【解析】江蘇省鹽城市東臺市二聯(lián)盟2023-2022學年九年級上學期第一次階段測試數(shù)學試卷

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一、單選題

1．（2023九上·東臺月考）方程的根為（）

A．，B．，

C．，D．，

2．下列說法正確的是（）

A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程

B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程

C．方程x2－2x＝1的常數(shù)項為0

D．一元二次方程中，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都不能為0

3．（2023·安順）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是（）

A．12B．9C．13D．12或9

4．某飼料廠今年一月份生產(chǎn)飼料噸，三月份生產(chǎn)飼料噸，若二月份和三月份這兩個月平均增長率為x，則有（）.

A．B．

C．D．

5．（2023九上·中山期末）如圖，A，B，C是上的三點，，則的度數(shù)為（）

A．100°B．110°C．125°D．130°

6．（2023·思茅模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠A=25°，則∠D等于（）

A．20°B．30°C．40°D．50°

7．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，M是弦AB上的一動點，則線段OM的長的取值范圍是（）

A．B．C．D．

8．如圖，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，線段PQ的中點為M，連接OP，OM．若⊙O的半徑為2，OP=4，則線段OM的最小值是（）

A．0B．1C．2D．3

二、填空題

9．方程的解為

10．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值是

11．一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．

12．已知m，n是方程x2+4x﹣5=0的兩個實數(shù)根，則m﹣mn+n=．

13．（2023九上·賈汪月考）已知一點到圓周上點的最大距離為，最短距離為，則圓的直徑為.

14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，內(nèi)切圓⊙O分別切邊AC、BC于點D、E，則其內(nèi)切圓的半徑r等于．

15．⊙O的半徑為R，點O到直線l的距離為d，R，d是方程x2-4x+m=0的兩根，當直線l與⊙O相切時，m的值為．

16．如圖，在⊙O中，，A、C之間的距離為4，則線段BD＝．

17．（2023·貴港）如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是．

18．如圖，在Rt△ABC中，，，點D在AC邊上運動，將△BCD沿BD對折，點C的對應點是，在點D從C到點A的運動過程中，點運動的路徑長．

三、解答題

19．解方程

（1）

（2）x2-2x-3=0(配方法)

20．如果關(guān)于x的方程有實數(shù)根，試求k的取值范圍

21．（2023九上·孟津月考）服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？

22．已知⊙O的直徑為10，AB、CD是兩條平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之間的距離

23．如圖，⊙O的半徑OC⊥AB，D為上一點，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，EF=3，求直徑AB的長．

24．如圖，是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點，D是弧的中點，交弦于E，若，.

（1）求的長度；

（2）連接，求的長度.

25．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且CF是⊙O的切線．

（1）求證：DE=DC；

（2）若⊙O的半徑為5，OE=1，求DE的長．

26．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”；例如，一元二次方程的兩個根是，則方程是“鄰根方程”．

（1）根據(jù)上述定義，判斷方程（填“是”或“不是”）“鄰根方程”；

（2）已知關(guān)于x的方程是常數(shù)是“鄰根方程”，求m的值；

（3）若關(guān)于x的方程、b是常數(shù)，是“鄰根方程”，令，試求t的最大值．

27．在平面內(nèi)，O為線段AB的中點，所有到點O的距離等于OA的點組成圖形W．取OA的中點C，過點C作CD⊥AB交圖形W于點D，D在直線AB的上方，連接AD，BD．

（1）求∠ABD的度數(shù)；

（2）若點E在線段CA的延長線上，且∠ADE＝∠ABD，求直線DE與圖形W的公共點個數(shù)．

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴或，

，

故答案為：A．

【分析】根據(jù)因式分解法解方程即可.

2．【答案】B

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】解：A.一元二次方程的一般形式規(guī)定a、b、c為常數(shù)且a≠0，故此選項錯誤；

B.(x＋1)(x－1)＝0變形后為x2-1=0，是一元二次方程，故此選項正確；

C.該方程的常數(shù)項是－1，故此選項錯誤；

D.一元二次方程中，二次項系數(shù)不能為0，一次項系數(shù)可以為0，故此選項錯誤；

故答案為：B.

