論矩陣可交換的充要條件

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第23卷第5期2007年10月論矩陣可交換的充要條件（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）大學(xué)數(shù)學(xué)COLLEGEMATHEMATICSVol.23,№.5Oct.2007論矩陣可交換的充要條件錢(qián)微微1,蔡耀志2(1.浙江中醫(yī)藥大學(xué),杭州310053;[摘要],,通過(guò)將矩陣A化成A,那么與它可交換的矩陣B必可表示為A1.[;;多項(xiàng)式矩陣[]O151.21[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C[文章編號(hào)]167221454(2007)0520213204本文揭示了與一個(gè)A矩陣可交換(即AB=BA)的B矩陣所應(yīng)滿足的充要條件為:除A很特殊的情形外(參看本文)B與A可交換的充要條件為B是A的n-1次多項(xiàng)式:2n-1Pn(A)=p0I+p1A+p1A+…+pn-1A.引理1(i)A=O時(shí)(即A為零矩陣時(shí)),與A可交換的矩陣B可以是任意的與A同階的B矩陣;(ii)當(dāng)A是純量矩陣時(shí),即A=aIn,a是實(shí)數(shù),In是n階單位矩陣,則與A可交換的B矩陣也可以是任意與A同階的矩陣;(iii)A的冪矩陣總是與A可交換的.推論A的任意次多項(xiàng)式矩陣總是與A可交換的.定理1與A可交換的多項(xiàng)式矩陣總可以轉(zhuǎn)化為小于等于n-1次的多項(xiàng)式矩陣.證應(yīng)用哈密頓—?jiǎng)P萊定理,即可將高于n-1次的A的冪矩陣轉(zhuǎn)化為小于等于n-1次的多項(xiàng)式矩陣.本定理即為本文結(jié)論的充分性結(jié)論.然而必要性的證明卻并不容易.為了相信必要性的正確性,我們不妨先分析一下一般二階矩陣的情形:設(shè)A=a11a21a12a22,此時(shí),與它可交換的矩陣B不妨寫(xiě)成X=x11x21x12x22.考慮到AX=XA,我們獲得等價(jià)的一個(gè)線性方程組a11x11+a12x21=a11x11+a21x12,a11x12+a12x22=a12x11+a22x12,a21x11+a22x21=a11x21+a21x22,a21x12+a22x22=a12x21+a22x22.(1)(2)(3)(4)(5)消去方程組中左右相同的項(xiàng)后,(1),(4)二式是相同的,a21x12=a12x21.由(2)得(設(shè)a12≠0)x11-x22=.a12(6)由(3)得(設(shè)a21≠0)[收稿日期]2005211202144大學(xué)數(shù)學(xué)第23卷x11-x22=.a21(7)從(5),(6),(7)推得與A可交換的條件為一、當(dāng)a12=a21=0,a11=a22時(shí),A矩陣是純量矩陣.此時(shí)由引理1中的(ii)即知X可任取二階矩陣都與A可交換;二、當(dāng)a21≠0,a12≠0時(shí),推得可交換條件為===t′.a11-a22a21a12再令x12=t0′,那么X有解a11-a22a12a11100X=t0′+t′=t00a210a21可驗(yàn)證,A(11a)t+011+)t+21t0aa22a12t+a12t0(a22a22+a12a21)t+a22t012a22=XA.而對(duì)于a1200,a120等條件下求解也都能歸結(jié)于以上的X的解的形式.因此我們從,但是仍用解方程組的辦法來(lái)分析,對(duì)于三階以上矩陣已非常繁瑣,顯然不能用此方法.下面我們考慮另外的方法.引理2當(dāng)A矩陣為對(duì)角陣,即A=diag(a1,a2,…,an),且ai(i=1,2,…,n)互不相同時(shí),與它可交換的B矩陣必可表示成A的n-1次多項(xiàng)式.證與對(duì)角矩陣可交換的矩陣用求解方程(AB=BA)的辦法可得到結(jié)論:B必須是一個(gè)對(duì)角陣B=diag(c1,c2,…,cn),ci(i=1,2,…,n)可以取任何實(shí)數(shù).如果我們考察下面方程:B=p0In+p1A+…+pn-1An-1.它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)p0,p1,…,pn-1作為未知數(shù)的線性方程組.其系數(shù)矩陣正好是一個(gè)范得蒙行列式.當(dāng)ai互不相同時(shí),該系數(shù)行列式不為零,所以可求得pi,i=0,1,2,…,n-1是唯一解.故引理的結(jié)論得證.引理3當(dāng)A為約當(dāng)塊矩陣,即第5期錢(qián)微微,等:論矩陣可交換的充要條件145定理2一個(gè)矩陣A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J后,若J中沒(méi)有純量矩陣的約當(dāng)塊Jc,那么與A可交換的B矩陣其充要條件為B可以化成A的n-1次多項(xiàng)式,即2n-1B=Pn-1(A)=p0I+p1A+p2A+…+pn-1A.證對(duì)于與A可交換的B矩陣應(yīng)滿足的方程AB=BA中,若將A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型A=P-1JP,其中P為滿秩陣J為標(biāo)準(zhǔn)型.將A代入上面方程,得-1-1PJPB=BPJP.若令X=PBP-1,則方程化成JX=XJ.這就表明:要求A的可交換矩陣,可先求A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J的可交換矩陣C,則與A可交換的矩陣-1B=PCP.由于本定理的前提中表明約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J中沒(méi)有Jc型(純量矩陣約當(dāng)塊),Ja型約當(dāng)塊由引理2即知與Ja可交換的矩陣可表示為Ja的n-1次多項(xiàng)式.對(duì)于Jb型約當(dāng)塊,由引理3即知與Jb可交換的矩陣也必可表示為Jb的n-1次多項(xiàng)式.由定理?xiàng)l件,J現(xiàn)在只有這兩種類型的約當(dāng)塊,所以與J可交換的矩陣必可表示為J的n-1次多項(xiàng)式Pn-1(J).那么與A可交換的矩陣必為B=P-1Pn-1(J)P=Pn-1(P-1JP)=Pn-1(A).這就證明了在定理前提下與A可交換矩陣B的充要條件為B=Pn-1(A).我們知道,將一個(gè)矩陣化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型工作量很大,要等到標(biāo)準(zhǔn)型化成才能應(yīng)用本定理作出判斷,那也太麻煩了.事實(shí)上不必作出約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的分解即可判別一個(gè)矩陣是否含有純量矩陣約當(dāng)塊.例設(shè)JaA=P-1JaJbJcP=POO-1OOOOJb++OJcPJa=P-1+JbP+OJc.146大學(xué)數(shù)學(xué)第23卷這表明,純量約當(dāng)塊Jc在A矩陣中會(huì)直接顯示出來(lái)一目了然.于是本定理可表達(dá)為若A矩陣中沒(méi)有純量矩陣的對(duì)角塊,那么與它可交換的矩陣B必可表示為A矩陣的n-1次多項(xiàng)式.[參考文獻(xiàn)][1]戴華.矩陣論[M].北京:科學(xué)出版社,2001. §8-4矩陣相似的條件在求一個(gè)數(shù)字矩陣的特征值和特征向量時(shí)曾出現(xiàn)過(guò)矩陣,我們稱它為的特征矩陣.這一節(jié)的主要結(jié)論是證明兩個(gè)數(shù)字矩陣和相似的充要條件是它們的特征矩陣和等價(jià).引理1:如果有數(shù)字矩陣使,(1)則和相似.引理2:對(duì)于任何不為零的數(shù)字矩陣和矩陣與，一定存在矩陣與以及數(shù)字矩陣和使,(2).(3)定理7:設(shè)，是數(shù)域上兩個(gè)矩陣.與相似的充要條件是它們的特征矩陣和等價(jià).矩陣的特征矩陣的不變因子以后簡(jiǎn)稱為的不變因子.因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣等價(jià)的充要條件是它們有相同的不變因子，所以由定理7即得推論:矩陣與相似的充要條件是它們有相同的不變因子.應(yīng)該指出，矩陣的特征矩陣的秩一定是.因此，矩陣的不變因子總是有個(gè)，并且，它們的乘積就等于這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式.以上結(jié)果說(shuō)明，不變因子是矩陣的相似不變量，因此我們可以把一個(gè)線性變換的任一矩陣的不變因子(它們與該矩陣的選取無(wú)關(guān))定義為此線性變換的不變因子.矩陣的相似對(duì)角化一、填空題1.若。2.設(shè)矩陣，則A的全部特征值為。3.若λ=3是可逆方陣A的一個(gè)特征值，則A-1必有一個(gè)特征值為_(kāi)_____。4.設(shè),分別屬于方陣A的不同特征值λ1,λ2的特征向量，則與必線性_____。5.設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，=(-1,1,1)T，=(3,-1,a)分別是屬于A的相異特征值λ1與λ2的特征向量，則a=_____。6.設(shè)三階方陣A的特征值為1，-1，-1，且B=A2，則B的特征值為_(kāi)____。7.設(shè)A為4階方陣，A的4個(gè)特征值為-2，-1，1，2。