2021-2022學年廣東省惠州市龍門縣高級中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2021-2022學年廣東省惠州市龍門縣高級中學高三數(shù)學

理期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

10i

1.在復平面內，復數(shù)二7對應的點的坐標為()

AC/)B.(L3)C.(T-3)DR-1)

參考答案：

A

JJ叫

2.已知函數(shù)f(x)二a斗習四,十一^的兩個極值點分別為Xi,X2,且0VxiVlVx2,點P

(m,n)表示的平面區(qū)域內存在點(xo,y0)滿足yo=loga(x0+4),則實數(shù)a的取值范圍

是()

(o,1ua,3)c.<1nua,3]

A.B.(0,1)U(1,3)

D.(0,1)U[3,+8)

參考答案:

B

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】綜合題；導數(shù)的概念及應用.

【分析】根據(jù)極值的意義可知，極值點XI、X?是導函數(shù)等于零的兩個根，可得方程

x'+mx+Fo的兩根，一根屬于(0,1),另一根屬于(1,+8),從而可確定平面區(qū)域

為D,進而利用函數(shù)y=log.(x+4)的圖象上存在區(qū)域D上的點，可求實數(shù)a的取值范圍.

1]班.

【解答】解：?.■函數(shù)f(x)=ax3+mnx2+-T|x的兩個極值點分別為x,,xz,且

x2,

irrf-：

...f'(x)=x2+mx+2ko的兩根x”x?滿足OVxiVIVx2,

",

貝ijxi+x2=-m,xix2=2|>0,

irrf-：

(xi-1)(x2-1)=XiX2-(xi+x2)+1=2km+1VO,

即n+3m+2<0,

-m<nV-3ni-2,為平面區(qū)域D,

???直線m+n=O,2+3m+n=0的交點坐標為(-1,1)

.??要使函數(shù)y=loga(x+4)的圖象上存在區(qū)域D上的點,則必須滿足lVloga(-1+4)

A]oga3>l,解得lVaV3或OVaVl,

【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、

線性規(guī)劃、對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題.

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為()

參考答案：

【考點】EF：程序框圖.

x+y_

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x,y的值，計算一2一和雇

的值，輸出x的值即可.

2

【解答】解：x=0,y=9,5W后，

9,

x=l,y=8,2,

2+6

x=2,y=6,2,

x=3,y=3,3=43X3,

輸出x=3,

故選:B.

4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

2

A.2B.1C.3D

1

MKB

參考答案：

C

略

5.已知集合A=x|x?-2x-3>0},集合B={x|0VxV4},則(?RA)DB=(

A.(0,3]B.[-1,0)C.[-1,3]D.(3,4)

參考答案：

A

【考點】1H：交、并、補集的混合運算.

【分析】化簡集合A,根據(jù)補集與交集的定義進行計算即可.

【解答】解：集合A=X|X2-2X-3>0}={X|XV-1或x>3},

集合B={x|0<x<4},

.,.?RA={X|-1WXW3},

(?RA)CB={X|0VXW3}=(0,3].

故選：A.

/(r)=cos2x7g(x)=sin2x

6.要得到函數(shù)’、3,的圖象，只需將函數(shù),、

A.向左平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度

我￡

C.向左平移4個單位長度D.向右平移4個單位長度

參考答案：

c

略

7.設復數(shù)z滿足。碗"=。則忸=（）

紅1

A.2B.2C.拉D.2

參考答案：

A

【詳解】分析：把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算

公式求解.

工」==1J

詳解：山Q+i）z=i得（1??）（I-i）22

?廿儕?'哼

故選A.

點睛：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題.

8.已知命題P］：函數(shù)y-2”在R上為增函數(shù)，02：函數(shù)y=2、+2'在R上

為

減函數(shù)，則在命題心：P】VPz,92：三八尸2;43：（、Pl）VP2；04:

PlM?2）；

其中為真命題的是：（）

A.91和夕3B.92和03C、（71和＜?4D、02和04

參考答案：

C

9.已知直線m和平血■P,若JWU。，則1A”是“a1月,，的（

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

A

因為mUi,若mW，，根據(jù)平面垂直的判定可得uLL所以S，儼是“，必產(chǎn)的充分條件

當mCu,若u_L|,則m±U或m或m與p相交，所以為不必要條件

即飛，卜”是““M伊的充分不必要條件

所以選A

10.一長方體共頂點的三條棱長分別是34x,且它的￡個頂點都在同一個球面上，這

個球面的表面積為125兀，則x的值為（）

A.5B.WC.8D.6

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

cos(兀-2CI)_

11.若式心-f?乎,則―

參考答案:

_3_

~4

【考點】三角函數(shù)的化簡求值.

