數(shù)學建模實習報告2

第頁西北農林科技大學實驗報告學院名稱：理學院 專業(yè)年級：2011級信計1班姓名：xxx 學號：xxx課程：數(shù)學模型與數(shù)學建模 報告日期：2013年11月16日1實驗題目：非線性規(guī)劃問題2實驗問題陳述：（1）鋼材截短有一批鋼材，每根長7.3m?，F(xiàn)需做100套短鋼材，每套包括長2.9m，2.1m，1.5m的各一根。至少用掉多少根鋼材才能滿足需要，并使得用料最??？（2）搶渡長江2002年5月1日，搶渡的起點設在武昌漢陽門碼頭，終點設在漢陽南岸咀，漢江寬約H=1160m。據(jù)報載，當日江水的平均流速為v=1.89m/s。從武昌漢陽門的正對岸到漢陽南岸咀的距離為L=1000m，如下圖所示。通過數(shù)學建模來分析上述情況，并回答以下問題：①假定在競渡過程中游泳者的速度大小和方向不變，且競渡區(qū)域每秒的流速均為1.89m/s。如果游泳者始終以和岸邊垂直的方向游，他（她）們能否到達終點？②若流速沿離岸邊距離的分布如下（設從武昌漢陽門垂直向上為y軸正向），游泳者的速度大?。?.5m/s）仍全程保持不變，試為他選擇游泳方向和路線，估計他的成績。③若流速沿離岸邊距離為連續(xù)分布，例如：或你們認為合適的連續(xù)分布，如何處理這個問題。3實驗目的:學會使用軟件來求解非線性規(guī)劃問題。4實驗內容:第（1）題eq\o\ac(○,1)問題分析：要做到截鋼材使得用料最省，首先設計截法，并計算相應的余料。第1種截法7.3-（2.9*2+1.5）=0第2種截法7.3-（2.9+2.1*2）=0.2第3種截法7.3-（2.9+1.5*2）=1.4第4種截法7.3-（2.9+2.1+1.5）=0.8第5種截法7.3-（2.1*2+1.5*2）=0.1第6種截法7.3-（2.1*3）=1第7種截法7.3-（2.1+1.5*3）=0.7第8種截法7.3-（1.5*4）=1.3現(xiàn)在決定取這八種中的哪幾種方法，每種方法截幾根？所做的決策用整數(shù)表示就比較簡單，相對一種截法的決策變量為零，即不采取這種截法，否則就按整數(shù)值截若干根鋼材。eq\o\ac(○,2)模型建立：假設安排n種不同的短鋼材截法。用i=1，2，3分別表示長度為2.9，2.1，1.5的短鋼材。記為第j種方法能夠裁出的第i型鋼材的數(shù)量，為按第j種裁法用掉的鋼材數(shù)量，就有如下模型：決策變量：，，i=1,2,3,j=1,…,n.目標函數(shù)：按各種截法用掉的鋼材總根數(shù)求截斷鋼材方案（），（）約束條件第i型鋼材的數(shù)量：原鋼材長度的限制：，，，整數(shù)約束：，為整數(shù)，使得目標函數(shù)最小。由于約束條件中有一個非線性的不等式，它實際上是非線性規(guī)劃的問題，可以用Lingo來求解，但編程之前還要確定n的變化范圍，由于我們事先不知道共有多少種不同的解法，擔心丟掉最優(yōu)的截法，可以將n取得很大，這樣不僅增加計算時間，還有可能超出Lingo的計算能力，考慮到問題的實際背景，如果最優(yōu)方案包括很多不同的截法，也能夠計算求解，但在實際操作中也會因為生產工序過于復雜，不被采用，根據(jù)這個先驗知識，我們將j的變化范圍確定在n=5左右。第（2）題按照第一問所給假設，每點的流速均為v=1.89m/s游泳者的速度u不變游泳者的方向不變，向上游與垂直對岸的直線成a角根據(jù)路程，速度和時間T的關系得到方程式：H/(ucosa)=T=L/(v-usina)當a=0時，得u=2.19m/s。因為世界紀錄男子1500m自由泳是14min41s，約為1.7m/s。所以游泳始終已和岸邊垂直的方向游，不可能到達終點。游泳方向必須指向上游才可能到達終點。第二問要求為游泳者選擇方向和路線，就構成一個最優(yōu)化問題，需要做的決策是根據(jù)不同的江水流速來調整游泳方向，以最短的時間游到終點。變量表示1.江水只有兩個不同的流速vi2.游泳者只要采取相應的兩個不同的游泳方向ai3.游過相應的江面段Hi，同時在這段時間向下游游過Li，i=1,2u=1.5，v1=1.47，v2=2.11，H1=400,H2=760,L1+L2=1000，Li=ti（vi-usinai），Hi=tiucosai決策變量：游泳方向a1和a2目標函數(shù)：游完全程的時間：T=t1+t2約束條件：路程，時間和速度的關系t1*1.5*cos(x1)=400;t2*1.5*cos(x2)=760;t1*(1.47-1.5*sin(x1))+t2*(2.11-1.5*sin(x2))=1000;利用lingo簡單命令求解，綜合用時為904s，約為15min，與實際情況符合。第三問設想將靠近岸邊200m江面分成有限段（40段），假設在每一段上江水的流速不變，這樣我們可以求得近似的最優(yōu)解，只要分段足夠細，近似解就逼近真解。決策變量：游泳方向X0，Xi，i=1,2，…40目標函數(shù)：游完全程的時間T=t0+t1+···+t40，約束條件：路程，時間和速度的關系： 由上面的約束條件可知這是一個非線性規(guī)劃問題，我們利用Lingo命令求解,可以得到游完全程的總時間為876s. 5實驗結果分析與討論第(1)題Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:90.00000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:4VariableValueReducedCostX140.000000.000000X220.000000.000000X30.0000000.2000000X40.0000000.1000000X530.000000.000000X60.0000000.1000000X70.0000000.1000000X80.0000000.2000000RowSlackorSurplusDualPrice190.00000-1.00000020.000000-0.400000030.000000-0.300000040.000000-0.2000000可知最優(yōu)值為90，第一種截法40根，第二種截法20根，第五種截法30根。