2021北京昌平初三（上）期末數(shù)學（教師版） (一)

2021北京昌平初三（上）期末

數(shù)學

本試卷共5頁，共100分，考試時長120分鐘

一、選擇題（共8道小題，每小題3分，共24分）

1.如圖，以點P為圓心，以下列選項中的線段的長為半徑作圓，所得的圓與直線1相切的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

2.已知3x-4y=0（Ay#0）,那么下列比例式中成立的是（）

xyxy

A-=-B.-=—

3443

x3x4

C.—=-D

>43y

3.二次函數(shù)y=（x—3）2+l的頂點坐標是（）

A.（-3,1）B.（3,1）C.（-3,-1）D.（3,-1）

4.如圖，AB是。O的直徑，CD是。O的弦，如果/ACD=36。，那么/BAD等于（）

A

A.36°B.44°C,54°D.56°

5.已知二次函數(shù)y=（x—2y+l,若點A（0,X）和B（3,%）在此函數(shù)圖象上，則月與月的大小關系是（）

A.必>必B.y<%C.y=y2D.無法確定

6.小英家在學校北偏東40度的位置上，那么學校在小英家的方向是（）

A.南偏東40度B.南偏西40度C.北偏東50度D.北偏西50度

7.如圖，AABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，貝Ijtan/ACB的值為（）

B

8.如圖，點M坐標為（0,2）,點A坐標為（2,0）,以點M為圓心，MA為半徑作。M,與x軸的另一個交點

為B,點C是。M上的一個動點，連接BC,AC,點D是AC的中點，連接OD,當線段OD取得最大值時，點D

的坐標為（）

A.（0,1+夜）B.（I,1+72）C.（2,2）D.（2,4）

二、填空題（共8道小題，每小題3分，共24分）

9.請寫出一個開口向上且過點（0,-2）的拋物線表達式為一.

10.點A（2,y）,8（3,%）是反比例函數(shù)y=-9圖象上的兩點，那么必，力的大小關系是X力?（填

x

“>”，或“=”）

11.如圖，正六邊形ABCDEF內接于。O,。。的半徑為6,則A8的長為.

12.如圖，平行四邊形ABCD中，延長AD至點E,使DE=gAD,連接BE,交CD于點F,若ADEF的面積為

2,則4CBF的面積為

AD

13.如圖，AB是。。的直徑，弦CDJ_AB,垂足為點E,CD=16,BE=4,則CE=,。。的半徑為

14.如圖，。0是AABC內切圓，切點分別為D,EF,已知NA=40。，連接OB,OC,DE,EF,則/BOC=

0,NDEF=

16.拋物線y=—/+2x+相交x軸于點A（a,0）和B（b,0）（點A在點B左側），拋物線的頂點為D,下列

四個結論：①拋物線過點（2,m）；②當m=0時，△ABD是等腰直角三角形；③a+b=4；④拋物線上有兩點P

（X1,%）和Q（乙，內），若/<巧，且冉+々>2,則%?其中結論正確的序號是

三、解答題（共4道小題，每小題5分，共20分）

17.計算：73tan60°+cos2450-sin300.

18.如圖，AC平分/BAD,ZB=ZACD.

(1)求證：△ABC^AACD；

(2)若AB=2,AC=3,求AD的長.

19.已知二次函數(shù)y=f-2x—3.

(1)寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐標，再描點畫圖;

(2)結合函數(shù)圖象，直接寫出＞＜0時x的取值范圍.

4'木-

3

2-

J_i_i_i_

-4-3-2~101234x

-2

-3

20.下面是小東設計的“過圓外一點作這個圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：OO及＜30外一點P.

求作：直線PA和直線PB,使PA切。O于點A,PB切。O于點B.

作法：如圖，

①作射線PO,與0O交于點M和點N；

②以點P為圓心，以PO為半徑作OP；

③以點。為圓心，以。O的直徑MN為半徑作圓，與。P交于點E和點F,連接OE和OF,分別與。。交于點A和

點B；

④作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接PE和PF,

VOE=MN,OA=OM=—MN,

2

二點A是0E中點.

VPO=PE,

...PALOA于點A（）（填推理的依據(jù)）.

同理PB_LOB于點B.

VOA,OB為。。的半徑，

APA,PB是。O的切線.（）（填推理的依據(jù)）.