【分析】由三角函數(shù)的誘導公式公式及正弦函數(shù)的和差化積公式化簡已知式子可得

sina+cosa=

2,平方可得答案.

cos(兀-2a)-cos2asin2a-cos20.

sin（a-：）sin(0.-^-)辛■(sin。-cosa)

【解答】解：若4

J^(sina+cosa)=

sinO.+cosCL=-g

/.2.

1

...平方可得1+sin2a=4.

_3_

sin2a=4

_3_

故答案為：7.

12.已知直角梯形形⑵中，ADIlBC,Z.ADC=90°,=2,SC=1,

戶是腰DC上的動點,貝廬,網(wǎng)

的最小值為____________

參考答案：

5

本題考查了向量模的運算，考查了在動態(tài)環(huán)境中最值的求法，考查了二次函數(shù)的最

值問題，難度較大。

以血)邊和DC邊分別作為x軸、y軸建立平面直角坐標系,

設直角腰DC長為m,則成=(2.-x),PB=dm-x)

貝ij|成+3麗卜/、(如-布尸=V16x3-24wx+9m3+25,

=25故|或+3旃匕=5

'n,n為奇數(shù)時

13.我們可以利用數(shù)列｛aj的遞推公式a“=l花"'n'禺時(nGNt),求出這個數(shù)列各

項的值，使得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù)，則a6,+&5=—.

參考答案：

66

【考點】數(shù)列遞推式.

【分析】借助于遞推公式知道奇數(shù)項的值為其項數(shù)，而偶數(shù)項的值由對應的值來決定，寫

出數(shù)列前幾項，即可得到所求值.

【解答】解：由題得：這個數(shù)列各項的值分別為1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,

3-

a6a+a65=a32+65=aa+65=aB+65=a」+65=1+65=66.

故答案為:66.

【點評】本題是對數(shù)列遞推公式應用的考查，解題時要認真審題，仔細觀察，注意尋找規(guī)

律，避免不必要的錯誤.

14,數(shù)列中，的=L*.]="*+」，則通項公式為%=

參考答案：

23人1

x，ty?_]

15.方程Q表示曲線C,給出以下命題：

①曲線C不可能為圓；

②若let<4,則曲線C為橢圓；

③若曲線C為雙曲線，則t〈l或t>4；

,5

1<t<一

④若曲線c為焦點在x軸上的橢圓，則2.

其中真命題的序號是(寫出所有正確命題的序號).

參考答案：

16.(9)j是虛數(shù)單位.復數(shù)(3+。(1-2。=—.

參考答案：

5-5i

17.函數(shù)

/(x)=sm(x+協(xié)——2sm>cosx的最大值為.

參考答案：

1

/(x)=sin(x+<p)-2stn^?cosx=sinxco$<p+cosxsm-2sinq>cosx

=smxcos<p-cosxsm<p=初(工9)<1.故最大值為1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.某商場為了了解顧客的購物信息，隨機在商場收集了100位顧客購物的相關數(shù)據(jù)如下

表：

一次購物款

[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+oo)

(單位：元)

顧客人數(shù)20a3020b

統(tǒng)計結果顯示100位顧客中購物款不低于150元的顧客占30%,該商場每日大約有4000

名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次購物不低于100元的顧客發(fā)放紀念品.

(I)試確定a,b的值，并估計每日應準備紀念品的數(shù)量；

(II)現(xiàn)有4人前去該商場購物，求獲得紀念品的數(shù)量4的分布列與數(shù)學期望.

參考答案：

(I)由已知，100位顧客中購物款不低于150元的顧客有^+20=100x30%,b=10；

a^100-(20130120110)=20

............2分

4000x—=2400

該商場每日應準備紀念品的數(shù)量大約為100..............4分

603

(II)由(I)可知1人購物獲得紀念品的頻率即為概率-100-5

故4人購物獲得紀念品的數(shù)量,服從二項分布

I"...................................6分

(I)嚷*3)Y?停)嘿

雄?4)Y?g)-言

…10分

4的分布列為

e()1234

p169621621681

625625625625625

312

*Kt=4x-=—

e數(shù)學期望為f5s12

分

19.已知｛“.｝是等差數(shù)列，｛小｝是等比數(shù)列，且a?3,A=9,4="，

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)設％=4°%求數(shù)列｛c“｝的前『項和.

參考答案：

.尸-1

⑴4=%】；⑵“"2

【分析】

(1)設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛'J的公比為9,運用通項公式，可得

g=3,4=2,進而得到所求通項公式；

(2)由(1)求得q=4',=3運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即

可得到數(shù)列(.)和.

