北京市西城區(qū)高二上學期期末數(shù)學試卷（文科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學年北京市西城區(qū)高二(上）期末數(shù)學試卷(文科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1．雙曲線的一個焦點坐標為（)A． B． C．(2，0） D．(0，2）2．已知橢圓的長軸長是焦距的2倍,則橢圓的離心率為（)A．2 B． C． D．3．給出下列判斷，其中正確的是()A．三點唯一確定一個平面B．一條直線和一個點唯一確定一個平面C．兩條平行線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內D．空間兩兩相交的三條直線在同一平面內4．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的()A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．設m∈R,命題“若m≥0，則方程x2=m有實根”的逆否命題是（)A．若方程x2=m有實根,則m≥0 B．若方程x2=m有實根,則m＜0C．若方程x2=m沒有實根，則m≥0 D．若方程x2=m沒有實根，則m＜06．下列直線中，與直線2x+y+1=0平行且與圓x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C． D．7．F是拋物線y2=4x的焦點，P為拋物線上一點．若|PF｜=3，則點P的縱坐標為（)A．±3 B． C．±2 D．±18．如圖，E為正四棱錐P﹣ABCD側棱PD上異于P，D的一點,給出下列結論：①側面PBC可以是正三角形；②側面PBC可以是直角三角形;③側面PAB上存在直線與CE平行；④側面PAB上存在直線與CE垂直．其中，所有正確結論的序號是(）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①④二、填空題:本大題共6小題，每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.9．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．如果直線ax+2y﹣3=0與2x﹣y=0垂直,那么a等于．11．雙曲線x2﹣=1的離心率是,漸近線方程是．12．一個直三棱柱的三視圖如圖所示，則該三棱柱的體積為．13．如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC=CB=1，，對角線．將△ACD沿AC所在直線翻折，當AD⊥BC時，線段BD的長度為．14．學完解析幾何和立體幾何后,某同學發(fā)現(xiàn)自己家碗的側面可以看做拋物線的一部分曲線圍繞其對稱軸旋轉而成，他很想知道拋物線的方程，決定把拋物線的頂點確定為原點，對稱軸確定為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,但是他無法確定碗底中心到原點的距離,請你通過對碗的相關數(shù)據的測量以及進一步的計算,幫助他求出拋物線的方程．你需要測量的數(shù)據是（所有測量數(shù)據用小寫英文字母表示）,算出的拋物線標準方程為．三、解答題:本大題共6小題,共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,側棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點．（Ⅰ）求證:PC∥平面BDE；（Ⅱ）證明：BD⊥CE．16．已知圓C經過A（1，3）,B（﹣1，1）兩點,且圓心在直線y=x上．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）設直線l經過點（2，﹣2），且l與圓C相交所得弦長為,求直線l的方程．17．如圖，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE,△ADE是等邊三角形，AD=DC=2AB=2，F(xiàn)，G分別為AD，DE的中點．（Ⅰ)求證：EF⊥平面ABCD;（Ⅱ）求四棱錐E﹣ABCD的體積；(Ⅲ）判斷直線AG與平面BCE的位置關系,并加以證明．18．過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于兩點C，D，與直線x=2交于點E．（Ⅰ）若直線l的斜率為2，求|CD|；（Ⅱ）設O為坐標原點，若S△ODE：S△OCE=1:3，求直線l的方程．19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2，．M，N分別為BC和AA1的中點，P為側棱BB1上的動點．（Ⅰ）求證：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ)若P為線段BB1的中點，求證：CN∥平面AMP；（Ⅲ）試判斷直線BC1與PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，請說明理由．20．已知拋物線y2=2x,兩點M（1，0），N(3，0）．(Ⅰ）求點M到拋物線準線的距離；(Ⅱ）過點M的直線l交拋物線于兩點A，B，若拋物線上存在一點R，使得A，B，N,R四點構成平行四邊形,求直線l的斜率．