四、解答題（共2道小題，21題5分，22題6分，共11分）

21.某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行社會實踐活動時，想利用所學的解直角三角形的知識測昌平中心公園的仿

古建筑“弘文閣”AB的高度.他們先在點C處用高1.5米的測角儀CE測得“弘文閣”頂A的仰角為30。，然后向“弘文

閣'’的方向前進18m到達D處，在點D處測得“弘文閣”頂A的仰角為50。.求“弘文閣”AB的高（結果精確到

0.1m,參考數(shù)據(jù)：,tan500~1.19,tan400~0.84,Ga1.73）.

22.如圖，AB為。O的直徑，點C,D是OO上的點，AD平分NBAC,過點D作AC的垂線，垂足為點E.

（1）求證：DE是。O的切線；

3

（2）延長AB交ED的延長線于點F,若。O半徑的長為3,tanNAFE=-,求CE的長.

DE

五、解答題(共3道小題，每小題7分，共21分)

23.在平面直角坐標系x0y中，拋物線丁=〃/+笈+3與>軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度，得到點

B,點B在拋物線上.

(1)①直接寫出拋物線的對稱軸是;

②用含a的代數(shù)式表示b；

(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.若拋物線與x軸交于P、Q兩點，該拋物線在P、Q之間的部分與線段

PQ所圍成的區(qū)域(不包括邊界)恰有七個整點，結合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

24.在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點D是線段BC上的動點(BD>CD),作射線AD,點B關于射線AD

的對稱點為E,作直線CE,交射線AD于點F.連接AE,BF.

(1)依題意補全圖形，直接寫出ZAFE的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AF,CF,BF之間的數(shù)量關系，并證明.

25.在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點。在圖形N上，如果尸。兩點間的距離有

最小值，那么稱這個最小值為圖形的“近距離”，記為d(M,N).特別地，當圖形M與圖形N有公共點時，

d(M,N)=0.

已知A(-4,0),B(0,4),C(4,0),D(0,-4),

(1)d(點A,點C)=,d(點A,線段BD)=；

(2)。0半徑為r,

①當r=l時，求。。與正方形ABCD的“近距離”d正方形ABCD)；

②若d(00,正方形ABCD)=1,則「=.

(3)M為x軸上一點，0M的半徑為1,0M與正方形ABCD的“近距離”d(OM,正方形ABCD)<1,請直接

寫出圓心M的橫坐標m的取值范圍.

昌平區(qū)2020-2021學年第一學期初三年級期末水平測試

數(shù)學試卷

本試卷共5頁，共100分，考試時長120分鐘

一、選擇題（共8道小題，每小題3分，共24分）

1.如圖，以點P為圓心，以下列選項中的線段的長為半徑作圓，所得的圓與直線1相切的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

【答案】B

【解析】

【分析】圓的切線垂直于過切點的半徑，據(jù)此解答.

【詳解】???以點P為圓心，所得的圓與直線1相切，

，直線1垂直于過點P的半徑，

APB的長是圓的半徑，

故選：B.

【點睛】此題考查切線的性質定理：知切線得垂直，熟記定理是解題的關鍵.

2.已知3%一分=0（◎#0）,那么下列比例式中成立的是（）

xyxy

A.-=-B.-=—

3443

x3x4

C.-=-D

>43y

【答案】B

【解析】

【分析】由3%一4〉=0（砧#0）,可得3x=4y,再利用比例的基本性質逐一分析各選項，即可得到答案.

詳解】解：v3x-4y=0（^*0）,

3%=4"0,

由2=?可得：4x=3y#0,故A不符合題意，

34

由2=2可得：3x=4y￥0,故5符合題意；

43

x3

由7=W可得：4x=3y（邛#0）,故C不符合題意，

x4

由1=］可得：個=12（肛。0）,故。不符合題意，

故選：B.

【點睛】本題考查的是比例的基本性質，掌握比例的基本性質進行變形是解題的關鍵.

3.二次函數(shù)y=（x—3y+l的頂點坐標是（）

A.（-3,1）B.（3,1）C.（-3,-1）D.（3,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的頂點式形式即可寫出其頂點坐標.

