湖南省永州市雙牌縣第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

湖南省永州市雙牌縣第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知M為雙曲線的右支上一點(diǎn)，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，線段FA的垂直平分線過點(diǎn)M，，則雙曲線C的離心率為(

)．A. B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】設(shè)雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為，線段的垂直平分線過點(diǎn)，，由此可以判斷是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，這樣利用雙曲線的定義可以求出的大小，在中，利用余弦定理可以列出等式，最后可以求出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為，如下圖所示：

因?yàn)榫€段的垂直平分線過點(diǎn)，，所以是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，為雙曲線的右支上一點(diǎn)，所以有，在中，由余弦定理可得：，即，解得，即，雙曲線的離心率為4，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義、離心率，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.2.設(shè)全集，集合，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.曲線在處的切線方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A4.sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】首先利用誘導(dǎo)公式，化為同角的三角函數(shù)，然后逆用兩角和與差的正弦函數(shù)公式求值．【解答】解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的三角函數(shù)公式的運(yùn)用；熟悉公式的特點(diǎn)，熟練運(yùn)用．5.已知函數(shù)f（x）=設(shè)m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），則m?f（m）的最小值為（）A．4 B．2 C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】做出f（x）的圖象，根據(jù)圖象判斷m的范圍，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取等號(hào)．故選：D．6.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的兩個(gè)函數(shù)圖像圖1所示，則這兩個(gè)函數(shù)為（

）A、和

B、和

C、和

D、和參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與圖像；B6，B7【答案解析】D解析：解:由指數(shù)函數(shù)的概念與對(duì)數(shù)函數(shù)的概念可知兩個(gè)函數(shù)的圖像應(yīng)該為和所以D選項(xiàng)正確【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可以直接找到正確結(jié)果.7.某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，要求每位同學(xué)僅報(bào)一科，每科至少有一位同學(xué)參加，且甲、乙不能參加同一學(xué)科，則不同的安排方法有（）A．36種B．30種C．24種D．6種參考答案：B考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．專題：排列組合．分析：先不考慮學(xué)生甲，乙不能同時(shí)參加同一學(xué)科競(jìng)賽，從4人中選出兩個(gè)人作為一個(gè)元素，同其他兩個(gè)元素在三個(gè)位置上排列，其中有不符合條件的，即甲乙兩人在同一位置，去掉即可．解答：解：從4人中選出兩個(gè)人作為一個(gè)元素有C42種方法，同其他兩個(gè)元素在三個(gè)位置上排列C42A33=36，其中有不符合條件的，即學(xué)生甲，乙同時(shí)參加同一學(xué)科競(jìng)賽有A33種結(jié)果，∴不同的參賽方案共有36﹣6=30，故選：B點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的排列計(jì)數(shù)問題，有時(shí)要先整體再部分，有時(shí)排列組合和分步計(jì)數(shù)原理，分類計(jì)數(shù)原理一起出現(xiàn)，有時(shí)分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決，即類中有步，步中有類．8.已知函數(shù)，若存在，且，使成立，則以下對(duì)實(shí)數(shù)、的描述正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.某校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)依次有600、500、400名同學(xué)，用分層抽樣的方法從該校抽取取名同學(xué)，其中高一的同學(xué)有30名，則A.65 B.75 C.50 D.150參考答案：【答案解析】B

由題意得：，解得n=75．故選：B．10.函數(shù)y＝xln(－x)與y＝xlnx的圖象關(guān)于()A．直線y＝x對(duì)稱

B．x軸對(duì)稱C．y軸對(duì)稱

D．原點(diǎn)對(duì)稱參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，為切點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為

.

參考答案：略12.扇形的周長(zhǎng)為8cm，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為__*___參考答案：4cm2略13.若a>b>c且a+b+c=0，則：①>，②>bc，③bc<,④的取值范圍是：(,1)，⑤的取值范圍是：（-2，）。上述結(jié)論中正確的是_____________.參考答案：①③④⑤略14.已知集合,則等于(

)A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}參考答案：B略15.直線的位置關(guān)系為----------參考答案：-相交或相切略16.已知偶函數(shù)f（x）滿足，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若區(qū)間[﹣1，3]上，函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx﹣k有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（，）【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【分析】由題意，偶函數(shù)f（x）滿足求出函數(shù)f（x）的周期，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，那么根據(jù)周期求再區(qū)間[﹣1，3]上的各解析式．函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx﹣k是一個(gè)一次函數(shù)，有3個(gè)零點(diǎn)只能與每一個(gè)解析式都有一個(gè)交點(diǎn)．從而求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 【解答】解：由題意：，可得f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的函數(shù)； 當(dāng)x在[0，1]，f（x）=x，由于f（x）是偶函數(shù)，∴x在[﹣1，0]時(shí)，f（x）=﹣x； f（x）是周期為2的函數(shù)，f（2）=f（0）=0，x在[1，2]時(shí)，函數(shù)解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]時(shí)，函數(shù)解析式：y=x﹣2 函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx﹣k是一個(gè)一次函數(shù)，看成是f（x）與h（x） h（x）=kx+k=k（x+1）圖象恒過（﹣1，0）， 從圖象上可以看出：直線過h（x）=k（x+1）過坐標(biāo)（3，1）時(shí)，與f（x）有4個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)斜率k=． 直線過h（x）=k（x+1）過坐標(biāo)（1，1）時(shí)，與f（x）有2個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)斜率k=． 不難看出：k在時(shí)，f（x）與h（x）有3個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）﹣kx﹣k有3個(gè)零點(diǎn)． 故答案為（）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的周期和分段函數(shù)的圖象，直線恒過點(diǎn)及斜率的問題．通過數(shù)形結(jié)合，作出圖象，可以看出斜率的范圍．綜合性強(qiáng)，屬于難題． 17.已知函數(shù)，若，則___．參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.20．二次函數(shù)滿足，且.(1）求的解析式；(2）在區(qū)間上，圖象恒在直線上方，試確定實(shí)數(shù)取值范圍.參考答案：（1）由，可設(shè)