2016-2017學年北京市西城區(qū)高二(上）期末數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1．雙曲線的一個焦點坐標為(）A． B． C．(2，0) D．（0,2)【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據雙曲線的方程和性質即可得到結論．【解答】解:由雙曲線得a2=3,b2=1，則c2=a2+b2=4，則c=2，故雙曲線的一個焦點坐標為（2，0）,故選：C2．已知橢圓的長軸長是焦距的2倍,則橢圓的離心率為（）A．2 B． C． D．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題意可知：a=2c，橢圓的離心率e==．【解答】解:由題意可知：橢圓的長軸長是焦距的2倍，即2a=2×2c,即a=2c，由橢圓的離心率e==，∴橢圓的離心率e=，故選D．3．給出下列判斷，其中正確的是（)A．三點唯一確定一個平面B．一條直線和一個點唯一確定一個平面C．兩條平行線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內D．空間兩兩相交的三條直線在同一平面內【考點】平面的基本性質及推論．【分析】利用公理三及其推論直接求解．【解答】解：在A中，不共線的三點唯一確定一個平面，故A錯誤;在B中，一條直線和直線外一個點唯一確定一個平面，故B錯誤；在C中，兩條平行線與同一條直線相交，由由公理三及推論得三條直線在同一平面內，故C正確；在D中，空間兩兩相交的三條直線在同一平面內或在三個不同的平面內，故D錯誤．故選：C．4．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的（）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【考點】雙曲線的簡單性質；充要條件．【分析】先證明充分性，把方程化為+=1，由“mn＜0"，可得、異號，可得方程表示雙曲線，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的充分條件；再證必要性，先把方程化為+=1，由雙曲線方程的形式可得、異號，進而可得mn＜0,由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線"的必要條件；綜合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，則m、n均不為0，方程mx2+ny2=1，可化為+=1,若“mn＜0”，、異號，方程+=1中,兩個分母異號，則其表示雙曲線，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的充分條件；反之，若mx2+ny2=1表示雙曲線，則其方程可化為+=1，此時有、異號，則必有mn＜0，故“mn＜0"是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線"的必要條件；綜合可得：“mn＜0"是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線"的充要條件；故選C．5．設m∈R,命題“若m≥0，則方程x2=m有實根”的逆否命題是(）A．若方程x2=m有實根，則m≥0 B．若方程x2=m有實根，則m＜0C．若方程x2=m沒有實根，則m≥0 D．若方程x2=m沒有實根,則m＜0【考點】四種命題．【分析】根據已知中的原命題,結合逆否命題的定義,可得答案．【解答】解：命題“若m≥0，則方程x2=m有實根”的逆否命題是命題“若方程x2=m沒有實根，則m＜0”，故選:D6．下列直線中,與直線2x+y+1=0平行且與圓x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C． D．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】設直線方程為2x+y+c=0,圓心到直線的距離d==,求出c，可得結論．【解答】解：設直線方程為2x+y+c=0，圓心到直線的距離d==,∴c=±5，故選A．7．F是拋物線y2=4x的焦點，P為拋物線上一點．若|PF|=3，則點P的縱坐標為(）A．±3 B． C．±2 D．±1【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求出拋物線的焦點和準線方程，設出P的坐標，運用拋物線的定義，可得|PF｜=d(d為P到準線的距離），即可得到所求值．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點F(1，0），準線l為x=﹣1，設拋物線的點P（m,n），則由拋物線的定義，可得｜PF|=d（d為P到準線的距離）,即有m+1=3，解得，m=2，∴n2=8，解得n=±2故選：B8．如圖，E為正四棱錐P﹣ABCD側棱PD上異于P,D的一點，給出下列結論：①側面PBC可以是正三角形;②側面PBC可以是直角三角形；③側面PAB上存在直線與CE平行；④側面PAB上存在直線與CE垂直．其中,所有正確結論的序號是(）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①④【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；棱錐的結構特征．【分析】在①中,當側棱PB與底面邊長相等時，側面PBC是正三角形；在②中，當側面PBC是直角三角形時，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，這不成立；在③中，若側面PAB上存在直線與CE平行,則E與D點一定重合，與已知矛盾;在④中，側面PAB上一定存在直線與CE垂直．【解答】解:由E為正四棱錐P﹣ABCD側棱PD上異于P，D的一點,知:在①中,當側棱PB與底面邊長相等時，側面PBC是正三角形，故①正確；在②中,∵正四棱錐P﹣ABCD中PB=PC=PA=PD，∴當側面PBC是直角三角形時，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，∵∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°不成立，故側面PBC不可以是直角三角形,故②錯誤;在③中，若側面PAB上存在直線與CE平行,則E與D點一定重合，與已知為正四棱錐P﹣ABCD側棱PD上異于P,D的一點矛盾，故側面PAB上不存在直線與CE平行，故③錯誤；在④中，側面PAB上一定存在直線與CE垂直，故④正確．