【詳解】二次函數(shù)y=（x—3『+1的頂點坐標是（3,1）

故選：B

【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的頂點坐標，關鍵是知道二次函數(shù)的頂點式或能把一般式化成頂點式.

4.如圖，AB是。O的直徑，CD是。O的弦，如果/ACD=36。，那么/BAD等于（）

%D_?

A.36°B.44°C,54°D,56°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意由AB是00的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得NADB=90。，又由NACD=36。，可

求得NABD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質求出答案.

【詳解】解：:AB是OO的直徑，

ZADB=90°,

VZACD=36°,

ZABD=36°

ZBAD=90°-ZABD=54°,

故選：C.

【點睛】本題考查圓周角定理.注意掌握直徑所對的圓周角是直角以及在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角

相等，并結合數(shù)形結合思想進行應用.

5.已知二次函數(shù)y=（x—2＞+l,若點A（0,X）和B（3,%）在此函數(shù)圖象上，則必與力的大小關系是（）

A.x＞必B.y＜必C.y=y2D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】將點A(0,%)和點B(3,%)代入拋物線求出其、為即可判斷大小.

【詳解】根據(jù)題意，將點A(0,必)和點B(3,%)代入拋物線，得：

y=(0-2>+1=5,%=(3-2>+1=2,

所以M

故選：A.

【點睛】本題考查求二次函數(shù)的值，明確二次函數(shù)圖象上的點的坐標滿足其解析式是解題關鍵.

6.小英家在學校的北偏東40度的位置上，那么學校在小英家的方向是()

A.南偏東40度B.南偏西40度C.北偏東50度D.北偏西50度

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出圖象，由方位角的表示方法得出結果.

【詳解】解：如圖,

北

小英家在學校的北偏東40度的位置上，則學校在小英家的南偏西40度的位置上.

故選:B.

【點睛】本題考查方位角，解題的關鍵是掌握方位角的表示方法.

7.如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，貝Utan/ACB的值為()

3

A.-B.-

35

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意連接BD可知NADB=90°,進而利用勾股定理得出BD和CD,最后即可得出tan/ACB的值.

【詳解】解：如圖，連接BD,

根據(jù)圖象可知ZADB=45°+45°=90。，

則有BD=Vl2+12=叵,CD=A/22+22=2V2，

所以tanNACB=g2=9=L.

CD2V22

故選：D.

【點睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，注意掌握在直角三角形中，一銳角的正切等于它的對

邊與鄰邊的比值.

8.如圖，點M坐標為（0,2）,點A坐標為（2,0）,以點M為圓心，MA為半徑作。M,與x軸的另一個交點

為B,點C是。M上的一個動點，連接BC,AC,點D是AC的中點，連接OD,當線段OD取得最大值時，點D

的坐標為（）

C.(2,2)D.(2,4)

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質得到當BC為直徑（過圓心M）時，0D最大；然后延長BC與圓交于Ci點,

連接AG；再由圓周角定理可得/BAG=90。，然后由垂徑定理得到AB=4、勾股定理可得BM=2應即BC尸

4亞、ACi=4,最后求出線段AG的中點坐標即可.

【詳解】解：如圖：???點。是AB的中點，點D是AC的中點

；.OD//BC且OD」BC

2

.?.BC最大時，即當BC為直徑（過圓心M）時，0D最

如圖：延長BC與圓交于Ci點，連接AG,

：BCi是直徑

NBACi=90°

V0B=0M=0A=2

??.AB=2OA=4,點Ci的橫坐標為2,BM=&+22=20，即BC=4&

/?ACI=^4>/2j—4~=4

.??點Ci的坐標為（2,4）

的中點D”A（2,0）

的坐標為（2,2）.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形的中位線、勾股定理、線段的中點等知

識，將求線段OD最大時D的坐標轉換成求BC最大時點D的坐標是解答本題的關鍵.

二、填空題（共8道小題，每小題3分，共24分）

9.請寫出一個開口向上且過點（0,-2）的拋物線表達式為一.

【答案】y=x2-2

【解析】

【分析】令拋物線的對稱軸為V軸，二次項系數(shù)為1，則拋物線的解析式可設為y=/+m,然后把已知點的坐標

代入求出加即可.

【詳解】解：設拋物線的解析式為y=/+根，

把(0,—2)代入得能=-2,

所以滿足條件的拋物線解析式為y=V-2.