則。8.若階矩陣A有一特征值為2，則。9.設(shè)矩陣A=與B=相似，則y=_______。10.設(shè)矩陣A=，則與其相似的對(duì)角矩陣有________。二、選擇題1.已知（）A．1或2B．-1或-2C．1或-2D．-1或2若（）A．它們的特征矩陣相似B．它們具有相同的特征向量C．它們具有相同的特征矩陣D．存在可逆矩陣2.設(shè)n階可逆矩陣A有一個(gè)特征值為2，對(duì)應(yīng)的特征向量為x，則下列等式中不正確的是（）A．Ax=2x B．A-1x=xC．A-1x=2x D．A2x=4x3.設(shè)A為3階矩陣，A的特征值為0，1，2，那么齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1C．2 D．3三、計(jì)算題1.已知矩陣（1）求；（2）。2.設(shè)3階方陣A的三個(gè)特征值為，A的屬于的特征向量依次為，求方陣A。3.設(shè)三階方陣A的特征值為1，2，-2，又B=3A2-A3,說(shuō)明B能否對(duì)角化?若能對(duì)角化，試求與B相似的對(duì)角陣。4.求矩陣A=的所有特征值，指出A能否與對(duì)角矩陣相似，并說(shuō)明理由。學(xué)院2021屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))矩陣的對(duì)角化及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：AGraduationThesis(Project)SubmittedtoSchoolofScience,HubeiUniversityforNationalitiesInPartialFulfillmentoftheRequiringforBSDegreeIntheYearof2021DiagonalizationoftheMatrixanditsApplicationsStudentNameStudentNo.:Specialty:Supervisor:DateofThesisDefense:DateofBookbinding:摘要矩陣在大學(xué)數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要工具，在很多方面應(yīng)用矩陣能簡(jiǎn)化描述性語(yǔ)言，而且也更容易理解，比如說(shuō)線性方程組、二次方程等.矩陣相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，利用相似可以把矩陣進(jìn)行分類，其中與對(duì)角矩陣相似的一類矩陣尤為重要，這類矩陣有很好的性質(zhì)，方便我們解決其它的問(wèn)題.本文從矩陣的對(duì)角化的諸多充要條件及充分條件著手，探討數(shù)域上任意一個(gè)n階矩陣的對(duì)角化問(wèn)題，給出判定方法，研究判定方法間的相互關(guān)系，以及某些特殊矩陣的對(duì)角化，還給出如冪等矩陣、對(duì)合矩陣、冪幺矩陣對(duì)角化的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對(duì)角矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣，冪等矩陣，對(duì)合矩陣，特征值，特征向量，最小多項(xiàng)式IAbstractThematrixisanimportanttoolincollegemathematics,andcansimplifythedescriptionlanguagebasedontheapplicationofmatrixinmanyways.Soitiseasiertounderstandinmanyfields,forexample,linearequations,quadraticequations.Inmanycharacteristics,thematrixsimilarityisanveryimportantaspect.Weknowthatthematrixsimilarityisanequivalencerelationbywhichwecanclassifymatrix,thediagonalmatrixisveryimportant.Thiskindofmatrixhasgoodproperties,anditisconvenientforustosolveotherproblems,suchastheapplicationofsimilarmatrixinlinearspace.Inthispaper,wefirstdiscussmanynecessaryandsufficientconditionsofdiagonalizationofmatrixandthengivesomeapplicationsofspecialmatrixdiagonalization.Keywords:diagonalmatrix，realsymmetricmatrix，idempotentmatrix，involutorymatrix，theeigenvaule，thefeaturevector，minimalpolynomialII目錄摘要??????????????????????????????????IAbstract????????????????????????????????II緒言??????????????????????????????????1課題背景????????????????????????????????1目的和意義??????????????????????????????1國(guó)內(nèi)外概況??????????????????????????????1預(yù)備知識(shí)????????????????????????????????2相關(guān)概念????????????????????????????????2矩陣的對(duì)角化??????????????????????????????4特殊矩陣的對(duì)角化???????????????????????????14矩陣對(duì)角化的應(yīng)用???????????????????????????22總結(jié)?????????????????????????????????24致謝?????????????????????????????????25參考文獻(xiàn)???????????????????????????????26獨(dú)創(chuàng)聲明???????????????????????????????28III1緒言本課題研究與矩陣的對(duì)角化相關(guān)的問(wèn)題，從對(duì)角化的判定展開(kāi)論述，結(jié)合其它學(xué)術(shù)期刊的結(jié)論加上自己的體會(huì)，希望能讓讀者更好的理解矩陣及其對(duì)角化的妙處.1.1課題背景在由北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編、王萼芳與石生明修訂、高等教育出版社出版的《高等代數(shù)》一書(shū)中，我們?yōu)榱朔奖憔€性方程組的運(yùn)算引入了矩陣的概念.在線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣反應(yīng)出線性方程組的一些重要性質(zhì)，并且解方程組的過(guò)程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過(guò)程.除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問(wèn)題也提出矩陣的概念，并且這些問(wèn)題的研究常常反應(yīng)為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒(méi)有聯(lián)系的問(wèn)題，歸結(jié)為矩陣問(wèn)題以后卻是相同的.在二次型中我們用矩陣研究二次型的性質(zhì)，引入了矩陣合同、正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定等概念及其判別方法.在向量空間中用矩陣研究線性變換的性質(zhì)，引入矩陣相似的概念，這是一種等價(jià)關(guān)系，利用它我們把矩陣分類，其中與對(duì)角矩陣相似的矩陣引起的我們的注意，由此我們對(duì)線性變換歸類，利用簡(jiǎn)單的矩陣研究復(fù)雜的，方便我們看待問(wèn)題，進(jìn)而又引入對(duì)角型矩陣、λ矩陣及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.本文主要由矩陣定義和向量空間研究矩陣的對(duì)角化，從不同角度揭示矩陣對(duì)角化的判定及其性質(zhì)，還給出特殊矩陣的對(duì)角化及其相應(yīng)的應(yīng)用.1.2課題研究的目的和意義課題研究的意義：(1)研究矩陣對(duì)角化的判定定理及應(yīng)用，為其它學(xué)術(shù)研究提供便捷的工具；(2)比較全面的介紹矩陣的對(duì)角化，方便讀者的整體理解和應(yīng)用；1.3國(guó)內(nèi)外概況實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等數(shù)域上的矩陣的對(duì)角化研究已經(jīng)很成熟，涉及特征值、最小多項(xiàng)式、線性變換方面的對(duì)角化證明也已完善，四元素體上矩陣的廣義對(duì)角化也有小有成就，矩陣對(duì)角化與群環(huán)域的結(jié)合方面的研究也有所突破.