機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué) 課件 螺旋理論基礎(chǔ)

螺旋理論基礎(chǔ)工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)第二章01點(diǎn)、線、面的齊次表示點(diǎn)的齊次坐標(biāo)在坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A的位置由矢徑

決定，如圖2-1所示。若有4個(gè)數(shù)x0、y0、z0和d，使x0/d=x、y0/d=y及z0/d=z，則點(diǎn)A的矢徑可以表示為r=（x0i+y0j+z0k）/d0

點(diǎn)、線、面的齊次表示圖2-1點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。點(diǎn)、線、面的齊次表示假設(shè)空間有兩個(gè)點(diǎn)A(x1,

y1,

z1)和B(x2,

y2,

z2)，如圖2-2所示。若按一定的順序連接這兩個(gè)點(diǎn)，就確定了一條空間直線的位置和方向，這條有向線段

可用矢量S表示。在直角坐標(biāo)系中，S與其3個(gè)分量關(guān)系為S=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k直線的矢量方程點(diǎn)、線、面的齊次表示圖2-2直線的矢量方程。點(diǎn)、線、面的齊次表示圖2-4平面的矢量方程。點(diǎn)、線、面的齊次表示平面的矢量方程如圖2-4所示，若矢量n(L,

M,

N)表示某平面的法線，且該平面通過已知點(diǎn)r(x1,

y1,

z1)，此時(shí)，平面的矢量方程可以表示為(r-r1)·n=0，整理后可得r·n=n0點(diǎn)、線、面的齊次表示02點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩直線與平面的交點(diǎn)若空間有一方向矢量為S的直線與一平面交于點(diǎn)A，A點(diǎn)的矢徑為r，如圖2-6所示。列寫直線矢量方程和平面矢量方程分別為r×S=S0r·n=n0點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩圖2-6直線和平面的交點(diǎn)。點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩有兩個(gè)平面，其坐標(biāo)分別為(n1;n01)和(n2;n02)，兩平面的交線與n1及n2垂直，亦即平行于n1×n2。為求這條交線的方程，可將下面的三重叉積展開。r×(n1×n2)=(r·n2)n1-(r·n1)n2

兩平面的交線點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩圖2-7兩直線的互矩。點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩兩直線的互矩設(shè)空間有相錯(cuò)的兩條直線，它們不平行也不相交，如圖2-7所示，其矢量方程為r1×S1=S01r2×S2=S02點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩有共面兩直線，其Plücker坐標(biāo)分別為(S1;S01)和(S2;S02)，其交點(diǎn)的矢徑為r，則有r×S1=S01，r×S2=S02。為求此交點(diǎn)可以將兩直線方程的兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)相叉乘，有(r×S1)×(r×S2)=S01×S02

兩直線的交點(diǎn)點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩兩直線的公法線空間有兩直線，其Plücker坐標(biāo)分別為(S1;S01)和(S2;S02)，欲求其公法線(a;a0)。顯然，其公法線的方向矢量為a=S1×S2。這里先將直線和公法線構(gòu)成一個(gè)平面m，由平面方程式可知，r·n=n0，其中，n的方向矢量為S1×(S1×S2)，n0=r1·n。點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系及兩直線的互矩03線矢量及螺旋本節(jié)給出兩個(gè)重要概念：一個(gè)是線矢量(linevector)。另一個(gè)是螺旋(screw)。線矢量及螺旋如果空間內(nèi)一個(gè)矢量被約束在一個(gè)方向、位置固定的直線上，僅允許該矢量沿直線前后移動(dòng)，這個(gè)被直線約束的矢量稱為線矢量，簡稱線矢。因此，線矢量在空間的位置和方向就由直線方程中的方向矢量S和其線矩S0決定，并且S與S0正交，S·S0=0。線矢量記為$，用Plücker坐標(biāo)表示為(S;S0)，以標(biāo)量λ數(shù)乘，λ(S;S0)表示同一線矢量。線矢量及螺旋矢量S表示直線方向，它與原點(diǎn)的位置無關(guān)；而線矩S0則與原點(diǎn)的位置有關(guān)。若原點(diǎn)的位置發(fā)生改變，由點(diǎn)B移至點(diǎn)A，如圖2-8所示。線矢量及螺旋一個(gè)螺旋包含了4個(gè)要素：螺旋的軸線。螺旋的節(jié)距。螺旋的方向。螺旋的大小。線矢量及螺旋04螺旋的代數(shù)運(yùn)算設(shè)有螺旋$=S+∈S0和數(shù)a，螺旋的數(shù)乘為a$=aS+∈aS0(2-45)螺旋的數(shù)乘滿足分配律與交換律。螺旋的數(shù)乘運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算兩螺旋的加法運(yùn)算兩螺旋