故選：D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。9．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【考點】特稱命題．【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定．【解答】解：因為命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為:對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案為：對任何x∈R,都有x2+2x+5≠0．10．如果直線ax+2y﹣3=0與2x﹣y=0垂直，那么a等于1．【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】由已知條件得2a+2×（﹣1）=0，由此能求出a．【解答】解：∵直線ax+2y﹣3=0與2x﹣y=0垂直，∴2a+2×（﹣1）=0，解得a=1．故答案為：1．11．雙曲線x2﹣=1的離心率是2，漸近線方程是y=．【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】雙曲線x2﹣=1中,a=1，b=，c=2,即可求出雙曲線的離心率與漸近線方程．【解答】解：雙曲線x2﹣=1中,a=1，b=，c=2，∴e==2,漸近線方程是y=±x．故答案為：2,y=．12．一個直三棱柱的三視圖如圖所示,則該三棱柱的體積為4．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可得：該幾何體的兩個側面都為邊長為2的正方形，底面是等腰直角三角形,直三棱柱的高為2．【解答】解：由三視圖可得：該幾何體的兩個側面都為邊長為2的正方形，底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高為2．∴該三棱柱的體積==4．故答案為：4．13．如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC=CB=1，，對角線．將△ACD沿AC所在直線翻折，當AD⊥BC時，線段BD的長度為．【考點】正弦定理．【分析】在△ABC中,利用勾股定理可證AC⊥BC,結合已知可證BC⊥平面ADC，進而可求BC⊥CD，利用已知及勾股定理即可計算得解BD的值．【解答】解:∵AD⊥BC，又∵在△ABC中,AC=,BC=1，AB=，∴AC2+BC2=AB2，可得：AC⊥BC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，又∵BD?平面BCD，∴BC⊥CD，∵CD=BC=1，∴BD===．故答案為:．14．學完解析幾何和立體幾何后，某同學發(fā)現(xiàn)自己家碗的側面可以看做拋物線的一部分曲線圍繞其對稱軸旋轉而成，他很想知道拋物線的方程，決定把拋物線的頂點確定為原點，對稱軸確定為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,但是他無法確定碗底中心到原點的距離,請你通過對碗的相關數(shù)據的測量以及進一步的計算，幫助他求出拋物線的方程．你需要測量的數(shù)據是碗底的直徑2m，碗口的直徑2n，碗的高度h(所有測量數(shù)據用小寫英文字母表示)，算出的拋物線標準方程為y2=x．【考點】拋物線的標準方程．【分析】碗底的直徑2m，碗口的直徑2n，碗的高度h；設方程為y2=2px（p＞0)，則將點（a,m），（a+h，n)，即可得出結論．【解答】解:碗底的直徑2m，碗口的直徑2n,碗的高度h；設方程為y2=2px（p＞0)，則將點（a，m）,（a+h,n)代入拋物線方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h）,可得2p=，∴拋物線方程為y2=x．故答案為碗底的直徑2m,碗口的直徑2n，碗的高度h；y2=x．三、解答題：本大題共6小題,共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點．（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；（Ⅱ）證明：BD⊥CE．【考點】直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連結AC交BD于O,連結OE，推導出PC∥OE,由此能證明PC∥平面BDE．（Ⅱ)推導出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥CE．【解答】（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）連結AC交BD于O,連結OE，因為四邊形ABCD是正方形，所以O為AC中點．又因為E是PA的中點，所以PC∥OE，…因為PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（Ⅱ）因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC．…因為PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．…又因為AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC，…又CE?平面PAC，所以BD⊥CE．…16．已知圓C經過A(1,3),B（﹣1，1)兩點，且圓心在直線y=x上．