第(2)題第eq\o\ac(○,2)問Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:904.0228Infeasibilities:0.1648459E-09Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:142VariableValueReducedCostT1329.85280.000000T2574.17000.000000X1968.23980.000000X20.4897866-0.2834554E-08RowSlackorSurplusDualPrice1904.0228-1.00000020.000000-1.27355330.000000-1.73920740.0000000.9271960解得綜合時間為904s第eq\o\ac(○,3)問Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:438.1546Infeasibilities:0.5684342E-13Totalsolveriterations:52VariableValueReducedCostT0272.55260.000000X00.37778410.000000T(1)6.1364180.000000T(2)5.7336070.000000T(3)5.4281200.000000T(4)5.1878020.000000T(5)4.9934900.000000T(6)4.8329830.000000T(7)4.6981090.000000T(8)4.5831720.000000T(9)4.4840650.000000T(10)4.3977510.000000T(11)4.3219300.000000T(12)4.2548250.000000T(13)4.1950440.000000T(14)4.1414760.000000T(15)4.0932240.000000T(16)4.0495570.000000T(17)4.0098710.000000T(18)3.9736640.000000T(19)3.9405160.000000T(20)3.9100690.000000T(21)3.8820200.000000T(22)3.8561080.000000T(23)3.8321110.000000T(24)3.8098330.000000T(25)3.7891060.000000T(26)3.7697810.000000T(27)3.7517290.000000T(28)3.7348350.000000T(29)3.7189980.000000T(30)3.7041260.000000T(31)3.6901400.000000T(32)3.6769680.000000T(33)3.6645450.000000T(34)3.6528140.000000T(35)3.6417210.000000T(36)3.6312200.000000T(37)3.6212680.000000T(38)3.6118250.000000T(39)3.6028570.000000T(40)3.594331-0.4146412E-07X(1)0.99654650.4212872E-07X(2)0.95038780.3920201E-07X(3)0.90956880.000000X(4)0.87299710.1616885E-07X(5)0.83990190.1354714E-07X(6)0.80971450.1011767E-07X(7)0.78200040.7090737E-08X(8)0.75641900.4430658E-08X(9)0.73269700.000000X(10)0.71061140.000000X(11)0.6899773-0.2834914E-08X(12)0.6706398-0.5091426E-08X(13)0.6524671-0.6997133E-08X(14)0.6353467-0.8170556E-08X(15)0.6191811-0.8091822E-08X(16)0.6038857-0.6164547E-08X(17)0.58938630.000000X(18)0.57561760.5232465E-08X(19)0.56252170.1495694E-07X(20)0.55004700.2669586E-07X(21)0.53814760.3903051E-07X(22)0.52678210.5000446E-07X(23)0.51591320.5728412E-07X(24)0.50550730.5865545E-07X(25)0.49553390.5264059E-07X(26)0.48596520.3912522E-07X(27)0.47677590.1980209E-07X(28)0.46794280.000000X(29)0.4594447-0.2080465E-07X(30)0.4512621-0.3228516E-07X(31)0.4433771-0.3282715E-07X(32)0.4357730-0.2231222E-07X(33)0.42843470.1671883E-07X(34)0.42134780.8242451E-08X(35)0.41449920.4031528E-07X(36)0.4078768-0.1623178E-07X(37)0.4014691-0.3936424E-07X(38)0.3952655-0.1785696E-07X(39)0.38925630.4105585E-07X(40)0.38343200.000000RowSlackorSurplusDualPrice1438.1546-1.00000020.000000-0.362136730.000000-0.399944040.000000-0.435513850.000000-0.469355060.000000-0.501817570.000000-0.533153280.000000-0.563550090.000000-0.5931524100.000000-0.6220737110.000000-0.6504048120.000000-0.6782197130.000000-0.7055794140.000000-0.7325350150.000000-0.7591295160.000000-0.7853995170.000000-0.8113766180.000000-0.8370881190.000000-0.8625577200.000000-0.8878062210.000000-0.9128520220.000000-0.9377113230.000000-0.9623985240.000000-0.9869267250.000000-1.011307260.000000-1.035551270.000000-1.059667280.000000-1.083663290.000000-1.107548300.000000-1.13132931