七年級數(shù)學上冊專題15 角-原卷版

/專題15角【思維導圖】◎考點題型1角的概念（1定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．備注：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．例．（2022·山東聊城·七年級階段練習）如圖，下列說法錯誤的是（

）A．也可用來表示B．與是同一個角C．圖中共有三個角：，，D．與是同一個角變式1．（2022·河南信陽·七年級期末）鐘表上，下午3：40時時針和分針之間形成的角（小于平角）的度數(shù)為（

）A．150° B．140° C．130° D．120°變式2．（2022·山東威?！て吣昙壠谥校┤鐖D，下列說法錯誤的是（）A．∠B與∠CBA表示同一個角 B．∠α可以用∠O表示C．∠ACO是∠ACB與∠OCB的差 D．∠1可以用∠ACO表示變式3．（2022·廣西賀州·七年級期末）如圖，從的頂點引出兩條射線OC，OD，圖中的角共有（

）A．3個 B．4個 C．6個 D．7個◎考點題型2圖1角的表示方法圖1角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：備注：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母．例．（2022·山東臨沂·七年級期中）如圖，下列各個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，下列說法不正確的是（

）A．∠BAC和∠DAE是同一個角B．∠ABC和∠ACB不是同一個角C．∠ABC可以用∠B表示D．∠AED可以用∠E表示變式2．（2021·河北承德·七年級期末）如圖，下列說法中不正確的是（

）A．與是同一個角B．也可用來表示C．圖中共有三個角：，，D．與是同一個角變式3．（2022·安徽亳州·七年級期末）下列角中，能用，，三種方法表示同一個角的是（

）A．B．C．D．◎考點題型3角的分類例．（2022·山東棗莊·七年級期末）下列說法：（1）經(jīng)過兩點有且只有一條直線；（2）連接兩點間的線段叫做這兩點間的距離；（3）射線與射線是同一條射線；（4）射線比直線小一半；（5）平角是直線．其中正確的個數(shù)為（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個變式1．（2022·湖南婁底·七年級期末）在一幅七巧板中，有我們學過的（

）A．8個銳角，6個直角，2個鈍角 B．12個銳角，9個直角，2個鈍角C．8個銳角，10個直角，2個鈍角 D．6個銳角，8個直角，2個鈍角變式2．（2020·重慶·七年級階段練習）如圖，直線與直線CD交于點O，于點O，則與的關(guān)系是（

）A．互為對頂角B．相等C．互補D．互余變式3．（2021·江蘇·七年級專題練習）將一個直角分成1:2:3的三個角，那么這三個角中，最大的角與最小的角相差（

）A．10° B．20° C．30° D．40°◎考點題型4方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．備注：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．例．（2021·河北承德·七年級期末）如圖，∠AOB=34.3°，點A位于點O的（

）A．南偏東34.3°方向上B．北偏西55°42′方向上C．南偏東55°42′方向上D．北偏西55°18′方向上變式1．（2020·江蘇·蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學七年級開學考試）船的?？奎c在指定地點的南偏西的方向上，下面選項中，正確的是（

）A．B．C． D．變式2．（2022·湖南婁底·七年級期末）如圖，點B在點A北偏東60°的方向，點C在點B北偏西30°的方向，且，則點C到直線AB的距離是（

）A．6cm B．12cm C．3cm D．24cm變式3．（2022·山東聊城·七年級期末）如圖，點A位于點O的（

）A．北偏西方向上B．南偏西方向上C．北偏西方向上 D．南偏西方向上◎考點題型5鐘面角鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．例．（2022·山東青島·七年級期末）下午3：40，時針和分針的夾角是（）A．130° B．135° C．140° D．145°變式1．（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）每天中午12點30分是“校園之聲”節(jié)目都會如約而至，此時時針與分針所夾的的角為(