【分析】形如ax2＋bx＋c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的方程，其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項，據(jù)此逐一判斷即可.

3．【答案】A

【知識點】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵，

∴，

即，

①等腰三角形的三邊是2，2，5，

∵2+2＜5，

∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不符合題意；

②等腰三角形的三邊是2，5，5，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，

三角形的周長是2+5+5=12；

即等腰三角形的周長是12．故答案為：A．

【分析】用因式分解法解一元二次方程，求出x的值，然后分兩種情況：①等腰三角形的三邊是2，2，5，②等腰三角形的三邊是2，5，5，再按三角形三邊的關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，最后利用三角形周長的計算方法，算出答案。

4．【答案】C

【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題

【解析】【解答】解：依題意得

500（1+x）2=720．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)一月份生產(chǎn)飼料產(chǎn)量×（1+月平均增長率）2=三月份生產(chǎn)飼料產(chǎn)量列出方程即可.

5．【答案】A

【知識點】圓周角定理

【解析】【解答】解：所對的圓心角為，所對的圓周角為，，

，

故答案為：．

【分析】根據(jù)圓周角的性質(zhì)：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解即可。

6．【答案】C

【知識點】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如右圖所示，連接BC，

∵AB是直徑，

∴∠BCA=90°，

又∵∠A=25°，

∴∠CBA=90°﹣25°=65°，

∵DC是切線，

∴∠BCD=∠A=25°，

∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)已知AB是直徑，直徑所對的圓周角是直角，添加輔助線，連接BC，得出∠BCA=90°，求出∠CBA的度數(shù)，由DC切⊙O于點C，可證得∠BCD=∠A，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，就可以求得∠D的度數(shù)。

7．【答案】B

【知識點】垂線段最短；勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：如圖，連接OA，作OM⊥AB于M，

∵⊙O的直徑為10，

∴半徑為5，

∴OM的最大值為5，

∵OM⊥AB于M，

∴AM=BM，

∵AB=6，

∴AM=3，

在Rt△AOM中，；

此時OM最短，

所以OM長的取值范圍是4≤OM≤5．

故答案為：B．

【分析】連接OA，作OM⊥AB于M，此時OM的長為最小值，OA的長為OM的最大值，據(jù)此即可求解.

8．【答案】B

【知識點】點與圓的位置關(guān)系；三角形的中位線定理

【解析】解答：取OP的中點N，連結(jié)MN，OQ，如圖，

∵M為PQ的中點，

∴MN為△POQ的中位線，

∴MN=OQ=×2=1，

∴點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，

在△OMN中，1＜OM＜3，

當點M在ON上時，OM最小，最小值為1，

∴線段OM的最小值為1．

故答案為：B．

【分析】取OP的中點N，連結(jié)MN，OQ，如圖可判斷MN為△POQ的中位線，則MN=OQ=1，則點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當點M在ON上時，OM最小，最小值為1．

9．【答案】

【知識點】直接開平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴x2=2，

解得，

故答案為：．

【分析】利用直接開平方法解方程即可.

10．【答案】-1

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程

∴

解得：

故答案為：

【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知項的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此解答即可.

11．【答案】4或5

【知識點】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：，

解得x＝3或4；

①當4是直角邊時，斜邊長，所以直角三角形外接圓直徑是5；

②當4是斜邊時，這個直角三角形外接圓的直徑是4．

故答案為：4或5．

【分析】解方程可得x＝3或4，分兩種情況：①當4是直角邊時，②當4是斜邊時，據(jù)此分別解答即可.

12．【答案】-9

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣5=0的兩個實數(shù)根

∴

∴

故答案為：-9

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后整體代入計算即可.

13．【答案】或

【知識點】點與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：當點在圓內(nèi)時，圓的直徑為9+1=10；

當點在圓外時，圓的直徑為9-1=8.