實(shí)對(duì)稱矩陣、正交矩陣、分塊兒矩陣的對(duì)角化已完善，矩陣的應(yīng)用也漸漸出現(xiàn)在更多的學(xué)科和科研當(dāng)中.矩陣的同時(shí)對(duì)角化、同時(shí)次對(duì)角化，以及對(duì)角化與秩的恒等式等方面的研究基本完善.12預(yù)備知識(shí)給出本文內(nèi)容所涉及的一些定義，方便對(duì)后面定理證明的理解.定義1常以Pm?n表示數(shù)域P上m?n矩陣的全體，用E表示單位矩陣.定義2n階方陣A與B是相似的，如果我們可以找到一個(gè)n階非奇異的方陣矩陣T∈Pn?n，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根據(jù)定義我們?nèi)菀字老嗨茷榫仃囬g的一個(gè)等價(jià)關(guān)系：①反身性：A=E-1AE；②對(duì)稱性：若A相似于B，則B相似于A；③傳遞性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定義3n階方陣A與B是合同的，如果我們可以找到一個(gè)n階非奇異方陣T∈Pn?n，使得B=TTAT或者A=TTBT.根據(jù)定義我們?nèi)菀字篮贤矠榫仃囬g的一個(gè)等價(jià)聯(lián)系：①反身性：A=ETAE；②對(duì)稱性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；③傳遞性：由A1=T1AT1和A2=T2TA1T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).?b100b2定義4式為00???????的m階方陣叫對(duì)角矩陣，這里bi是數(shù)??bm??000T（i=1,2,??m).定義5方陣A∈Pn?n，若A=T-1BT，T非奇異，B是對(duì)角陣，則稱A可相似對(duì)角化.定義6方陣A∈Pn?n，若A=TTBT，T非奇異，B是對(duì)角陣，則稱A可合同對(duì)角化.定義7矩陣的初等變換：⑴互換矩陣的第i行(列)于j行(列)；⑵用非零數(shù)c∈P乘以矩陣第i行(列)；⑶把矩陣第j行的t倍加到第i行.定義8由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等行(列)變換所得的矩陣稱為初等矩陣.共有三2種初等矩陣：①單位矩陣經(jīng)過(guò)初等變換⑴得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；②單位矩陣經(jīng)過(guò)初等變換⑵得P(i(t))且P(i(t))-1=P(i(1/t)；③單位矩陣經(jīng)過(guò)初等變換⑶得P(i,j(t))且P(i,j(t))-1=P(i,j(-t)).定義9設(shè)方陣B∈Pn?n，若B2=E，就稱B為對(duì)合矩陣.定義10設(shè)方陣A∈Pn?n，若Am=A，就稱A為冪幺矩陣.定義11設(shè)方陣C∈Pn?n，若C2=C，就稱C為冪等矩陣.定義12設(shè)方陣A∈Pn?n，λ∈P，若存在向量，滿足Al=λX，我們就稱λ是A的特征值，X是A屬于特征值λ的特征向量.定義13A∈Pn?n，定義mA(λ)為矩陣A的最小多項(xiàng)式，mA(λ)的一個(gè)根為A而且比其他以A為根的多項(xiàng)式的次數(shù)都低，mA(λ)首項(xiàng)系數(shù)是1.33矩陣的對(duì)角化本章介紹數(shù)域P上n階方陣陣的對(duì)角化問(wèn)題.先給出矩陣對(duì)角化幾個(gè)一般的充要、充分條件及其證明.引理1如果μ1，?，μk是矩陣Q的不同的特征值，而αi1,?，αiri是屬于特征值λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量，i=1,2?,k，那么α11,?,α1r，?,αk1，?，αkr也線性無(wú)1k關(guān).證明：假設(shè)t11α11+t12α12+?+t1r1α1r1+?+tk1αk1+?+tkrkαkrk=0，令ti1αi1+?tij∈P，+tikiαiki=ηi，則Qηi=λiηi（i=1,2?,k），且η1+η2+?+ηk=0??（1）分別用E,Q,Q2,?,Qk-1左乘以（1）兩端，再由引理4得：Qmηi=λiηi，（m=1,2...k-1;i=1,...,t),由此有ηk=0,?η1+η2+...?λη+λη+...λη=0,Kk?1122?222?λ1η1+λ2η2+...λKηk=0,?...................................?k-1k-1k-1?λη+λη+...λ1122kηk=0.?該線性方程組的系數(shù)矩陣為111??1?λλλ2k?D=1，D為范德蒙行列式，又由λi(i=1,2...k)互異有D≠0.?k-1?k-1k-1?λλ2λk??1根據(jù)克拉默法則就有ηi=0，即ti1αi1+?+tikiαiki=0，再由αi1,...,αiri線性無(wú)關(guān)得：ti1=ti2=...=tiki=0(i=1,2...k)，故α11,...,α1r1...,αiri...,αkrk線性無(wú)關(guān).推論1屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.定理1Q∈Pn?n與對(duì)角陣相似?Q有n個(gè)特征向量，它們是線性無(wú)關(guān)的.證明：Q可以對(duì)角化?存在可逆矩陣T=(T1,T2，?，Tn)使得40?0??λ1?λ1??λλ??22T-1QT=QT=T，即?????0?λn?λn???0?(QT1,QT2,?,QTn)=（λT1,λT2,?,λTn).因此Q可以對(duì)角化?存在Ti（i=1,2?,n）∈P使得QTi=λiTi，也即Q有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.根據(jù)這個(gè)定理判定一個(gè)方陣是否可以對(duì)角化，必須從求解這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式入手，雖然很直接，但考慮其計(jì)算量很大，加之特征值與特征向量只能分開(kāi)求解，下面會(huì)介紹更簡(jiǎn)便的方法.推論2如過(guò)方陣Q∈Pn?n有n個(gè)不同的特征值，那么該矩陣可對(duì)角化.證明：由Q有n個(gè)不同的特征值及引理1的推論有Q有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，再由定理1即有Q可以對(duì)角化.注意：該推論為對(duì)角化的充分條件.定理2μ1,μ2,...,μt（互不相同）是B∈Pn?n的特征值，μi∈P(i=1,2,...,t)，B可對(duì)角化?∑r(μiE-B)=(t-1)n（r表示矩陣的秩）.i=1t證明：(μiE-B)X=0的基礎(chǔ)解系的一組基向量的個(gè)數(shù)為：n-r(μiE-B)，我們可以得到關(guān)于μi的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是n-r(μiE-B)（i=1,2,...,t)，再由引理1推出矩陣B有∑(n-r(μiE-B))個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.i=1t根據(jù)定理1就有：n階方陣B可對(duì)角化?B有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量??∑(n-r(μE-B))=n，ii=1tt∑r(μE-B)=(t-1)n.ii=1定理3Q∈Pn?n與對(duì)角矩陣相似的充要條件：λi∈P(i=1,2...,t)且n-(λiE-Q)=ri(ri表示λi的代數(shù)重?cái)?shù)).證明：設(shè)λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量為βi1,βi2,...,βiri，由引理1有：5β11,β12,...,β1r,...,βir,...,βtr線性無(wú)關(guān).1it若r1+r2+...+rt=n，那么Q就有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量?Q可以對(duì)角化.若Q與對(duì)角矩陣相似，則Q的屬于不同特征值的特征向量總數(shù)一定為n.否則根據(jù)定理1就可以推出λ1,λ2,...,λt線性相關(guān)，矛盾.相較于定理1，定理3的優(yōu)點(diǎn)在于判定一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化著點(diǎn)于特征向量的重?cái)?shù)，方便了許多，也易于計(jì)算.下面利用定理1結(jié)合矩陣的秩給出矩陣可對(duì)角化的另一判別方法.引理2設(shè)n階方陣A,B∈Pn?n，則有r(A+B)≤r(A)+r(B).證明：先證rank[A,B]≤rank(A)+rank(B)??(2).根據(jù)矩陣秩的定義有r[A,B]≤n?2n階矩陣[A,B]的線性無(wú)關(guān)的行數(shù)≤方陣A的線性無(wú)關(guān)的行數(shù)+方陣B的線性無(wú)關(guān)的行數(shù)≤r(A)+r(B).?E?對(duì)方陣矩陣B+A=[B,A]??，由(2)式有r(B+A)≤r[A,B]，所以?E?r(A+B)≤r(A)+r(B).引理3對(duì)于n階方陣C,D有r(AB)≥r(A)+r(B)-n.?CO??CT?證明：先證r(C)+r(D)=rOD??≤rOD????（3），其中T為任意n階方陣.????顯然當(dāng)C,D中有一個(gè)為O時(shí)結(jié)論成立；另設(shè)r(C)=p,r(D)=q，則C有p階子式M1≠0，D有q階子式M2≠0.?CT?