故答案為：y=x2-2(答案不唯一)

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關鍵是在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根

據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解.

10?點A(2,%),8(3,%)是反比例函數(shù)y=-9圖象上的兩點，那么必，力的大小關系是X(填

x

”〉,,,或

【答案】＜

【解析】

【分析】由題意根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，把A點和B點坐標代入反比例函數(shù)解析式可計算出y”yz,

從而即可判斷它們的大小.

【詳解】解：42，X),8(3,%)是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點，

X

.66

..乂=-5=-3,yz---=-2,

y＜%?

故答案為：＜.

k

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，注意掌握反比例函數(shù)＞=一(k為常數(shù)，k翔)的圖象是雙曲

X

線，圖象上的點(X,y)的橫縱坐標的積是定值k,即xy=k；雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于

原點對稱.

11.如圖，正六邊形ABCDEF內接于(DO,G)O的半徑為6,則的長為.

【答案】27t

【解析】

【分析】根據(jù)圓內接正六邊形的性質得到NAOB=60。，再利用弧長公式計算即可.

【詳解】如圖連接OA、OB,

:正六邊形ABCDEF內接于。O,

.".ZAOB=60°,

?'?AB的長為與W=&

故答案為：2?.

【點睛】此題考查圓內接正六邊形的性質，弧長的計算公式，熟記圓內接正六邊形的性質是解題的關鍵.

12.如圖，平行四邊形ABCD中，延長AD至點E,使DE=^AD,連接BE,交CD于點F,若ADEF的面積為

2

2,則4CBF的面積為.

ADE

BC

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到△CBFS/\DEF,根據(jù)相似三角形的性質即可求解.

【詳解】：四邊形ABCD是平行四邊形，

/?BC//AE,BC=AD

/.△CBF^ADEF

DE=—AD

2

ADE--BC

2

.?.△CBF與△DEF的相似比為2：1

..?△DEF面積為2

.?.△CBF為22x2=8

故答案為：8.

【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，解題的關鍵是熟知相似三角形的面積比等于

相似比的平方.

13.如圖，AB是。。的直徑，弦CDJ_AB,垂足為點E,CD=16,BE=4,則CE=。。的半徑為.

【答案】①.8(2).10

【解析】

【分析】(1)直接由垂徑定理可得結果

(2)連結OC,設。O半徑為r,則OE=r-2,在RtAOCE中，利用勾股定理列出關于r等式，求出r即可.

【詳解】(1)：AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為點E,CD=16

由垂徑定理可得，CE=—=—=8

22

故答案為：8

(2)連結OC,設。O半徑為r,則OC=r,OE=r-4,

弦CD_LAB

/.AOCE是RIAOCE

.,.OE2+CE2=OC2,

A(r-4)2+82=r2,解得r=10,

即。O半徑為10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的綜合應用.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的

兩條弧.

14.如圖，。。是△ABC的內切圓，切點分別為D,E,F,已知/A=40。，連接OB,OC,DE,EF,則/BOC=

°,ZDEF=°,

【答案】①.110?.70

【解析】

【分析】①根據(jù)三角形內角和定理求出/ABC+NACB的度數(shù)，進而得到NOBC='/ABC,ZOCB=-ZACB,

22

求出/OBC+/OCB,根據(jù)三角形內角和定理即可求出/BOC；②連接連接OD,OF,根據(jù)切線的性質得到

/ODA=/OFA=90°,根據(jù)四邊形內角和等于360°求出/DOF,根據(jù)圓周角定理即可得到NDEF.

【詳解】???NA=4()°,

.,.ZABC+ZACB=140°.

：0是4ABC的內切圓，

.".ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

/.ZOBC+ZOCB=70°,

.?./BOC=180°-70°=110°,

如圖，連接OD,OF,

；AB、AC分別切(DO于D、F點，

.?./ODA=/OFA=90。，

.".ZA+ZDOF=180°.

...NDOF=14()°,

/./DEF=-ZDOF=70°.

2

故答案為：110;70.

【點睛】本題考察三角形內切圓、內心、圓周角定理和切線的性質，掌握三角形的內心是三角形三條角平分線的交

點和圓周角定理是解題的關鍵.