故答案是：10或8.

【分析】此題需要分該點在圓內(nèi)還是圓外兩種情況，：當點在圓內(nèi)時，最大距離與最小距離的和等于直徑；當點在圓外時，最大距離與最小距離的差等于直徑。

14．【答案】2

【知識點】勾股定理；正方形的判定與性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；切線長定理

【解析】【解答】解：如圖，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8；

根據(jù)勾股定理AB==10；

四邊形OECD中，OE=OD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°；

∴四邊形OECD是正方形；

由切線長定理，得：AD=AF，BF=BE，CE=CD；

∴CE=CD=（AC+BC﹣AB）；

即：r=（6+8﹣10）=2．

故答案為2．

【分析】根據(jù)勾股定理AB=10，易證四邊形OECD是正方形，由切線長定理可得AD=AF，BF=BE，CE=CD，從而得出CE=CD=（AC+BC﹣AB），繼而得解.

15．【答案】4

【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】∵d、R是方程x2-4x+m=0的兩個根，且直線l與⊙O相切，

∴d=R，

∴方程有兩個相等的實根，

∴△=16-4m=0，

解得，m=4，

故答案為：4．

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得出方程有且只有一個根，再根據(jù)△=0即可求出m的值．

16．【答案】4

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系

【解析】【解答】解：連接、，如下圖；

∵

∴

∴

即：

∴

又∵

∴

故答案為：4

【分析】連接、，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可得，從而得出，繼而得出=4.

17．【答案】14

【知識點】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：∵MN=20，

∴⊙O的半徑=10，

連接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，

∴OD==8；

同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，

∴OC==6，

∴CD=8+6=14，

作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，

在Rt△AB′E中，

∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，

∴AB′==14．

故答案為：14．

【分析】先由MN=20求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

18．【答案】2

【知識點】弧長的計算；翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：由題意可知點C′的運動軌跡是以B為圓心，BC為半徑的扇形，

當點D從點C到點A的動過程中，點C′運動的軌跡是扇形，扇形的圓心角為180°，

點C′運動的路徑長＝＝2，

故答案為：2．

【分析】由題意可知點C′的運動軌跡是以B為圓心，BC為半徑的扇形，根據(jù)弧長的公式進行計算即可.

19．【答案】（1）解：∵，

，

；

（2）解：，

，

，

，

或

【知識點】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法解方程即可；

（2）根據(jù)配方法解方程即可.

20．【答案】解：當時，方程變?yōu)?，此時，符合題意；

當時，，

解得，

綜上所述，k的取值范圍為．

【知識點】一元二次方程根的判別式及應用

【解析】【分析】當k=0時，方程有實數(shù)根；當k≠0時，方程有實數(shù)根，即得△≥0，據(jù)此解答即可.

21．【答案】如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則每降價1元，多售2件，設降價x元，則多售2x件；

設每件童裝應降價x元，

依題意得(40x)(20+2x)=1200，

整理得，

解之得，

因要減少庫存，故x=20.

答：每件童裝應降價20元.

【知識點】一元二次方程的實際應用-銷售問題

【解析】【分析】設每件童裝應降價x元，原來平均每天可售出20件，每件盈利40元，后來每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則每降價1元，多售2件，設降價x元，則多售2x件；根據(jù)單件的利潤乘以銷售數(shù)量=總利潤，從而即可列出方程，解方程就可以求出應降價多少元.

22．【答案】解：分為兩種情況：①如圖1，過O作EF⊥CD于E，交AB于F，連接OC、OA、

∵AB∥CD，

∴EF⊥AB，

∴由垂徑定理得：CE＝ED＝CD＝4，AF＝BF＝AB＝3，

在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，由勾股定理得：OE＝＝3，

在Rt△OAF中，OC＝5，AF＝3，由勾股定理得：OF＝＝4，

即兩條平行弦AB與CD之間的距離是43＝1；

②如圖2，兩條平行弦AB與CD之間的距離是3＋4＝7；

綜合上述，兩條平行弦AB與CD之間的距離是1或7．

【知識點】勾股定理；垂徑定理

【解析】【分析】分為兩種情況：①當兩條平行的弦在原點的同側(cè)，②當兩條平行的弦在原點的兩側(cè)，根據(jù)垂徑定理及勾股定理分別求解即可.