)A． B． C． D．變式2．（2022·山東濱州·七年級期末）2點半時，時針與分針所成的夾角為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·山西陽泉·七年級期末）小明晚上放學到家時，鐘表的時間顯示為6點15分（如圖），此時時鐘的分針與時針所成角的度數(shù)是（

）A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°◎考點題型6角的度量角度制及其換算：角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．備注：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位．例．（2022·陜西咸陽·七年級階段練習）若，則用度、分、秒表示為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·河北·石家莊市欒城區(qū)教育局教研室七年級期末）下面等式成立的是（

）A．B．C．D．變式2．（2022·河北唐山·七年級期末）用度、分、秒表示20.21°為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·安徽銅陵·七年級期末）下列關(guān)系式正確的是（

）A．45.5°=45°5′ B．45.5°=45°50′ C．45.5°<45°5′ D．45.5°>45°5′◎考點題型7：角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．備注：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．備注：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．例．（2021·全國·七年級專題練習）下列度分秒運算中，正確的是（）A．48°39′+67°31′＝115°10′B．90°﹣70°39′＝20°21′C．21°17′×5＝185°5′D．180°÷7＝25°43′（精確到分）變式1．（2018·全國·七年級單元測試）有兩個角，它們的比為，它們的差為，則這兩個角的關(guān)系是（）A．互為余角 B．互為補角 C．相等 D．以上答案都不對變式2．（2016·湖北恩施·七年級期末）計算15°23′×4的結(jié)果是（）A．60°92′ B．60.92° C．60°32′ D．61°32′變式3．（2014·全國·七年級課時練習）已知α、β都是鈍角，甲、乙、丙、丁四人計算（α+β）的結(jié)果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人計算正確，他是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁◎考點題型8角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．例．（2022·遼寧沈陽·七年級期中）如圖，，EF平分，則（

）A． B． C． D．變式1．（2022·山東煙臺·七年級期中）如圖，直線，直線c分別交a，b于點A，C，的平分線交直線b于點D，若，則的度數(shù)是（

）A．80° B．70° C．60° D．50°變式2．（2022·山東臨沂·七年級期中）如圖，在中，∠ABC=36°，CB平分∠DCE，則∠AEC的度數(shù)為（

）A．36° B．52° C．72° D．108°變式3．（2022·云南昭通·七年級期中）如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OC平分∠AOE，，則∠BOE的度數(shù)為（

）A． B． C． D．◎考點題型9余角和補角1、余角和補角定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．2、余角和補角性質(zhì)：（1）等角的余角相等．（2）等角的補角相等．備注：(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個角α的補角可以表示為(180°-α)．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°。例．（2022·山東濟寧·七年級期中）如圖，把一塊含直角三角板的直角面點放在直尺的一邊上，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·黑龍江·遜克縣教師進修學校七年級期末）如圖，直線，c是截線．若∠2＝5∠1，則∠1的余角的度數(shù)為（

）A．60° B．30° C．40° D．150°變式2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）已知，則的補角等于（

）A． B． C． D．變式3．（2022·陜西咸陽·七年級期中）若鈍角∠1與∠2互補，∠2與∠3互余，則∠1與∠3的關(guān)系滿足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3◎考點題型10角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．例．（2022·河南駐馬店·七年級期末）在的內(nèi)部任取一點C，作射線，則一定存在（

）A． B．C． D．變式1．（2022·河南駐馬店·七年級期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠BC．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定變式2．（2022·北京石景山·七年級期末）圖中所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．變式3．（2020·河北保定·七年級期末）已知，，，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．◎考點題型11尺規(guī)作圖--作線段“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．例．（2022·貴州銅仁·七年級期末）（1）如圖，點C在線段AB上，線段，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長．（2）對于（1），如果敘述為：“已知線段，點C在直線AB上，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長．”，結(jié)果會有變化嗎？如果有，畫出圖形，求出結(jié)果．變式1．（2022·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學校七年級期中）如圖．已知三點A．B．C．(1)畫直線AB．(2)畫射線BC．(3)畫線段AC．變式2．（2022·福建