【詳解】(1)設等差數(shù)列(％｝的公差為d,等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

因為％=g=9,可得,修，所以4=叱=3-戶=K,

j—fr=2

又由，=4=L/=%=N7,所以14-1,

所以數(shù)歹ij{%）的通項公式為4='+g-Dxd=l+2（K-D=2?T.

（2）由題意知%=%地=&D"r

則數(shù)列kJ的前”項和為

?0+力1—D1-3',3--1

[1?3?Qu-D]+(1+3+9?,???3*^)=?=R.

21-32

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的

分組求和，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，準確運算是解答

的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

C'—5?—y=1（?I>0）----

20.在平面直角坐標系X。），中，已知橢圓酒的離心率為2,且過

點點P在第四象限，A為左頂點，B為上頂點，PA交尸軸于點C,PB交X軸于

點D.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）求面積的最大值.

參考答案：

（1）4；（2）V2-1.

【分析】

31

￡=苴+=1

（1）由條件可得a2,孑可，從而可解得橢圓方程;

jr=------(x-l-2)jr=------JT+1

(2)設戶(山，〃)，m>0,n<0,PA：m+2,PB：m,可得C

2JIm.

------——Q

(0,E)2),D(l-?),得

腦存阿1c含｝手(三目前可殳

(coxOjnnOfYixifUcfisO

S__=1----------------->

-=3.…血,可得xtn&cosOginO-ctnO,令

-?加=￡,41/6=*-1,從而可得最值.

￡=也*=1

【詳解】（1）由已知得<>—2,?a~2,

1/2_+工-1

點（力，2）RA?請-1可得嫁一.

1

代入點（6,解得爐=1,a=2

—+/?1

...橢圓C的標準方程：4

—?n

(2)可得A(-2,0),B(0,1).設尸(相，”)，機>0,〃<0,且.4

------(X-F2)jr=-----x+1

PA：m+2,PB：iw

可得。(0,E+2),D(1-n).

5=/阿(…鬲丹(三+2>券

__4JJ1=]m=2casffB=元祝6七[—,2x]

由4，可設12，.

則

sinOaxO(cfisGa被

830+1mfty?0+jnM9ctxsO1

1-5

xtnOcaxO二

令8?^一面/=i,則/-1—~2~

--------i-t

則2

,=?M^—mM=＞/5cos/e+t]G=—.有0

又I4人當4時，J=C—取得最大值，最大值

為近1.

【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓和直線相交所形成的三角形的面積

計算及面積最大值的求法，考查利用三角換元求最大值，綜合性較強，屬于較難的題目.求

解橢圓中三角形的面積問題，一方面要利用幾何關系表示面積，另一方面求出面積的表達

后，要選擇合適的方法來求最值.

21.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)/（x）=xlnx,g（x）=-?+＜u-2.

（1）求函數(shù)/（＞）在卜/+2]?＞0）上的最小值；

（2）若函數(shù)尸二/（r與＞的圖象恰有一個公共點，求實數(shù)a的值；

（3）若函數(shù)y=/（x）+g*）有兩個不同的極值點々，勺@1＜當），且修一玉＞歷2,求

實數(shù)a的取值范圍.

參考答案:

/"(x)=lnx+1=0=丁=一

解由題,⑴令0

1

（1）當。":時，JO）在―-.1+2

"上單調遞減，在"上單調遞增

AM(X)=/(-)--

gg

(2)當時，/CO在['"+2]上單調遞增

.x)=%)="nr

(II)由題/。)-8(力=/工+-7什2在(0,欣)上有且只有一個根

即:a=lnx+x+q在(0,+8)上有且僅有一根，..............................6分

令h(x)=lnx+x+'1?，則h，(x)=++l--§=/學--=^(x+2)(x—1),

易知,h(x)在(0,1)上單調遞減，在(1.+8)上單調遞增.

所以,aHh(x)-Hh(l)=3........................................................................................8分

(D1)由題~=￡(乂)+8(乂)=必口又一d+8乂-2

則其導函數(shù)為y'=lnx—2x+l+a,

翹意即為:y'=lnx-2x+l+a=0有兩個不同實根X】

等價于：a=-lnx+2x一】有兩個不同實根1，力,

等價于:直線y=a與函數(shù)G(x)-lnx+2x-l的圖像有兩個不同的交點，.....10分

由G'(x)=T+2,巳知G(x)在(0擊上單調遞減.在(4，+8)上單調遞增，

畫出函數(shù)G(x)用像的大致形狀(如右圖)，.

由圖像易知:當a>G(x)-=GG)=ln2時,X|,R存在，][/

且&一小的值隨著a的增大而增大.\y

而當Xj-Xi=ln2時，-Jij------f