于是OD??有p+q階子式??M1*=M1M2≠0,OM2?CT?因此rOD??≥p+q=r(C)+r(D).??要證r(AB)≥r(A)+r(B)-n，只需證明：運(yùn)用分塊矩陣的初等變換有：6r(AB)+n≥r(A)+r(B)?EnO?O??En?→AB???AO??En?→AB???A-B??-BEn??→?O?，O?A???有初等變換不改變矩陣的秩以及式(3)有：?-BEn??r(AB)+n=r≥r(A)+r(B).O?A???Ep另證：令r(A)=p，則存在可逆矩陣C,D使得CAD=O?OO?-1O?-1??D?，若令C??O??OEn-p?=H,則r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1.又因?yàn)槿我饩仃囎蟪艘耘c其行數(shù)相等的非奇異方陣或者右乘以與其列數(shù)相等的非奇異方陣不改變這個(gè)矩陣的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)≤r(AB)+r(H)≤r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希爾維斯特不等式）設(shè)A，B，C∈Pn?n分別為i?j,j?k,k?t矩陣，則r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B).證明：要證r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)只需證明r(ABC)+r(B)≥r(AB)+r(BC),因?yàn)榉謮K矩陣的初等變換不會(huì)改變矩陣的秩，而O??EA??ABCO??EO??OE??AB????=OE?O?-CE?EO?B-BC??，B??????????也即AB??ABO??ABCO??ABCAB??O????，→→→O????B??OB??-BCB??B-BC??再有定理(3)就得O??ABCO??AB??rank=rank≥rank(AB)+rank(BC).O??B???B-BC?推論3設(shè)B1,B2,...,Bt為數(shù)域P上的n階方陣，則r(B1)+r(B2)+...+r(Bt)≤(t-1)n+r(B1B2...Bt).定理4設(shè)n階方陣Q∈Pn?n，μ1≠μ2，且(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0，則Q可對(duì)角化.7證明：由μ1≠μ2，(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0有矩陣Q的特征值為μ1或μ2，根據(jù)引理2，引理3得：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)=n，從而Q的特征向量(線性無(wú)關(guān))共有n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)=n個(gè).由定理1即得矩陣Q可對(duì)角化.定理4'設(shè)n階方陣Q∈Pn?n,μ1,μ2,...,μt兩兩互不相等，若(μ1E-Q)(μ2E-Q)?(μt-1E-Q)(μtE-Q)=0則Q與對(duì)角陣相似.r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n,從而方陣Q的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-(r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q))≥tn-(t-1)n=n.又因?yàn)閞(Q)≤n，故方陣Q的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n，由此矩陣Q可對(duì)角化.推論4在定理4的前提條件下我們可以得到如下結(jié)論：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩陣相似與對(duì)角矩陣的充要條件，若矩陣階數(shù)較高，計(jì)算量依然很大，特征值仍然需要計(jì)算，下面給出類似于定理4的充要條件.定理5設(shè)μ1,μ2,...,μt（互不相同）是Q∈Pn?n的的特征值，重?cái)?shù)分別為s1,s2,...,st且s1+s2+...+st=n，Q可對(duì)角化?∏(μE-Q)=0.ii=1t證明：先證明必要性?μ1Q與V=?μ2????相似，則存在非奇異矩陣T滿足?μT??8?μ1E1?Q=TVT-1=Tμ?2E2??T-1，?μ?tEt??其中Ei(i=1,2,...t)為si階單位矩陣，于是(μiE-Q)=T(μiE-V)T-1?(μi-μ1)E1?=T(μi-μ2)E?2?-1?T，??(μi-μt)Et??從而有∏tt(μ-1iE-Q)=∏T(μiE-V)Ti=1i=1??∏(μi-μ1)E1?i=T∏?(μi-μ2)E2?i?T-1.??∏(μi-μ?t)Eti??由于∏(μi-μj)Ej=0(j=1,2,...,t)，因此i∏(μiE-Q)=0.i再證充分性：對(duì)于n階矩陣Q，存在可逆矩陣T，使得?J1?Q=TJT-1J?=T2??T-1，?J?t??Ji(i=1,2,...,t)是Jordan塊，若Jj=μjEj(j=1,2,...t)，Q就可以對(duì)角化，而(μiE-Q)=T(μiE-J)T-1?(μi-J1)E1?=T(μJ?i-2)E2??T-1，??(μi-Jt)Et??9?∏(μi-J1)E1i(μE-Q)=T∏ii?i∏(μii-J2)E2????T-1.??(μi-Jt)Et?∏?i?所以，若(μiE-Q)=0，則因T可逆有∏(μiEi-Jj)=0(j=1,2,...,t)，又因?yàn)楫?dāng)i≠j時(shí)，(μi≠μj)≠0，(μiEj-Jj)可逆，所以(μjEj-Jj)=0，即μjEj=Jj(j=1,2,...,t).引理4X∈Pn?n,?1,?2??m...是X的關(guān)于特征值λ的特征向量，我們有∑ki?ii=1m（ki,i=1,2,...,m不全為0，ki∈P）也是X的關(guān)于λ的特征向量.證明：已知X?i=λ?i，則kiX?i=kiλ?i，也即Xki?i=λki?i，因此X∑ki?i=λ∑ki?i，i=1i=1mm又ki不全為0，因此∑ki?i≠0，由特征向量的定義有∑ki?i是矩陣X的屬于特i=1mmi=1征值λ得特征向量.定理6μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n階矩陣Q的所有特征值，它們的代數(shù)重?cái)?shù)依次是s1,s2,...,st，則方陣Q與對(duì)角矩陣相似?r(Aj)=sj(j=1,2,...,t),Aj=∏(μiE-Q).i≠j證明：先證必要性.Q可對(duì)角化?存在可逆矩陣T使得Q=Tdiag(μ1,μ2,...,μt)T-1，從而Aj=∏(μiE-Q)i≠j?∏(μi-μ1)E1i≠j=T?∏(μi≠ji-μ2)E2????-1?T?(μi-μt)Et?∏?i≠j?10?O1=T?∏(μi≠ji-μj)Ej????-1?T，??Ot??其中Oj為sj階0矩陣，Ej為sj階單位矩陣（(j=1,2,...,t).因T可逆，且μi≠μj，所以有r(Aj)=r(∏(μi-μj)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,...,t).i≠j再證充分性：用反證法.假設(shè)方陣Q不與對(duì)角矩陣相似，由幾何重?cái)?shù)≤代數(shù)重?cái)?shù)得：至少存在一個(gè)整數(shù)q，使得r(μqE-Q)>n-sq，于是當(dāng)j≠q時(shí)，由引理3有sj=r(∏(μiE-Q))≥∑r(μiE-Q)-(t-2)ni≠ji≠j>∑(n-sj)-(t-2)ni≠j=(t-1)n-(t-2)n-∑sii≠j=n-(n-sj)=sj.矛盾，假設(shè)不成立，故Q與對(duì)角矩陣相似.定理7μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n級(jí)方陣Q∈Pn?n的所有特征根，若對(duì)任意m∈Z+滿足r(μiE-Q)m=r(μiE-Q),則矩陣Q與對(duì)角矩陣相似.證明：設(shè)μ1,μ2,...,μt的重?cái)?shù)分別為s1,s2,...,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得：定理(高等代數(shù)(μ1E-Q)s1(μ2E-Q)s2...(μtE-Q)st=O，再有引理3的推論就有r(μ1E-Q)s1+r(μ2E-Q)s2+...+r(μtE-Q)st≤(t-1)n+r((μ1E-Q)s1...(μtE-Q)st)=(t-1)n.11對(duì)任意正整數(shù)m，有r(μiE-Q)m=r(μiE-Q)，因此r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n.從而有方陣Q的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-[r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...r(μtE-Q)]≥tn-(t-1)n=n.又r(Q)≤n，從而Q的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于或等于n，因此Q共有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，再根據(jù)定理1就有矩陣Q與對(duì)角矩陣相似.