故

由題意得，，解得；故(2）由題意得，

即

對(duì)恒成立設(shè)，則問題可轉(zhuǎn)化為又在上遞減，故，故

19.如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．⑴求證：；⑵確定點(diǎn)在線段上的位置，使//平面，并說明理由．⑶當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求與底面所成角的正切值．參考答案：⑴∵面，四邊形是正方形，其對(duì)角線，交于點(diǎn)，∴，．∴平面，∵平面，∴

⑵當(dāng)為中點(diǎn)，即時(shí)，平面，理由如下：連結(jié)，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，知，而平面，平面，故平面．⑶作于，連結(jié)，∵面，四邊形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，∴是二面角的平面角，即，另解：以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，，，，，．⑴，，∴⑵要使平面，只需，而，由可得，解得，，∴，∴故當(dāng)時(shí)，平面設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，而，，∴，取，得，同理可得平面的一個(gè)法向量設(shè)所成的角為，則，即，∴，∴

∵面，∴就是與底面所成的角，∴．20.（本小題滿分14分）在數(shù)列與中，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,為與的等比中項(xiàng)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)．證明．參考答案：【解】本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分14分（Ⅰ）解：由題設(shè)有，，解得．由題設(shè)又有，，解得．（Ⅱ）解法一：由題設(shè)，，，及，，進(jìn)一步可得，，，，猜想，，．先證，．當(dāng)時(shí)，，等式成立．當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即，．由題設(shè)，①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而．這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的成立．綜上所述，等式對(duì)任何的都成立．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，．（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么．這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的都成立．解法二：由題設(shè)①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以，，……，．將以上各式左右兩端分別相乘，得，由（Ⅰ）并化簡(jiǎn)得，．止式對(duì)也成立．由題設(shè)有，所以，即，．令，則，即．由得，．所以，即，．解法三：由題設(shè)有，，所以，，……，．將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡(jiǎn)得，．由（Ⅰ），上式對(duì)也成立．所以，．上式對(duì)時(shí)也成立．以下同解法二，可得，．（Ⅲ）證明：．當(dāng)，時(shí)，．注意到，故．當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，．所以．從而時(shí)，有總之，當(dāng)時(shí)有，即．21.對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，以s(n)表示滿足如下條件的最大正整數(shù)：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k≤s(n)，n2都可以表示成k個(gè)正整數(shù)的平方之和．1．證明：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥4，都有s(n)≤n2－14；2．試找出一個(gè)正整數(shù)n，使得s(n)＝n2－14；3．證明：存在無限多個(gè)正整數(shù)n，使得s(n)＝n2－14．參考答案：解析：用反證法證明如下：假設(shè)對(duì)某個(gè)n≥4，有s(n)≥n2－14，則存在k＝n2－13個(gè)正整數(shù)a1，a2，…，ak，使得于是就有從而3b＋8c＝13這表明c＝0或1；但相應(yīng)的b不為整數(shù)，矛盾．2．每個(gè)大于13的正整數(shù)m可以表為3b＋8c，其中b、c為非負(fù)整數(shù)．事實(shí)上，若m＝3s＋1，則s≥5，m＝3(s－5)＋2×8．若m＝3s＋2，則s≥4，m＝3(s－2)＋8．由即知n2可表為n2－m個(gè)平方和，從而n2可表為n2－14，n2－15，…，對(duì)于n＝13，有n2＝122＋52＝122＋42＋32＝82＋82＋52＋42由于82可表為4個(gè)42的和，42可表為4個(gè)22的和，22可表為4個(gè)12的和，所以132＝82＋82＋52＋42可表為4，7，10，…，43個(gè)平方的和，又由于52＝42＋32，132可表為5，8，11，…，44個(gè)平方的和．由于122可表為4個(gè)62的和，62可表為4個(gè)32的和，所以132＝122＋42＋32可表為3，6，9，…，33個(gè)平方的和．為18＋2×9＝36，18＋2×12＝42個(gè)平方的和．再由42為4個(gè)22的和，132也可表為39個(gè)平方的和．綜