23．【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四邊形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6

【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；圓的認識

【解析】【分析】連接OD，由條件可得四邊形OFDE是矩形，根據(jù)矩形對角線相等可知OD=EF=3，利用同圓半徑相等即可解答。

24．【答案】（1）解：∵D是弧的中點，

∴，是的中點，

∵中，

∴，

設，

∵，

∴，解得，

∴.

（2）解：作輔助線連接，

可得，

∵E、O分別為、的中點，

∴，

∵，

∴，

∵在中，

∴.

【知識點】勾股定理；垂徑定理；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）由垂徑定理可得AC⊥DO，E是AC中點，設，可得=x，中，由勾股定理得，從而得出關(guān)于x方程并解之即可；

（2）連接BC，由線段的中點及三角形中位定理可得EC=4，BC=2EO=6，然后利用勾股定理求出BE的長.

25．【答案】（1）證明：連接OC，如下圖：

∵AB是⊙O的直徑

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∵是⊙O的切線，是半徑

∴

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

又∵，

∴

∴

（2）解：∵在中，，由勾股定理知

即：

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴，

∴

∵，

∴

又∵

∴

∴

∴

即：

∴．

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ABC=∠AEO，由切線的性質(zhì)可得∠OCD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠1=∠2，由OB=OC可得∠ABC=∠2，從而得出∠ABC=∠1，由，，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即得結(jié)論；

（2）由勾股定求出AE，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求出CB、AC、CE的長，再證，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長即可.

26．【答案】是已知關(guān)于x的方程是常數(shù)是“鄰根方程”，求m的值；【答案】解：解方程得：，或，方程是常數(shù)是“鄰根方程”，或，或；若關(guān)于x的方程、b是常數(shù)，是“鄰根方程”，令，試求t的最大值．【答案】解：解方程得，關(guān)于x的方程、b是常數(shù)，是“鄰根方程”，，，，，，時，t的最大值為16．

（1）是

（2）解：解方程得：，

或，

方程是常數(shù)是“鄰根方程”，

或，

或；

（3）解：解方程得，

關(guān)于x的方程、b是常數(shù)，是“鄰根方程”，

，

，

，

，

，

時，t的最大值為16．

【知識點】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；定義新運算；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：（1），

解得，

∴是“鄰根方程”；

【分析】（1）先解方程求出方程的根，再根據(jù)“鄰根方程”進行判斷即可；

（2）解方程得x=m或x=-1，由“鄰根方程”的定義可得m=-1+1或m=-1-1，從而得解；

（3）根據(jù)“鄰根方程”的定義可得方程的兩根差為1，由此可得，由可推出t關(guān)于a的關(guān)系式，然后配方求出其最值即可.

27．【答案】（1）解：根據(jù)題意，圖形W為以O為圓心，OA為直徑的圓．

如圖1，連接OD，

∴OA＝OD．

∵點C為OA的中點，CD⊥AB，

∴AD＝OD．

∴OA＝OD＝AD．

∴△OAD是等邊三角形．

∴∠AOD＝60°．

∴∠ABD＝30°．

（2）解：如圖2，

∵∠ADE＝∠ABD，

∴∠ADE＝30°．

∵∠ADO＝60°．

∴∠ODE＝90°．

∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切線．

∴直線DE與圖形W的公共點個數(shù)為1．

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定

【解析】【分析】（1）連接OD，證明△OAD為等邊三角形，可得∠AOD=60°，根據(jù)圓周角定理可求出∠ABD的度數(shù)；

（2）由∠ADE＝∠ABD=30°，從而求出∠ODE=∠ADE+∠ADO=90°，根據(jù)切線的判定定理可證DE是⊙O的切線，從而得解.