接下來(lái)介紹最小多項(xiàng)式在矩陣對(duì)角化中的應(yīng)用.定理8n階方陣Q與對(duì)角矩陣相似?矩陣Q的最小多項(xiàng)式mQ(μ)無(wú)重根.證明：先證必要性.Q和對(duì)角陣相似?存在非奇異矩陣T∈Pn?n，滿足?μ1Q=TVT-1=T?μ2???-1T，??μn??從而有T-1QmT=Vm，令μ1,μ2,...,μt(t≤n)是方陣Q的互不相同的特征值,記f(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)..μ.(-μt)=μt+s1μt-1+...+st-1μ+st.因?yàn)門(mén)-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+..+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+...+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE=f(V).又f(V)=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE?μ1t=?tμ2??s1μ1t-1??+??t?μn??t-1s1μ2??st??+...+??t-1?s1μn??st?????st??12?μ1t+s1μ1t-1+...+sk=??f(μ1)=?f(μ2)tt-1μ2+s1μ2+...+sk?????tt-1μn+s1μn+...+sk??????=0.?f(μn)??所以f(Q)=0，于是mQ(μ)f(μ)，然而f(μ)無(wú)重根，故mQ(μ)無(wú)重根.再證充分性：mQ(μ)的互不相同的根是μ1,μ2,...,μt，由mQ(μ)無(wú)重根就有：mQ(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)...(μ-μt-1)(μ-μt)，于是mQ(Q)=(μ1E-Q)(μ2E-Q)...(μtE-Q)=0.令r(μiE-Q)=qi，則μi的特征子空間的維數(shù)為n-qi，因此Q總共有(n-q1)+(n-q2)+..+.(n-qt)=s個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且s≤n.又因?yàn)閝1+q2+...+qt≤(t-1)n，故s=(n-q1)+(n-q2)+...+(n-qt)≥n.從而s=n，也即矩陣Q有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，由定理1就得Q可以對(duì)角化.134某些特殊矩陣的對(duì)角化4.1實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問(wèn)題實(shí)對(duì)稱矩陣這種矩陣很特別，在諸多方面的到運(yùn)用，如常用來(lái)研究對(duì)稱變換，對(duì)線性變換進(jìn)行分類.而研究對(duì)稱矩陣的對(duì)角化，是進(jìn)行分類的初步.引理5]每一個(gè)n階復(fù)矩陣都存在一個(gè)上三角矩陣與其相似，并且上三角矩陣主對(duì)角線上的元素為復(fù)矩陣的特征值.對(duì)任意A∈Cn?n，可逆矩陣T，使得*??λ1?λ2?T-1AT=，其中λ1,λ2,...,λn是矩陣A的特征值.??λn???引理6實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明：設(shè)λ0實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征值，則存在非零向量?x1??x?η=2?，?x??n?滿足Aη=λ0η.令?1???=2?，i稱為xi的共軛復(fù)數(shù)(i=1,2,...n)，則=0.???n?觀察下面式子'(Aη)=A'η=(A)'η=(Aη)'η，上式左邊等于λ0'η，右邊等于0η，故0'η=λ0'η,又'η=1x1+...+nxn≠0，14故λ0=0，即λ0是一個(gè)實(shí)數(shù).引理7設(shè)M,N為n?n實(shí)方陣，我們有如下結(jié)論：M,N在實(shí)數(shù)域上相似?M,N在復(fù)數(shù)域C上相似.證明：必要性顯然，下面證明充分性.M,N在復(fù)數(shù)域上相似??n級(jí)可逆復(fù)矩陣，使得M=P-1NP.令P=A+iD，A,D∈Rn?n，則(A+iD)M=N(A+iD)?AM=NA,DM=ND.所以對(duì)任意λ屬于R都有(A+λD)=N(A+λD)??(4)記h(x)=A+λD(實(shí)數(shù)系多項(xiàng)式)，因?yàn)閔(i)=A+iD=P≠0，所以h(x)≠0.因此，A+λD有有限個(gè)實(shí)數(shù)根，則存在η屬于R，使得A+ηD≠0.由(4)式得M=(A+ηD)-1N(A+ηD),也即M,N在實(shí)數(shù)域上相似.定理9⑴n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A的特稱根全是實(shí)數(shù)?存在正交矩陣T，滿足T-1AT=T'AT=D，D是上三角矩陣.⑵A正交且特征值全是實(shí)數(shù)?A是對(duì)稱矩陣.證明：先證明必要性，根據(jù)引理5有，存在可逆矩陣P，使得*??λ1?λ?2P-1AP=?.?λn???再根據(jù)引理7，矩陣如果在復(fù)數(shù)域上相似則一定在實(shí)數(shù)域上相似，因此可以令P=QT為實(shí)矩陣，Q乃正交矩陣，T是上三角矩陣且主對(duì)角上元素全是實(shí)數(shù)，于是就有*??λ1?λ2?Q-1AQ=T(P-1AP)T-1=??λn???由T是上三角矩陣知他的逆T-1也是上三角矩陣，再由上三角矩陣之積仍然是上三角矩陣知Q-1AQ為上三角矩陣.再證充分性：A為n階實(shí)矩陣，且存在正交矩陣Q使得Q-1AQ=Q'AQ為上三角矩陣，即15*??λ1?λ?2Q-1AQ==Q'AQ，??λn???由此易知λ1,λ2,...,λn為實(shí)數(shù)且為A的特征根.⑵由⑴容易得到Q-1AQ=Q'AQ=D為上三角矩陣(Q是正交矩陣)，又正交矩陣的積為正交矩陣，從而D為正交矩陣.因而D'=D-1，但是D-1是上三角矩陣，而D'為下三角矩陣，故D必為對(duì)角矩陣.從而A'=(QDQ')'=QD'Q'=QDQ'=A，也即A為對(duì)稱矩陣.引理8設(shè)A是對(duì)稱變換，V1是A-子空間，則V1的正交補(bǔ)也是A-子空間.定理10對(duì)任意n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在n階正交矩陣T，使得T'AT=T-1AT為對(duì)角矩陣.證明定義A是與A對(duì)應(yīng)的對(duì)稱變換，只要證A有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基（n個(gè)向量組成）.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論明顯成立.假設(shè)對(duì)n-1結(jié)論成立.對(duì)n維歐氏向量空間Rn，β1為線性變換A的一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是λ1.將β1單位化，并記為α1，再作α1的生成向量空間L(α1)的正交補(bǔ)，記為V1，由引理8有V1是對(duì)稱變換A的不變子空間，他的維數(shù)為n-1，顯然A限制在V1上仍然是對(duì)稱變換A1，根據(jù)假設(shè)A1有特征向量α2,α3,...,αn做成V1的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而α1,...,αn使Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基，又是A的n個(gè)特征向量.根據(jù)歸納假設(shè)定理得證.例4.1已知?011-1??10-11?A=，1-101??-1110???求正交矩陣T使得T-1AT為對(duì)角矩陣.解：第一步，求矩陣A的特征值.由16-1-11-1μ1-1μE-A=μ-11μ-11-1-1μ0μ-1μ-11-μ2=0μ-10μ-100μ-1μ-11-1-1μ11-1-μ=-(μ-1)3101011=(μ-1)3(μ+3)由此有1（3重），-3為A的特征值.第二步，求特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量.將μ=1帶入下式??μx1-x2-x3+x4=0,??-x1+μx2+x3-x4=0,?-x1+x2+μx（5）3-x4=0,??x1-x2-x3+μx4=0.得基礎(chǔ)解系為μ1=(1,1,0,0)，μ2=(1,0,1,0)，μ3=(-1,0,0,1)..將基礎(chǔ)解系正交化，得β1=(1,1,0,0)，β12=(,-122,1,0)，β1113=(-3,3,3,1)..再將上式單位化，有17η1=(11,,0,0)，22η2=(η3=(-112,-,,0)，6661113,,,)..上式為屬于特征值1（三重）的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.同理可求得特征值-3的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為η4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量η1,η2,η3,η4構(gòu)成R4的一組標(biāo)準(zhǔn)交基，所求正交矩陣',η2',η3',η4')，T=(η1此時(shí)?1??1?T-1AT=?.1?