15.二次函數(shù)y=ax?+bx+c圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應值如下表：

X012m

21

y04664

6

則這個二次函數(shù)的對稱軸為直線x=,m=(m>0).

【答案】①②.4

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意把點(0,6)代入求出c,再把點(-1,4)和(1,6)代入求出a、b,進而分析計算即可求出答

案.

【詳解】解：由表得，拋物線y=ax?+bx+c(a翔)過點(0,6),

；.c=6,

；拋物線y=ax?+bx+6過點(-1,4)和(1,6),

a-b+6=4fa=-l

???〈解得：1,,，

。+8+6=616=1

...二次函數(shù)的表達式為：y=-x?+x+6；

,拋物線y=ax?+bx+c(a/0)過點(0,6)和(1,6),

二拋物線的對稱軸方程為直線x=!,

當x=m時、y=-6,代入y=-x2+x+6,貝I]有-6=-m2+m+6,

解得：m=-3或m=4,

Vm>0,

m=4,

故答案為：—,4.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握并用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應用，能求出二次函數(shù)的解

析式是解答此題的關鍵.

16.拋物線了=一/+2%+相交*軸于點八(a,0)和B(b,0)(點A在點B左側)，拋物線的頂點為D,下列

四個結論：①拋物線過點(2,m)；②當m=0時，△ABD是等腰直角三角形；③a+b=4；④拋物線上有兩點P

(x},X)和QC/,為)，若*]<々，且為+>2>2,則其中結論正確的序號是

【答案】①②④

【解析】

【分析】①根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標及對稱性即可判斷；

②當m=0時，可得拋物線與x軸的兩個交點坐標和對稱軸即可判斷；

③根據(jù)拋物線與x軸的一個交點坐標和對稱軸即可得另一個交點坐標即可判斷;

④根據(jù)二次函數(shù)圖象即可進行判斷.

【詳解】解：①?.?拋物線與y軸的交點坐標為(0,m),

2

?,對稱軸為x=——=1

-2

，（0,m）關于對稱軸的對稱點為（2,m）,在拋物線上

故①正確；

②當m=0時，拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為（0,0）、（2,0）,

對稱軸x=l,

.?.△ABD是等腰直角三角形，

故②正確；

③：對稱軸x=l,

.?3=1

2

Aa+b=2,

故③錯誤；

④觀察二次函數(shù)圖象可知：

當X1<X2,且X|+X2>2,

則X］離對稱軸比X2離對稱軸更近，故yi>y2.

故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與X軸的交點、等腰直角

三角形，解決本題的關鍵是綜合利用以上知識.

三、解答題（共4道小題，每小題5分，共20分）

17.計算：43tan60°+cos2450-sin300.

【答案】3

【解析】

【分析】先求出各特殊角的三角函數(shù)值，在進行混合運算即可.

【詳解】V3tan60°+cos2450-sin300.

=3

【點睛】本題考查不同特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關鍵.

18.如圖，AC平分/BAD,ZB=ZACD.

（1）求證：△ABC^AACD；

（2）若AB=2,AC=3,求AD的長.

9

【答案】（1）證明見解析；（2）

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質可知NBAC=NCAD,再根據(jù)題意NB=NACD,即可證明△ABCs^ACD.

An

（2）利用三角形相似的性質，可知——=—，再根據(jù)題意AB和AC的長，即可求出AD.

ABAC

【詳解】（1）：AC分/BAD,

；.NBAC=/CAD,

ZB=ZACD,

...△ABC^AACD.

（2）VAABC^AACD,

.ACAD

..=，

ABAC

VAB=2,AC=3,

.9

.?.AD=—.

2

【點睛】本題考查角平分線的性質、三角形相似的判定和性質.掌握三角形相似的判定條件是解答本題的關鍵.

19.己知二次函數(shù)y=-2X-3.

（1）寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐標，再描點畫圖；

（2）結合函數(shù)圖象，直接寫出》＜（）時x的取值范圍.

4

3

2

1234*x

【答案】（1）頂點為（1,-4）；對稱軸為x=l；作圖見解析；（2）-1<尤<3

【解析】

【分析】（1）由題意先將二次函數(shù)一般式通過配方法化為頂點式進而即可得出二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐

標，再描點畫圖即可；

（2）由題意直接觀察圖象，即找出位于x軸下方時對應的自變量的取值范圍即可.