1/1江蘇省鹽城市東臺市二聯(lián)盟2023-2022學年九年級上學期第一次階段測試數(shù)學試卷

一、單選題

1．（2023九上·東臺月考）方程的根為（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】A

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴或，

，

故答案為：A．

【分析】根據(jù)因式分解法解方程即可.

2．下列說法正確的是（）

A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程

B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程

C．方程x2－2x＝1的常數(shù)項為0

D．一元二次方程中，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都不能為0

【答案】B

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】解：A.一元二次方程的一般形式規(guī)定a、b、c為常數(shù)且a≠0，故此選項錯誤；

B.(x＋1)(x－1)＝0變形后為x2-1=0，是一元二次方程，故此選項正確；

C.該方程的常數(shù)項是－1，故此選項錯誤；

D.一元二次方程中，二次項系數(shù)不能為0，一次項系數(shù)可以為0，故此選項錯誤；

故答案為：B.

【分析】形如ax2＋bx＋c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的方程，其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項，據(jù)此逐一判斷即可.

3．（2023·安順）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是（）

A．12B．9C．13D．12或9

【答案】A

【知識點】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵，

∴，

即，

①等腰三角形的三邊是2，2，5，

∵2+2＜5，

∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不符合題意；

②等腰三角形的三邊是2，5，5，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，

三角形的周長是2+5+5=12；

即等腰三角形的周長是12．故答案為：A．

【分析】用因式分解法解一元二次方程，求出x的值，然后分兩種情況：①等腰三角形的三邊是2，2，5，②等腰三角形的三邊是2，5，5，再按三角形三邊的關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，最后利用三角形周長的計算方法，算出答案。

4．某飼料廠今年一月份生產(chǎn)飼料噸，三月份生產(chǎn)飼料噸，若二月份和三月份這兩個月平均增長率為x，則有（）.

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題

【解析】【解答】解：依題意得

500（1+x）2=720．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)一月份生產(chǎn)飼料產(chǎn)量×（1+月平均增長率）2=三月份生產(chǎn)飼料產(chǎn)量列出方程即可.

5．（2023九上·中山期末）如圖，A，B，C是上的三點，，則的度數(shù)為（）

A．100°B．110°C．125°D．130°

【答案】A

【知識點】圓周角定理

【解析】【解答】解：所對的圓心角為，所對的圓周角為，，

，

故答案為：．

【分析】根據(jù)圓周角的性質(zhì)：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解即可。

6．（2023·思茅模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠A=25°，則∠D等于（）

A．20°B．30°C．40°D．50°

【答案】C

【知識點】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如右圖所示，連接BC，

∵AB是直徑，

∴∠BCA=90°，

又∵∠A=25°，

∴∠CBA=90°﹣25°=65°，

∵DC是切線，

∴∠BCD=∠A=25°，

∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)已知AB是直徑，直徑所對的圓周角是直角，添加輔助線，連接BC，得出∠BCA=90°，求出∠CBA的度數(shù)，由DC切⊙O于點C，可證得∠BCD=∠A，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，就可以求得∠D的度數(shù)。

7．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，M是弦AB上的一動點，則線段OM的長的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】垂線段最短；勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：如圖，連接OA，作OM⊥AB于M，

∵⊙O的直徑為10，

∴半徑為5，

∴OM的最大值為5，

∵OM⊥AB于M，

∴AM=BM，

∵AB=6，

∴AM=3，

在Rt△AOM中，；

此時OM最短，

所以OM長的取值范圍是4≤OM≤5．

故答案為：B．

【分析】連接OA，作OM⊥AB于M，此時OM的長為最小值，OA的長為OM的最大值，據(jù)此即可求解.