-3???4.2冪等矩陣?Er定理11冪等矩陣A與對(duì)角矩陣O?O??相似.?O?證明：根據(jù)A2=A有，矩陣A的最小多項(xiàng)式mA(λ)整除λ2-λ.因λ2-λ=0無(wú)重根，由引理5就有mA(λ)無(wú)重根，再由定理8就得矩陣A可對(duì)角化.4.3對(duì)合矩陣定理12對(duì)合矩陣A可對(duì)角化.證明：A2=E?mA(λ)λ2-1，易知λ2-1=0無(wú)重根，根據(jù)引理5得mA(λ)無(wú)重根，再根據(jù)定理8，A能夠?qū)腔?184.4冪幺矩陣引理9λ是矩陣X的任一特征根?λ是X的最小多項(xiàng)式的根.證明：用反證法假設(shè)λ0是矩陣X的特征根而不是其最小多項(xiàng)式mX(λ)的根，則有(λ-λ0,mX(λ))=1，故存在多項(xiàng)式φ(λ),?(λ)，使得φ(λ)(λ-λ0)+?(λ)mX(λ)=1，將X帶入上式有φ(X)(X-λ0E)+?(X)mX(X)=E，即有φ(X)(X-λ0E)=E.所以X-λ0E可逆（即X-λ0E≠0），與λ0是矩陣X的特征根矛盾.故假設(shè)不成立，定理得證.定理13冪幺矩陣A與對(duì)角矩陣相似.證明：因?yàn)锳m=E，所以矩陣A的最小多項(xiàng)式mA(λ)整除λm-1（m為正整數(shù)），而λm-1無(wú)重根，根據(jù)引理9就得mA(λ)無(wú)重根，再由定理8即得矩陣A與對(duì)角矩陣相似.?λ1??λ2?m注意：冪幺矩陣A與對(duì)角矩陣相似，其中λ=1(i=1,2,...,n).i??λn???4.5矩陣的逆、伴隨矩陣的對(duì)角化定理14A∈Pn?n能夠?qū)腔?A-1,A*可對(duì)角化.證明：(I)根據(jù)題設(shè)條件，存在非奇異矩陣T滿足?μ1T-1AT=?μ2?????μn??由矩陣T可逆就有μi≠0(i=1,2,...,n)，從而19?μ1-1T-1A-1T=?-1μ2????,?-1?μn?從而A-1與對(duì)角矩陣相似.(II)由A*=AA-1得?A/μ1T-1A*T=AT-1A-1T=??????A/μ2??A/μ2從而A*也與對(duì)角矩陣相似.4.6某些正交矩陣的對(duì)角化?b11b12?設(shè)A=bb??是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)就有?2122?22?b11+b21=1?22，?b12+b22=1?bb+bb=0?11122122從而二階正交矩陣A有兩種形式?cosαA=sinα??cosα定理15若A=sinα?-sinα??-cosα?或A=sinαcosα???sinα??.cosα??-sinα??，則矩陣A與對(duì)角矩陣相似.?cosα?證明：A的特征多項(xiàng)式為cosα-μ-sinα-μA-μE=sinα-μcosα-μ=μ2-2μcosα+1由A-μE=0得矩陣A的特征值為μ1=cosα+cos2α-1,μ2=cosα-cos2α-1.當(dāng)cos2α-1≠0時(shí)，容易得到μ1≠μ2，故正交矩陣A有兩個(gè)不同的特征值，容易20看出此時(shí)正交矩陣A有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，由定理1即有正交矩陣A可對(duì)角化.?10??-10?當(dāng)cos2α-1=0，即cosα=±1時(shí)，A=??或??，此時(shí)正交矩陣A顯然?01??0-1?與對(duì)角矩陣相似.定理16若A=?-coαssinα??sinαcoαs???，那么A與對(duì)角矩陣相似.該定理的證明與定理⑴類似，在此不做贅述.?b110?定理17正交矩陣A=00b?22b23?可對(duì)角化.?0b32b33??證明：由A是正交矩陣可得，a11=±1.?0?當(dāng)b1011=1時(shí)，A=0cosθ-sinθ??，?0sinθcosθ??-λ00λE-A=0cosθ-λ-sinθ=(1-λ)(λ2-2λcosθ+1).0sinθcosθ-λi)當(dāng)cos2θ-1≠0時(shí)，矩陣A有三個(gè)不同的特征值，分別為λ1=cosθ-cos2θ-1，λ2=cosθ+cos2θ+1，λ3=1.由定理1可得矩陣A可對(duì)角化.ii)當(dāng)cos2θ-1=0時(shí)，θ=2kπ或θ=2kπ+π(k∈Z).?100?若θ=2kπ，則A=010??，顯然可對(duì)角化.?001???100?若θ=2kπ+π，則A=0-10??，顯然可對(duì)角化.?00-1??210?10??當(dāng)b11=-1時(shí)，A=0cosθ-sinθ?，?0sinθcosθ??-1-λ00λE-A=0cosθ-λsinθ=(-1-λ)(λ2-1).0sinθ-cosθ-λ從而A的特征值為λ1=λ2=-1（二重），λ3=1，由定理5或7得A可對(duì)角化.定理18若三階正交矩陣A中只有三個(gè)非零元素，那么A與對(duì)角矩陣相似.A共有下面6種形式：?b1100?0??b13??00??00b13??0b120b0???,b110,0?2200b?0023?0b0?b12?,00b?23?,b210?,b210?00b33???0b320??22?b3100???b3100???0b320???00?b1100?證明(1)A=0b?220?顯然可以對(duì)角化.?00b33???b1100a11-λ00(2)A=?00b?23?，則A-λE=0-λa23=(a11-λ)(λ2-a23a32).?0b320??0a32-λ當(dāng)a23a32=1時(shí)，A有特征值1,±i或-1,±i，根據(jù)定理1，A可對(duì)角化.當(dāng)a23a32=-1時(shí)，A有特征值-1（二重），1，根據(jù)定理7，A可對(duì)角化.其它形式可模仿(2)進(jìn)行證明.5矩陣對(duì)角化的應(yīng)用本節(jié)主要討論可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用問(wèn)題，很多時(shí)候我們利用對(duì)角化后的矩陣會(huì)極大簡(jiǎn)便我們的計(jì)算，方便我們理解和處理比較復(fù)雜的問(wèn)題.5.1求方陣的高次冪一般來(lái)說(shuō)，求矩陣的高次冪最簡(jiǎn)單的方法便是根據(jù)矩陣乘法的定義進(jìn)行傻瓜式的220?0??b33??計(jì)算，像這樣的計(jì)算除非進(jìn)行編程用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，人工計(jì)算會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間，還很容易出錯(cuò).但是針對(duì)可以對(duì)角化的矩陣，我們利用矩陣相似的性質(zhì)便會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，而且不易出錯(cuò)，用這種方法進(jìn)行編程計(jì)算也會(huì)方便很多.下面先介紹這種方法的原理.?λ1??λ?2定理19若T-1AT=?，這里λi(i=1,2,...n)為A的特征值，T非奇?λn???異，則m?λ1T-1AmT=?λm2???，其中m為正整數(shù).??m?λn?這個(gè)定理是矩陣相似應(yīng)用的特殊情況，一般來(lái)講，若T-1AT=B，那么T-1AmT=Bm.其中m為正整數(shù)，B為數(shù)域上的任意矩陣.?12?例2求41??.??m?12?解：由λE-41??=(λ-1+22)(λ-1-22)得??λ1=1-22，λ2=1+22.容易求得他們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為?-1??1???，η1=?，η2=??2??2?故?12??-141??=???21??1-220??-1???22??01+22???1??.2??-1從而?12??-141??=2???m1??1-220????2??01+22??m?-12?1??2??23-1?-1=2?1??1-220????2??01+22??m?1-21?2m2??4?1??22??=?mm1?1-22+1+22????2?mm2?1+22-1-22????2?(()()())???.22?mm1??1-22+1+22?????2?21-22-4(1+22)(()m)()5.2利用特征值求行列式的值例3已知n級(jí)實(shí)對(duì)稱冪等矩陣A的秩為r，求行列式2E-A.解：A為冪等矩陣，即A2=A，從而A的特征值為λ=1或0，再由A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A與對(duì)角矩陣相似，從而?ErP-1AP=O?這里P可逆，r為A的秩，Er為單位矩陣.故O??=B，?O?2E-A=2PP-1-PBP-1=Er2En-r=2n-r.6總結(jié)前面初步介紹了判定某個(gè)數(shù)域上矩陣是否對(duì)角化的一些充分必要條件和充分條件，但是判定條件也不局限于文中所給出的.文中給出了大部分定理的證明，內(nèi)容較多，需要較廣的知識(shí)面才能理解；還給出一些特殊矩陣的對(duì)角化也只是涉及很少的點(diǎn)，其它方面需要讀者根據(jù)自己研究的領(lǐng)域進(jìn)行總結(jié)；還給出兩點(diǎn)矩陣對(duì)角化的具體應(yīng)用，仍然涉獵較少，只是起一個(gè)引導(dǎo)作用.矩陣的對(duì)角化定義還能推廣以及在群、域等上面的對(duì)角化判定也有所不同，希望廣大讀者傾注時(shí)間在這方面的研究.24致謝在論文完成之際，我首先要向我的指導(dǎo)老師劉先平老師和詹建明老師表示最真摯的謝意.這篇論文從選題、查閱資料到截稿，我花了三個(gè)多月.