【詳解】解：（1）???y=x2-2x-3=（x—l）2—4,

頂點為（1,-4）,

對稱軸為x=l,

列表得：

X-10123

y0-3-4-30

描點、連線得到y(tǒng)=f—2》一3的圖象，如圖所示：

（2）由圖象可知，當yVO時，就是圖象位于x軸下方的所對應的自變量的取值范圍，

即：當-lVx<3時，y<0.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，列表、描點、連線是畫函數(shù)圖象的基本方法，同時也可利用對稱性,

二次函數(shù)的圖象.

20.下面是小東設計的“過圓外一點作這個圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：OO及。O外一點P.

求作：直線PA和直線PB,使PA切。O于點A,PB切。O于點B.

作法：如圖，

①作射線PO,與。o交于點M和點N；

②以點P為圓心，以PO為半徑作。P;

③以點。為圓心，以。0的直徑MN為半徑作圓，與。P交于點E和點F,連接OE和OF,分別與。。交于點A和

點B；

④作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接PE和PF,

VOE=MN,OA=OM=—MN,

2

.?.點A是0E的中點.

VPO=PE,

.?.PALOA于點A（）（填推理的依據(jù)）.

同理PB_LOB于點B.

VOA,OB為。。的半徑，

.?.PA,PB是。O的切線.（）（填推理的依據(jù)）.

【答案】（1）答案見解析；（2）三線合一；經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線的定義，線段的定義，圓的定義作圖即可；

⑵連接PE和PF,根據(jù)OE=MN,OA=OM=；MN,得到點A是0E的中點，利用PO=PE,證得PAJ_OA于點

A,同理PBLOB于點B,即可得到結論.

【詳解】（1）補全圖形如圖：

VOE=MN,OA=OM=—MN,

2

.??點A是OE的中點，

VPO=PE,

，PA1_OA于點A（三線合一）.

同理PBLOB于點B,

VOA,OB為。O的半徑，

.?.PA,PB是。O的切線.（經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

故答案為：三線合一；經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【點睛】此題考查尺規(guī)作圖-圓，根據(jù)語句描述畫射線，等腰三角形的三線合一的性質，圓的切線的判定定理，正

確理解語句作出圖形，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

四、解答題（共2道小題，21題5分，22題6分，共11分）

21.某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行社會實踐活動時，想利用所學的解直角三角形的知識測昌平中心公園的仿

古建筑“弘文閣”AB的高度.他們先在點C處用高1.5米的測角儀CE測得“弘文閣”頂A的仰角為30°,然后向“弘文

閣''的方向前進18m到達D處，在點D處測得“弘文閣”頂A的仰角為50。.求“弘文閣”AB的高（結果精確到

0.1m,參考數(shù)據(jù)：,tan50°W.19,tan400~0.84,73?1.73）.

【答案】21.7m

【解析】

【分析】根據(jù)題意得至UGB=DF=CE=1.5m,ZAEG=30°,FE=18m,由三角形內角和得出NGAE=60。，

ZGAF=40°,在RtAAGE中，GE=tan60°AG,在RsAFG中，GF=tan40°AG,由EF=EG-GF=18,代入求出AG的

值，由AB=AG+GB即可求出AB的值.

【詳解】解：由題可知：GB=DF=CE=1.5,ZAEG=30°,FE=18m,ZAFG=50°.

AZGAE=60°,NGAF=40°

；在Rt/XAGE中，NGAE=60°

tan/GAE=-----

AG

GE=tan60°AG

；在Rt^AFG中，NGAF=40。

GF

tanZGAF=-----

AG

GF=tan40°AG

EF=EG-GF,EF=18m

tan60°AG—tan40°AG=18,

1.73AG-0.84AG=18,

0.98AG=18,

AG=20.2m.

AB=AG+GB-20.2+1.5=21.7m.

答：“弘文閣”AB高約217m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形

利用三角函數(shù)解直角三角形.

22.如圖，AB為。O的直徑，點C,D是。O上的點，AD平分NBAC,過點D作AC的垂線，垂足為點E.

(1)求證：DE是。O的切線；

3

(2)延長AB交ED的延長線于點F,若。0半徑的長為3,tanNAFE=一,求CE的長.