8．如圖，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，線段PQ的中點為M，連接OP，OM．若⊙O的半徑為2，OP=4，則線段OM的最小值是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【知識點】點與圓的位置關(guān)系；三角形的中位線定理

【解析】解答：取OP的中點N，連結(jié)MN，OQ，如圖，

∵M為PQ的中點，

∴MN為△POQ的中位線，

∴MN=OQ=×2=1，

∴點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，

在△OMN中，1＜OM＜3，

當點M在ON上時，OM最小，最小值為1，

∴線段OM的最小值為1．

故答案為：B．

【分析】取OP的中點N，連結(jié)MN，OQ，如圖可判斷MN為△POQ的中位線，則MN=OQ=1，則點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當點M在ON上時，OM最小，最小值為1．

二、填空題

9．方程的解為

【答案】

【知識點】直接開平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴x2=2，

解得，

故答案為：．

【分析】利用直接開平方法解方程即可.

10．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值是

【答案】-1

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程

∴

解得：

故答案為：

【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知項的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此解答即可.

11．一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．

【答案】4或5

【知識點】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：，

解得x＝3或4；

①當4是直角邊時，斜邊長，所以直角三角形外接圓直徑是5；

②當4是斜邊時，這個直角三角形外接圓的直徑是4．

故答案為：4或5．

【分析】解方程可得x＝3或4，分兩種情況：①當4是直角邊時，②當4是斜邊時，據(jù)此分別解答即可.

12．已知m，n是方程x2+4x﹣5=0的兩個實數(shù)根，則m﹣mn+n=．

【答案】-9

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣5=0的兩個實數(shù)根

∴

∴

故答案為：-9

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后整體代入計算即可.

13．（2023九上·賈汪月考）已知一點到圓周上點的最大距離為，最短距離為，則圓的直徑為.

【答案】或

【知識點】點與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：當點在圓內(nèi)時，圓的直徑為9+1=10；

當點在圓外時，圓的直徑為9-1=8.

故答案是：10或8.

【分析】此題需要分該點在圓內(nèi)還是圓外兩種情況，：當點在圓內(nèi)時，最大距離與最小距離的和等于直徑；當點在圓外時，最大距離與最小距離的差等于直徑。

14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，內(nèi)切圓⊙O分別切邊AC、BC于點D、E，則其內(nèi)切圓的半徑r等于．

【答案】2

【知識點】勾股定理；正方形的判定與性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；切線長定理

【解析】【解答】解：如圖，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8；

根據(jù)勾股定理AB==10；

四邊形OECD中，OE=OD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°；

∴四邊形OECD是正方形；

由切線長定理，得：AD=AF，BF=BE，CE=CD；

∴CE=CD=（AC+BC﹣AB）；

即：r=（6+8﹣10）=2．

故答案為2．

【分析】根據(jù)勾股定理AB=10，易證四邊形OECD是正方形，由切線長定理可得AD=AF，BF=BE，CE=CD，從而得出CE=CD=（AC+BC﹣AB），繼而得解.

15．⊙O的半徑為R，點O到直線l的距離為d，R，d是方程x2-4x+m=0的兩根，當直線l與⊙O相切時，m的值為．

【答案】4

【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】∵d、R是方程x2-4x+m=0的兩個根，且直線l與⊙O相切，

∴d=R，

∴方程有兩個相等的實根，

∴△=16-4m=0，

解得，m=4，

故答案為：4．

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得出方程有且只有一個根，再根據(jù)△=0即可求出m的值．

16．如圖，在⊙O中，，A、C之間的距離為4，則線段BD＝．

【答案】4

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系

【解析】【解答】解：連接、，如下圖；

∵

∴

∴

即：

∴

又∵

∴

故答案為：4

【分析】連接、，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可得，從而得出，繼而得出=4.