在此期間，詹老師和劉老師給我推薦選題以及資料，不厭其煩的解答我所有的疑問(wèn)，他們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)和藹可親的態(tài)度將一直影響我.25參考文獻(xiàn)[1]劉九蘭,張乃一,曲問(wèn)萍主編.線性代數(shù)考研必讀.天津:天津大學(xué)出版社，2000[2]謝國(guó)瑞主編，線性代數(shù)及應(yīng)用.北京:高等教育出版社，1999[3]張學(xué)元主編，線性代數(shù)能力試題題解.武漢:華中理工大學(xué)出版社，2000[4]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2007[5]周明旺，關(guān)于矩陣可對(duì)角化的一個(gè)充要條件[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，(28):10-11[6]楊子胥，高等代數(shù)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001[7]曲春平，矩陣可對(duì)角化的充分必要條件[J].遼寧省交通高等?？茖W(xué)校，2003，(5):51-52[8]賀福利，萬(wàn)小剛，許德云.關(guān)于矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件[J].高等函報(bào)，2004，17(1):14-16[9]王萼芳，石生明，高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，1988[10]徐剛，于泳波，對(duì)合矩陣探討[J].高師理科學(xué)刊，2021，28(1):37-38[13]錢(qián)吉林，矩陣及其廣義逆[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社，1988[14]周永佩，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理的一種證法[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，1990，15(4)，1991(12):34-37[15]NerignED.1988.LinearlAgebraandMatrixtheory.Znd.Newyork:JohnW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那么就說(shuō)，可以對(duì)角化。類似地，設(shè)是數(shù)域上階矩陣。如果存在上一個(gè)階可逆矩陣，使得具有對(duì)角形式（1），那么就說(shuō)矩陣可以對(duì)角化。由7.4看到，維向量空間的一個(gè)線性變換可以對(duì)角化的充分且必要的條件是，可以分解為個(gè)在之下不變的一維子空間的直和。然而一維不變子空間的每一個(gè)非零向量都是的屬于某一本特值的本征向量，所以上述條件相當(dāng)于說(shuō)，在中存在由的本征向量所組成的基。定理令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換。如果分別是的屬于互不相同的本征值的本征向量，那么線性無(wú)關(guān)。推論設(shè)是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，是的互不相同的本征值。又設(shè)是屬于本征值的線性無(wú)關(guān)的本征向量，，那么向量線性無(wú)關(guān)。推論7.6.3令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換。如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根，那么存在的一個(gè)基，使關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式。推論7.6.4令是數(shù)域上一個(gè)階矩陣。如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根，那么存在一個(gè)可逆矩陣，使 定理令是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換，可以對(duì)角化的充分且必要的條件是（i）的特征多項(xiàng)式的根都在內(nèi)；（ii）對(duì)于的特征多項(xiàng)式的每一個(gè)根，本征子空間的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。推論7.6.6設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣?？梢詫?duì)角化的充分必要條件是（i）的特征根都在內(nèi)；（ii）對(duì)于的每一個(gè)特征根，秩這里是的重?cái)?shù)?？蓪?duì)角化矩陣的應(yīng)用01數(shù)本蔡美麗摘要：對(duì)角化矩陣在求高次冪矩陣，已知特征值及特征向量求矩陣，求行列式，判斷矩陣相似等方面的應(yīng)用。正文：把一個(gè)矩陣化為對(duì)角矩陣，不但可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論上和應(yīng)用上都具有十分重要的意義。（一）求方陣的高次冪。 當(dāng)n階矩陣A可對(duì)角化時(shí)，計(jì)算其高次冪有簡(jiǎn)單方法。事實(shí)上，若有=.即有則有，而，故例1：已知，求。解：可求得，所以A的特征值為。對(duì)應(yīng)于有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。對(duì)應(yīng)于。故A可對(duì)角化，則，所以例2：已知，求的值。解：A有三個(gè)互異的特征值，所以存在可逆陣P使而故。（二）利用特征值及特征向量求矩陣。例3：設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為，對(duì)應(yīng)于，求A。解：因?yàn)锳為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，故必可對(duì)角化。又因是A的二重特征值，故A的與特征值1對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，設(shè)為都與正交。設(shè)所求特征向量為，則，即由得。規(guī)范化，得。作正交矩陣。則，有，所以，=（三）利用特征值求行列式的值。例4：已知三階矩陣A的特征值為1，-1，2，設(shè)矩陣，試求：（1）矩陣B的特征值及其相似的對(duì)角矩陣。（2）行列式解：（1）因?yàn)槿A方陣A有三個(gè)相異的特征值1，-1，2，故存在可逆矩陣P，使，則。從而，所以于是B的特征值為-4，-6，-12，與B相似的對(duì)角矩陣為。（2）因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤男辛惺?，所以，又，令則。（四）關(guān)于相似（或?qū)牵┚仃嚨淖C明題。例5：證明：秩等于r的實(shí)對(duì)稱矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的實(shí)對(duì)稱矩陣之和。證：據(jù)題意，設(shè)，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣P，使，又于是=以上表明都是秩為1的對(duì)稱矩陣。故A可表成r個(gè)秩為1的實(shí)對(duì)稱矩陣之和。參加文獻(xiàn)：北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研代數(shù)小組編，高等代數(shù)，北京：高等教育出版社1998張禾瑞編，高等代數(shù)，北京：高等教育出版社1997李啟文，謝季堅(jiān)編，線性代數(shù)理論與解題方法，長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社2001徐仲主編，線性代數(shù)典型題分析解集，西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社2001錢(qián)志強(qiáng)編，線性代數(shù)教與學(xué)參考，北京：中國(guó)致公出版社2001題目：可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用姓名：蔡美麗單位：莆田學(xué)院01級(jí)數(shù)本學(xué)號(hào)：2001141121§7.6可以對(duì)角化的矩陣設(shè)是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換。如果存在的一個(gè)基，使得關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有對(duì)角形式（1） 那么就說(shuō)，可以對(duì)角化。類似地，設(shè)是數(shù)域上階矩陣。如果存在上一個(gè)階可逆矩陣，使得具有對(duì)角形式（1），那么就說(shuō)矩陣可以對(duì)角化。由7.4看到，維向量空間的一個(gè)線性變換可以對(duì)角化的充分且必要的條件是，可以分解為個(gè)在之下不變的一維子空間的直和。然而一維不變子空間的每一個(gè)非零向量都是的屬于某一本特值的本征向量，所以上述條件相當(dāng)于說(shuō)，在中存在由的本征向量所組成的基。