積之和為1建立等量關(guān)系即可求解.（2）前三組的人數(shù)是青少年中通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)的祝福的人數(shù)，則是中老年中通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)的祝福的人數(shù)，由通過(guò)短視頻表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝福的中老年人有人，則是中通過(guò)短視頻表達(dá)祝福的青少年人數(shù)，據(jù)此列出得列聯(lián)表，代入公式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由得，．這人的平均年齡為：．（2）前組人數(shù)為，由題意得列聯(lián)表：通過(guò)短視頻表達(dá)祝福通過(guò)微信或微博表達(dá)祝福合計(jì)青少年中老年合計(jì)，所以是有的把握認(rèn)為通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)的祝福與年齡有關(guān)．19.【答案】，；.【分析】設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合條件列式求解即可；根據(jù)題干再構(gòu)造出一組求和，兩式做差得到，分步討論進(jìn)而得出.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)為（為等差數(shù)列的公差），則，解得，所以，．，①當(dāng)時(shí)，，②由①②得，，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.20.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證出，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)椋?，所以，即．因?yàn)榈酌?，所以底面，所以．因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平面．?）解：如圖，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以，由圖知二面角為銳角，所以二面角所成角的余弦值為．21.【答案】（1），離心率為；（2）證明見解析.【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得到的一個(gè)方程，再由與拋物線的焦點(diǎn)相同再得的一個(gè)關(guān)系式，從而得到橢圓方程和離心率；（2）設(shè)直線的斜率為，然后聯(lián)立直線與橢圓方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，同理與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率公式可得答案.【詳解】（1）由題設(shè)，得，①且，②由①②解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的離心率為．（2）直線的斜率為定值1.證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，記，．設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，并消去得，則，是該方程的兩根，則，即．設(shè)直線的方程為，同理得．因?yàn)?，，所以，因此直線的斜率為定值．22.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求，分別討論和時(shí)與的解集，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)其求導(dǎo)可得，再令，再