（Ⅰ）求圓C的方程;（Ⅱ)設直線l經過點（2，﹣2），且l與圓C相交所得弦長為,求直線l的方程．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a,a)，利用CA=CB,建立方程,求出a，即可求圓C的方程；（Ⅱ）分類討論,利用圓心到直線的距離公式，求出斜率，即可得出直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，a），依題意，有,即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1)2=4,所以圓C的方程為（x﹣1）2+(y﹣1）2=4．（Ⅱ）依題意，圓C的圓心到直線l的距離為1，所以直線x=2符合題意．設直線l方程為y+2=k（x﹣2)，即kx﹣y﹣2k﹣2=0，則，解得，所以直線l的方程為，即4x+3y﹣2=0．綜上，直線l的方程為x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．17．如圖，在平面ABCD中,AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等邊三角形,AD=DC=2AB=2，F(xiàn)，G分別為AD,DE的中點．(Ⅰ）求證：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱錐E﹣ABCD的體積;（Ⅲ）判斷直線AG與平面BCE的位置關系，并加以證明．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ)推導出EF⊥AD，則平面ADE⊥平面ABCD，由此能證明EF⊥平面ABCD．（Ⅱ）推導出四邊形ABCD是直角梯形，由此能求出四棱錐E﹣ABCD的體積．(Ⅲ）取CE的中點H，連結GH,BH，推導出四邊形ABHG為平行四邊形,從而AG∥BH，由此得到AG∥平面BCE．【解答】（本小題滿分13分）證明:(Ⅰ）因為F為等邊△ADE的邊AD的中點，所以EF⊥AD．…因為AB⊥平面ADE，AB?平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD．…所以EF⊥平面ABCD．…解：(Ⅱ)因為AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE,所以AB∥CD,∠ADC=90°，四邊形ABCD是直角梯形，…又AD=DC=2AB=2，所以，…又．所以．…（Ⅲ）結論：直線AG∥平面BCE．證明：取CE的中點H,連結GH，BH,因為G是DE的中點，所以GH∥DC，且GH=．…所以GH∥AB，且GH=AB=1，所以四邊形ABHG為平行四邊形,AG∥BH,…又AG?平面BCE，BH?平面BCE．所以AG∥平面BCE．…18．過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于兩點C，D,與直線x=2交于點E．（Ⅰ）若直線l的斜率為2，求|CD|；（Ⅱ）設O為坐標原點，若S△ODE：S△OCE=1:3，求直線l的方程．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ)由橢圓的標準方程可知：直線l的方程為y=2x﹣2，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得｜CD｜；(Ⅱ)設直線l的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，由韋達定理可知:，，由S△ODE：S△OCE=1：3,，即可求得3x2﹣x1=4，即可求得k的值,求得直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，c=1，F(xiàn)（1，0），直線l的方程為y=2x﹣2．…設C(x1，y1）,D(x2，y2），聯(lián)立，消y得9x2﹣16x+6=0,…由韋達定理可知：，，…∴…=．∴|CD|=;…(Ⅱ）依題意，設直線l的斜率為k（k≠0）,則直線l的方程為y=k（x﹣1)，聯(lián)立，消y得（1+2k2）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0,…由韋達定理可知：…①,…②…∵S△ODE:S△OCE=1：3，∴|DE|：|CE｜=1:3，，∴2﹣x1=3(2﹣x2），整理得3x2﹣x1=4…③…由①③得，，…代入②，解得k=±1，…∴直線l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1．…19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2,．M，N分別為BC和AA1的中點，P為側棱BB1上的動點．（Ⅰ）求證：平面APM⊥平面BB1C1C；(Ⅱ）若P為線段BB1的中點，求證：CN∥平面AMP;（Ⅲ）試判斷直線BC1與PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直,請說明理由．【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推導出AM⊥BC，BB1⊥AM，從而AM⊥平面BB1C1C，由此能證明平面AMP⊥平面BB1C1C．(Ⅱ）連結BN,交AP于Q，連結MQ,NP．推導出四邊形ANPB為平行四邊形，從而CN∥MQ，由此能證明CN∥平面AMP．（Ⅲ）假設直線BC1與直線PA能夠垂直，設PB=x，．推導出．從而得到直線BC1與直線PA不可能垂直．【解答】(本小題滿分14分）證明:（Ⅰ）由已知,M為BC中點,且AB=AC，所以AM⊥BC．…又因為BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．所以BB1⊥AM，…