定理令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換。如果分別是的屬于互不相同的本征值的本征向量，那么線性無(wú)關(guān)。推論設(shè)是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，是的互不相同的本征值。又設(shè)是屬于本征值的線性無(wú)關(guān)的本征向量，，那么向量線性無(wú)關(guān)。推論7.6.3令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換。如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根，那么存在的一個(gè)基，使關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式。推論7.6.4令是數(shù)域上一個(gè)階矩陣。如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根，那么存在一個(gè)可逆矩陣，使 定理令是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換，可以對(duì)角化的充分且必要的條件是（i）的特征多項(xiàng)式的根都在內(nèi)；（ii）對(duì)于的特征多項(xiàng)式的每一個(gè)根，本征子空間的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。推論7.6.6設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣。可以對(duì)角化的充分必要條件是（i）的特征根都在內(nèi)；（ii）對(duì)于的每一個(gè)特征根，秩這里是的重?cái)?shù)。習(xí)題6.3設(shè)矩陣與矩陣相似．求x,y解因?yàn)榫仃嚺c矩陣相似,所以tr=tr,,從而有解得2.設(shè),則下述結(jié)論正確的是()，且說(shuō)明理由．(A)A與B等價(jià)，且A與B相似．(B)A與B等價(jià)，但A與B不相似．(C)A與B不等價(jià)，且A與B不相似．(D)A與B不等價(jià)，但A與B相似．解因?yàn)橹?A)=1=秩(B),所以A與B等價(jià).又因?yàn)閠rA=4,trB=1,即有,所以A與B不相似.綜上可知(B)是正確的,故應(yīng)選填B.3.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2，求(1)矩陣的特征值；(2)｜｜．解(1)取,則,所以的特征值為.(2)｜｜=.4.設(shè)3階方陣A的行列式｜A｜=-2，A*有一個(gè)特征值為6，則必有一個(gè)特征值為；A必有一個(gè)特征值為；必有一個(gè)特征值為；必有一個(gè)特征值為；必有一個(gè)特征值為.以上各項(xiàng)均要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.解(1)由可得,A*有一個(gè)特征值為6,所以必有一個(gè)特征值為.(2),所以必有一個(gè)特征值為.(3),所以必有一個(gè)特征值為.(4)取,則,因有一個(gè)特征值為,所以必有一個(gè)特征值為.(5)=,所以必有一個(gè)特征值為.5.設(shè).(1)計(jì)算；(2)求.解(1),所以特征值為2,2,-7.求解方程組,得到屬于2的線性無(wú)關(guān)的特征向量為.求解方程組,得到屬于-7的線性無(wú)關(guān)的特征向量為.線性無(wú)關(guān),故能對(duì)角化.取則為可逆矩陣,且.求得,從而.(2)取,則的特征值為,所以==.6.設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值為1，2，…，n，求｜A+E｜．解方陣A的n個(gè)特征值為1，2，…，n,所以A+E的特征值為2,3,……,n,n+1.所以｜A+E｜=.7.已知3階方陣A的特征值為0，1，2，所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,,求(1)，其中k為任意正整數(shù)；(2)；(3)．分析本題與第5題類似,故解法相同,下面僅列出簡(jiǎn)要解答.解(1)由方陣A的特征值為0，1，2，所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,,,可知,所以=(2)取,方陣A的特征值為0，1，2,所以的特征值為.因此.(3).8*.設(shè)矩陣,,A*有一個(gè)特征值，屬于的特征向量為，求a,b,c和的值．解由題設(shè)知,,兩邊左乘,利用可得:即有.由此可得,利用(1)和(3)可知,從而得到,由此可得再根據(jù),可得,即有.綜上可得.9.設(shè)A為n階方陣，證明：零是A的一個(gè)特征值．證所以,因此零是A的一個(gè)特征值.零是A的一個(gè)特征值,所以即有.10.設(shè)n(n＞1)階上三角矩陣．若，則A不能與對(duì)角矩陣相似．證,所以是A的n重根.如果A能與對(duì)角矩陣相似,則必有的基礎(chǔ)解系含有個(gè)向量,即-秩()=n,也就是秩()=0,從而得到此時(shí),即,這與條件矛盾!所以A不能與對(duì)角矩陣相似．11*.設(shè)n階方陣A滿足，證明:A的特征值僅為-2.證設(shè)為A的任意一個(gè)特征值,是A的屬于的特征向量,則有,所以,由可得,即得,所以A的特征值僅為-2.第9章矩陣一、填空題⒈兩個(gè)矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是.⒉設(shè)為兩個(gè)已知矩陣，且可逆，則方程的解.⒊設(shè)為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則有關(guān)系式.4．設(shè)，則=.5．當(dāng)時(shí)，矩陣可逆.6．設(shè)，當(dāng)，時(shí)，是對(duì)稱矩陣.7．當(dāng)=時(shí)，矩陣的秩最小.二、單項(xiàng)選擇題⒈設(shè)為兩個(gè)階矩陣，則有（）成立.A.B.C.D.⒉下列說(shuō)法正確的是（）.A.0矩陣一定是方陣B.可轉(zhuǎn)置的矩陣一定是方陣C.數(shù)量矩陣一定是方陣D.若與可進(jìn)行乘法運(yùn)算，則一定是方陣⒊設(shè)是可逆矩陣，且，則（）.A.B.C.D.⒋設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（）A.B.C.D.5．設(shè)是4階方陣，若秩，則（）.A.A可逆B.A的階梯陣有一個(gè)0行C.A有一個(gè)0行D.A至少有一個(gè)0行6.設(shè)為同階方陣，則下列說(shuō)法正確的是（）.A.若，則必有或B.若，則必有,C.若秩,秩，則秩D.秩秩秩三、解答題⒈設(shè)，，求.⒉設(shè)，，求解矩陣方程.⒊若，求.⒋求矩陣的秩⒌已知矩陣，且，試證是可逆矩陣，并求.6.設(shè)階矩陣滿足，，證明是對(duì)稱矩陣.答案及解答：一、填空題⒈與是同階矩陣⒉⒊⒋5.6.0,37.0二、單項(xiàng)選擇題⒈B⒉C⒊A⒋D5.B6.B三、解答題⒈因?yàn)椋?=所以，==⒉解因?yàn)椋此?3．因?yàn)樗寓匆驗(yàn)樗?，?5.證因?yàn)椋?，即，得，所以是可逆矩陣，?6.證因?yàn)?=所以是對(duì)稱矩陣.【年末調(diào)整に必要な書(shū)類等チェックリスト】（平成２２年度版）部課名お名前◎年末調(diào)整をスムーズに行うためのチェックリストとなっております。お手?jǐn)?shù)ですが該當(dāng)項(xiàng)目にレ印をご記入いただきますようお願(yuàn)いいたします。チェック項(xiàng)目はいいいえ該當(dāng)なし１．全ての役員?従業(yè)員の方（他の會(huì)社からも給與収入がある方はご一報(bào)下さい）?平成23年分給與所得者の扶養(yǎng)控除等（異動(dòng)）申告書(shū)への記入及び押印をしていただけましたか？お名前（フリガナ）②生年月日③世帯主,続柄④配偶者有無(wú)⑤住所又は居所⑥配偶者,16歳以上の扶養(yǎng)親族［H8.1/1以前生］の氏名（主たる給與から控除を受ける）⑦同居の有無(wú)⑨扶養(yǎng)親族のH22.所得見(jiàn)込額⑩異動(dòng)事項(xiàng)（出生や就職等により扶養(yǎng)から外れる場(chǎng)合など）?16歳未満の扶養(yǎng)親族［H8.1./2以後生］の氏名（住民稅に関する事項(xiàng)）［用紙の一番下の欄］２．障害者手帳をお持ちの方（本人又は扶養(yǎng)家族）?勤労學(xué)生に該當(dāng)する方（本人）障害者手帳の寫(xiě)しを添付して下さい。一定の要件に該當(dāng)する課程を設(shè)置する専修學(xué)校等である証明書(shū)及び生徒又は訓(xùn)練生である証明書(shū)を添付して下さい。３－１．給與収入のある配偶者がいらっしゃる方（給與収入(支給額)が０円から１４１萬(wàn)円以下）?H22年分給與所得者の保険料控除申告書(shū)兼配偶者特別控除申告書(shū)の配偶者特別控除申告書(shū)への記入及び押印をしていただけましたか？〈給與収入が103萬(wàn)円以下であれば配偶者控除38萬(wàn)円の控除が受けられます。〉《配偶者控除》〈給與収入が103萬(wàn)円を超えて141萬(wàn)円以下の場(chǎng)合、配偶者特別控除に該當(dāng)し、上記に記載する必要があり、所得に応じて38萬(wàn)円の控除から控