拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)目的：1．掌握拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)；2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對(duì)拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫拋物線圖形；3．在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：

“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”是課本第八章最后一節(jié)，它在全章占有重要的地位和作用本節(jié)知識(shí)在生產(chǎn)、生活和科學(xué)技術(shù)中經(jīng)常用到，也是大綱規(guī)定的必須掌握的內(nèi)容，還是將來大學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)之一對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生用坐標(biāo)法解題，本節(jié)一如前面各節(jié)一樣起著相當(dāng)重要的作用研究拋物線的幾何性質(zhì)和研究橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)一樣，按范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率順序來研究，完全可以獨(dú)立探索得出結(jié)論已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，一次項(xiàng)的變量如果為（或），則軸（或軸）是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向，由已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先要根據(jù)已知條件確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求出方程中的參數(shù)本節(jié)分兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)第一課時(shí)內(nèi)容主要講拋物線的四個(gè)幾何性質(zhì)、拋物線的畫圖、例1、例2、及其它例題；第二課時(shí)主要內(nèi)容焦半徑公式、通徑、例3教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．拋物線定義：圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的，即不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)，X為一次項(xiàng)，Y為二次項(xiàng)，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱時(shí)，X為二次項(xiàng)，Y為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為（2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開口在X軸（或Y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào)二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1．范圍因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．2．對(duì)稱性以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．3．頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．4．離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率軸軸軸軸注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，拋物線在這一點(diǎn)的切線斜率接近于對(duì)稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對(duì)稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率附：拋物線不存在漸近線的證明．（反證法）假設(shè)拋物線y2＝2px存在漸近線y＝mx＋n，A（x，y）為拋物線上一點(diǎn)，A0（x，y1）為漸近線上與A橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)如圖，則有和y1＝mx＋n．∴當(dāng)m≠0時(shí)，若x→＋∞，則當(dāng)m＝0時(shí)，，當(dāng)x→＋∞，則這與y＝mx＋n是拋物線y2＝2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形．分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p．解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^點(diǎn)，所以，即因此，所求的拋物線方程為．將已知方程變形為，根據(jù)計(jì)算拋物線在的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得x01234…y024…描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分點(diǎn)評(píng)：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線．例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值．解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(p＞0)．由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，即所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．例3過拋物線的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡(jiǎn)捷．證明：如圖．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線相切．四、課堂練習(xí)：1．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）42．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（B）（A）3（B）4（C）5（D）63．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長(zhǎng)分別是、，則=（C）（A）（B）（C）（D）4．過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、