數(shù)學人教B版必修5學案課堂探究1.1.1正弦定理

課堂探究一、判斷三角形解的個數(shù)剖析：(1)代數(shù)法在△ABC中，已知a，b，∠A，由正弦定理可得sinB＝eq\f(b,a)sinA＝m．①當sinB>1時，這樣的∠B不存在，即三角形無解．②當sinB＝1時，∠B＝90°，若∠A<90°，則三角形有一解，否則無解．③當sinB<1時，滿足sinB＝m的角有兩個，其中設銳角為α，鈍角為β，則當∠A＋α>180°時，三角形無解；當∠A＋α<180°，且∠A＋β<180°時，有兩解；當∠A＋α<180°且∠A＋β>180°時有一解．(2)幾何法根據(jù)條件中∠A的大小，分為銳角、直角、鈍角三種情況，通過幾何作圖，得出解的情況．作出已知∠A，以A為圓心，邊長b為半徑畫弧交∠A的一邊于C．使未知的邊AB水平，頂點C在邊AB上方，以點C為圓心，邊長a為半徑作圓，該圓與射線AB交點的個數(shù)，即為解的個數(shù)，如下表所示：∠A為銳角∠A為鈍角或直角圖形①②關(guān)系式①a＝bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個數(shù)一解兩解無解一解無解二、教材中的“探索與研究”在正弦定理中，設eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k．請研究常數(shù)k與△ABC外接圓的半徑R的關(guān)系．(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如圖1，當△ABC為直角三角形時，直接得到eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，R為外接圓半徑)．(2)如圖2，當△ABC為銳角三角形時，連接BO并延長交圓O于點D，連接CD．因為∠A＝∠D，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sinD)＝2R，同理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R．(3)如圖3，當△ABC為鈍角三角形且∠A為鈍角時，連接BO并延長交圓O于點D，連接CD，∠A＝180°－∠D，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sin(180°－∠D))＝eq\f(a,sinD)＝2R．由(2)知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R．綜上所述，對于任意△ABC，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R恒成立．歸納總結(jié)：根據(jù)上述關(guān)系式可得到正弦定理的常用變式：(1)asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB．(2)a＝eq\f(bsinA,sinB)；sinB＝eq\f(bsinA,a)．(3)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(5)邊化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(6)角化邊公式：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)．題型一解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b和∠B．分析：正弦定理中有三個等式，每個等式都含有四個未知量，可知三求一．當知道兩個角時，即可知道第三個角，所以若再知道三邊中任意一邊，就可解這個三角形．解：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∠A＝45°，∠C＝30°，∴a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)，∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(45°＋30°)＝105°．又eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(c·sinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))．反思：本題給出了解三角形第一類問題(即已知兩角和一邊，求另兩邊和一角)的方法步驟，即先由正弦定理求得已知角的對邊，然后利用內(nèi)角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三邊．【例2】在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，∠B＝45°，求∠A，∠C和c．分析：已知兩邊和其中一邊的對角的解三角形問題可運用正弦定理來求解，但應注意解的個數(shù)．解：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)．∵asinB<b<a，∴∠A有兩個解，∴∠A＝60°或∠A＝120°．(1)當∠A＝60°時，∠C＝180°－∠A－∠B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)．(2)當∠A＝120°時，∠C＝180°－∠A－∠B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)．故∠A＝60°，∠C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或∠A＝120°，∠C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)．反思：本題給出了解三角形第二類問題(即已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角及其他的角和邊)的方法步驟，即先由正弦定理求得已知邊的對角，然后利用內(nèi)角和公式求得第三角，再求得第三邊．解答此類問題應注意對解的個數(shù)的討論．題型二判斷三角形的形狀【例3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，試判斷△ABC的形狀．分析：將式中的a，b，c分別用2RsinA，2RsinB，2RsinC(R為△ABC外接圓半徑)來代替是解決本題的關(guān)鍵．解：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)中，可得eq\f(2RsinA,cosA)＝eq\f(2RsinB,cosB)＝eq\f(2RsinC,cosC)，所以tanA＝tanB＝tanC．又因為∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角，所以∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等邊三角形．反思：已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩種思路：其一，化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關(guān)系；其二，化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系．【互動探究】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，試判斷△ABC的形狀．解：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)得eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)，eq\f(sinC,c)＝eq\f(cosC,c)，∴sinB＝cosB，即eq\r(2)sin(∠B－45°)＝0，∴∠B＝45°，同理，∠C＝45°．∴∠A＝180°－∠B－∠C＝90°．∴△ABC為等腰直角三角形．題型三用正弦定理證明【例4】在△ABC中，求證：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA)．分析：求證的等式左邊既含有邊又含有角，而右邊只有角，可利用正弦定理將左邊的邊化成角．證明：由正弦定理得左邊＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinA－sinCcosB,sinB－sinCcosA)＝eq\f(sin(B＋C)－sinCcosB,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC＋cosBsinC－sinCcosB,sinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右邊．故原等式成立．反思：在含有邊角關(guān)系的等式中，若含有a，b，c及sinA，sinB，sinC形式，可利用正弦定理完成邊角關(guān)系的統(tǒng)一．題型四易錯辨析【例5】在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，求△ABC的面積．錯解：由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠C＝60°，所以∠A＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×1＝2eq\r(3)，即△ABC的面積是2eq\r(3)．錯因分析：利用正弦定理求角C時漏解了，實際上由AB>AC，得滿足sinC＝eq\f(\r(3),2)的角C有兩個．正解：由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)．因為AB>AC，所以∠C＝60°或120°．當∠C＝60°時，∠A＝90°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝2eq\r(3)；當∠C＝120°時，∠A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\r(3)．所以△ABC的面積為2eq\r(3)或eq\r(3)．【例6】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∠C＝30°，求a＋b的最大值．錯解：因為∠C＝30°，所以∠A＋∠B＝150°，即∠B＝150°－∠A．由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sin(150°－∠A))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),sin30°)．又因為sinA≤1，sin(150°－∠A)≤1，所以a＋b≤2(eq\r(6)＋eq\r(2))＋2(eq\r(6)＋eq\r(2))＝4(eq\r(6)＋eq\r(2))．故a＋b的最大值為4(eq\r(6)＋eq\r(2))．錯因分析：上述解法錯誤的原因是未弄清∠A與150°－∠A之間的關(guān)系，這里∠A與150°－∠A是相互制約的，不是相互獨立