4

【答案】⑴證明見解析；⑵I

【解析】

【分析】(1)證明：連接OD,利用AD平分NBAC推出Nl=/2,由OA=OD推出Nl=/3,由此得到

OD〃AE,利用ACLDE,得至ljOD_LDE,即可得到結論；

(2)連接BC,交OD于點M,證明四邊形CEDM是矩形，推出CE=MD,CM〃DE,得到ZF=ZABC,設

996

OM=3x,BM=4x,利用勾股定理求出OM=g,得到CE=MD=3-《=丁

【詳解】(1)證明：連接OD,

：AD平分NBAC,

.*.Z1=Z2,

VOA=OD,

.".Z1=Z3,

N3=N2,

；.OD〃AE,

VACIDE,

AODIDE,

：OD是。O半徑，

，OD是。O的切線；

(2)連接BC,交OD于點M,

?；AB是0O的直徑，

:.ZACB=90°,

VZE=ZODE=90°,

???ZACB=ZE=ZODE=90°

???四邊形CEDM是矩形，

ACE=MD,CM〃DE,

AZF=ZABC,

3

在RSOBM中，OB=3,tanZABC=-,

4

設OM=3x,BM=4x,

???(3x)2+(4x)2=32,

3

解得x=-,

9

?,.OM二一，

5

.96

??CE=MD=3--=—.

55

【點睛】此題考查角平分線的性質，證明直線是圓的切線，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，矩形的判定及

性質，熟練掌握各知識點并應用解決問題是解題的關鍵.

五、解答題（共3道小題，每小題7分，共21分）

23.在平面直角坐標系中，拋物線丁=0^+陵+3與丁軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度，得到點

B,點B在拋物線上.

（1）①直接寫出拋物線的對稱軸是:

②用含a的代數(shù)式表示b；

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.若拋物線與x軸交于P、Q兩點，該拋物線在P、Q之間的部分與線段

PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個整點，結合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

2

【答案】（1）①x=l；②b=-2a；（2）-l<a<一一或10<aWll

3

【解析】

h

【分析】（1）①根據(jù)拋物線的對稱性可以直接得出其對稱軸；②利用對稱軸公式x=-一進一步求解即可；

2a

（2）如圖，分兩種情況：①a>0,②a<0,據(jù)此依次討論即可.

【詳解】解：⑴①???拋物線y=++區(qū)+3與）'軸交于點A,

/.A(0,3),

???將點A向右平移2個單位長度，得到點B,

AB(2,3),

???點A和點B關于對稱軸對稱，

??對稱軸是：x=l；

②對稱軸為直線X=---=1

2a

/.b=-2a；

(2)由題可知：A(0,3),B(2,3),

①若a>0時，如圖1所示，有七個整點，

當x=l時，y=a+b+3=a-2a+3=-a+3,

:恰有7個整數(shù)點(不包括邊界)，

-8g?a+3V-7j

A10<a<ll；

②若aVO時，如圖2所示，有七個整點,

當x=-l時，y=a-b+3=3a+3,

當x=l時，y=-a+3,

??,恰有7個整數(shù)點(不包括邊界)，

3。+341

：.<,

一。+3(4

,2

??-10W—.

3

2

綜上所述，-1Wag或lOVa/ll.

3

【點睛】本題主要考查了拋物線的性質和一元一次不等式組的綜合運用，屬于綜合題型，熟練二次函數(shù)的性質、靈

活應用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解題關鍵.

24.在△ABC中，AB=AC,/BAC=9O。，點D是線段BC上的動點（BD>CD）,作射線AD,點B關于射線AD

的對稱點為E,作直線CE,交射線AD于點F.連接AE,BF.

（1）依題意補全圖形，直接寫出/AFE的度數(shù)；

（2）用等式表示線段AF,CF,BF之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）作圖見解析；45。；（2）CF+BF=0AF,證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)軸對稱即可補全圖形，延長FB至點M使MB=CF,通過△ABA/g/XACE,進而證得4MAF

是等腰直角三角形，問題即可解決；

（2）由（1）知AMAF是等腰直角三角形及CF=BF,再根據(jù)勾股定理問題即可解決；

【詳解】（1）補全圖形，如圖所示：

A

ZAFE=45°

理由如下：

延長FB至點M使MB=CF,

?.?點B、E關于AF對稱，