、

，其加法運(yùn)算之和一般仍為螺旋(特殊情況下也可能為線矢量或偶量)，且和螺旋的原部與對(duì)偶部分別為兩螺旋的原部與對(duì)偶部之和。螺旋的代數(shù)運(yùn)算對(duì)于線矢量，若兩線矢量共面，而且兩原部之和非零，則兩線矢量之和仍為線矢量。具體證明如下。由于是線矢量，原部和對(duì)偶部有正交性，即

，

。又已知兩線矢量共面，則兩直線的互矩為零。這表明和線矢量的原部與對(duì)偶部是正交的，因此共面兩線矢量之和(即和線矢)仍為線矢量。但兩單位線矢量之和不再為單位線矢量。螺旋的代數(shù)運(yùn)算不共面的兩線矢量之和為節(jié)距不為零的螺旋。通常情況下，線矢量與偶量之和也為節(jié)距不為零的螺旋，但在特殊情況下(線矢量與偶量垂直時(shí))并不成立，例如，線矢量為(2,

0,

0;0,

0,

1)，偶量為(0,

0,

0;0,

0,

1)，它們的和仍然為線矢量。螺旋的代數(shù)運(yùn)算兩螺旋的原部與對(duì)偶部下標(biāo)交換后做點(diǎn)積之和被定義為兩螺旋的互易積(reciprocalproduct)，設(shè)

，

，則

兩螺旋的互易積螺旋的代數(shù)運(yùn)算這兩個(gè)新的螺旋的互易積為

因此，兩螺旋的互易積與原點(diǎn)的選擇無關(guān)。螺旋的代數(shù)運(yùn)算05剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)在三維空間里，剛體最一般的運(yùn)動(dòng)形式為螺旋運(yùn)動(dòng)，即同時(shí)存在剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與沿同軸方向的移動(dòng)。剛體的純轉(zhuǎn)動(dòng)和純移動(dòng)都只是螺旋運(yùn)動(dòng)的特殊情況。本節(jié)首先討論剛體的純轉(zhuǎn)動(dòng)和純平移運(yùn)動(dòng)，再討論一般形式的螺旋運(yùn)動(dòng)。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)若剛體2相對(duì)剛體1做繞S軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2-10所示。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)因此，構(gòu)成剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)線矢量的對(duì)偶矢量包括角速度矢量和剛體上與坐標(biāo)原點(diǎn)重合點(diǎn)的線速度矢量v0。剛體瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的Plücker坐標(biāo)為ω(S;S0)或(ω;v0)。當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸重合時(shí)，v0=0，轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)線矢量變成ω$=ω+∈0，寫成Plücker坐標(biāo)為(ω;0)。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)移動(dòng)當(dāng)剛體2相對(duì)剛體1做平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度v沿單位矢量S方向，速度矢量可以表示為v=vS，此單位矢量S通常選擇移動(dòng)副導(dǎo)軌方向。然而，對(duì)于平移運(yùn)動(dòng)，剛體上所有的點(diǎn)都具有相同的移動(dòng)速度v，也就是說將矢量S平行移動(dòng)并不改變剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以移動(dòng)速度矢量是自由矢量。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的移動(dòng)速度，也可以看成是一個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線與S正交，并位于距S無限遠(yuǎn)的平面內(nèi)，此轉(zhuǎn)軸的Plücker坐標(biāo)為(0;S)或(000;LMN)。繞此軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)就可以表示成v(0;S)或(0;v)，速度矢量v是自由矢量。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)當(dāng)剛體2相對(duì)剛體1既有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)又有相對(duì)移動(dòng)時(shí)，情況要復(fù)雜一些。這里先討論轉(zhuǎn)動(dòng)軸線與移動(dòng)方向不一致的情況，如圖2-11所示。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)合成06剛體上作用的力螺旋與用螺旋表示剛體的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)相似，剛體上的作用力也可以用螺旋來表示。如剛體上有一作用力f，如圖2-14(a)所示。剛體上作用的力螺旋剛體上的作用力在剛體上作用兩個(gè)大小相等、方向相反的平行力f1和f2，如圖2-14(b)所示。剛體上作用的力螺旋剛體上作用的力偶剛體上作用力的合成自由矢量只考慮大小和方向的矢量，如運(yùn)動(dòng)學(xué)中剛體的移動(dòng)速