17．（2023·貴港）如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是．

【答案】14

【知識點】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：∵MN=20，

∴⊙O的半徑=10，

連接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，

∴OD==8；

同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，

∴OC==6，

∴CD=8+6=14，

作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，

在Rt△AB′E中，

∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，

∴AB′==14．

故答案為：14．

【分析】先由MN=20求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

18．如圖，在Rt△ABC中，，，點D在AC邊上運動，將△BCD沿BD對折，點C的對應點是，在點D從C到點A的運動過程中，點運動的路徑長．

【答案】2

【知識點】弧長的計算；翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：由題意可知點C′的運動軌跡是以B為圓心，BC為半徑的扇形，

當點D從點C到點A的動過程中，點C′運動的軌跡是扇形，扇形的圓心角為180°，

點C′運動的路徑長＝＝2，

故答案為：2．

【分析】由題意可知點C′的運動軌跡是以B為圓心，BC為半徑的扇形，根據(jù)弧長的公式進行計算即可.

三、解答題

19．解方程

（1）

（2）x2-2x-3=0(配方法)

【答案】（1）解：∵，

，

；

（2）解：，

，

，

，

或

【知識點】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法解方程即可；

（2）根據(jù)配方法解方程即可.

20．如果關(guān)于x的方程有實數(shù)根，試求k的取值范圍

【答案】解：當時，方程變?yōu)?，此時，符合題意；

當時，，

解得，

綜上所述，k的取值范圍為．

【知識點】一元二次方程根的判別式及應用

【解析】【分析】當k=0時，方程有實數(shù)根；當k≠0時，方程有實數(shù)根，即得△≥0，據(jù)此解答即可.

21．（2023九上·孟津月考）服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？

【答案】如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則每降價1元，多售2件，設降價x元，則多售2x件；

設每件童裝應降價x元，

依題意得(40x)(20+2x)=1200，

整理得，

解之得，

因要減少庫存，故x=20.

答：每件童裝應降價20元.

【知識點】一元二次方程的實際應用-銷售問題

【解析】【分析】設每件童裝應降價x元，原來平均每天可售出20件，每件盈利40元，后來每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則每降價1元，多售2件，設降價x元，則多售2x件；根據(jù)單件的利潤乘以銷售數(shù)量=總利潤，從而即可列出方程，解方程就可以求出應降價多少元.

22．已知⊙O的直徑為10，AB、CD是兩條平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之間的距離

【答案】解：分為兩種情況：①如圖1，過O作EF⊥CD于E，交AB于F，連接OC、OA、

∵AB∥CD，

∴EF⊥AB，

∴由垂徑定理得：CE＝ED＝CD＝4，AF＝BF＝AB＝3，

在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，由勾股定理得：OE＝＝3，

在Rt△OAF中，OC＝5，AF＝3，由勾股定理得：OF＝＝4，

即兩條平行弦AB與CD之間的距離是43＝1；

②如圖2，兩條平行弦AB與CD之間的距離是3＋4＝7；

綜合上述，兩條平行弦AB與CD之間的距離是1或7．

【知識點】勾股定理；垂徑定理

【解析】【分析】分為兩種情況：①當兩條平行的弦在原點的同側(cè)，②當兩條平行的弦在原點的兩側(cè)，根據(jù)垂徑定理及勾股定理分別求解即可.

23．如圖，⊙O的半徑OC⊥AB，D為上一點，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，EF=3，求直徑AB的長．

【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四邊形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6

【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；圓的認識

【解析】【分析】連接OD，由條件可得四邊形OFDE是矩形，根據(jù)矩形對角線相等可知OD=EF=3，利用同圓半徑相等即可解答。

24．如圖，是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點，D是弧的中點，交弦于E，若，.

（1）求的長度；

（2）連接，求的長度.

【答案】（1）解：∵D是弧的中點，

∴，是的中點，

∵中，

∴，

設，

∵，

∴，解得，

∴.

（2）解：作輔助線連接，

可得，

∵E、O分別為、的中點，

∴，

∵，

∴，

∵在中，

∴.

【知識點】勾股定理；垂徑定理；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）由垂徑定理可得AC⊥DO，E是AC中點，設，可得=x，中，由勾股定理得，從而得出關(guān)于x方程并解之即可；

（2）連接BC，由線段的中點及三角形中位定理可得EC=4，BC=2EO=6，然后利用勾股定理求出BE的長.

25．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且CF是⊙O的切線．

（1）求證：D