高中數(shù)學(xué)人教版必修2教案1-3-2球的體積和表面積3

1．3.2球的體積和表面積●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)了解球的表面積與體積公式(不要求記憶公式)．(2)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力．2．過程與方法通過作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：球的表面積與體積的計(jì)算．難點(diǎn)：簡(jiǎn)單組合體的體積計(jì)算．重難點(diǎn)突破：以教材例題、習(xí)題為載體，通過題組訓(xùn)練，讓學(xué)生熟悉并掌握球的表面積與體積公式；對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的體積計(jì)算問題，可結(jié)合簡(jiǎn)單組合體的概念，采用分割求和的方式給予突破．●教學(xué)建議結(jié)合本節(jié)知識(shí)的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)教師可采用開門見山的方式，直接給出球的表面積及體積公式，對(duì)公式的推導(dǎo)及證明不必拓展補(bǔ)充；在此基礎(chǔ)上，通過題目訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握公式間的內(nèi)在關(guān)系即可．●教學(xué)流程直接給出球的表面積及體積的運(yùn)算公式．?eq\x(通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握球的表面積及體積公式.)?通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握與球的截面有關(guān)的球的體積、表面積計(jì)算問題．課標(biāo)解讀1.了解并掌握球的體積和表面積公式．(易混點(diǎn))2．會(huì)用球的體積與表面積公式解決實(shí)際問題．(重點(diǎn))3．會(huì)解決球的組合體及三視圖中球的有關(guān)問題．(難點(diǎn))球的表面積與體積球的表面積與體積公式eq\x(球半徑為R)表面積公式S＝4πR2體積公式V＝eq\f(4,3)πR3球的表面積與體積(2013·昭通高一檢測(cè))一個(gè)球的表面積是16π，則它的體積是()A．64πB.eq\f(64π,3)C．32πD.eq\f(32,3)π【思路探究】表面積→球的半徑→球的體積【自主解答】設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.【答案】D球的表面積與體積的大小，只與球的半徑有關(guān)，故充分利用題設(shè)條件求解球半徑的大小，是解答此類問題的關(guān)鍵．把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍【解析】設(shè)球變化前后的半徑分別為r與r′，由已知得：4πr′2＝2·4πr2，∴r′＝eq\r(2)r，∴V′＝eq\f(4,3)πr′3＝2eq\r(2)·eq\f(4,3)πr3＝2eq\r(2)V，即體積變?yōu)樵瓉眢w積的2eq\r(2)倍．【答案】B球的截面問題一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積．【思路探究】eq\x(兩截面圓的面積)→eq\x(兩截面圓的半徑)eq\o(→,\s\up12(解直角三角形))eq\x(球的半徑)【自主解答】(1)當(dāng)截面在球心的同側(cè)時(shí)，如圖(1)所示為球的軸截面，由截面性質(zhì)知AO1∥BO2，O1，O2為兩截面圓的圓心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設(shè)球的半徑為R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理得：O1A＝20cm.設(shè)OO1＝x，則OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②聯(lián)立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500πcm2，故球的表面積為2500πcm2.(2)當(dāng)截面在球心的兩側(cè)時(shí)，如圖(2)所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，O1A∥O2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.設(shè)球的半徑為R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm.設(shè)O1O＝xcm，則OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去．綜上所述，球的表面積為2500πcm2.1．本題在求解過程中，常因漏掉兩截面位于圓心兩側(cè)的情況而失分．2．有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6π和8π，則這兩個(gè)截面間的距離為________．【解析】若兩個(gè)平行截面在球心同側(cè)，如圖(1)，則兩個(gè)截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個(gè)平行截面在球心異側(cè)，如圖(2)，則兩個(gè)截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.【答案】1或7根據(jù)三視圖計(jì)算球的體積與表面積某個(gè)幾何體的三視圖如圖1－3－11所示(單位：m)．(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的體積．圖1－3－11【思路探究】本題條件中給出的是幾何體的三視圖及數(shù)據(jù)，解題時(shí)要先根據(jù)俯視圖來確定幾何體的上、下部分形狀，然后根據(jù)側(cè)視圖與正視圖確定幾何體的形狀，并根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算．【自主解答】由三視圖可知，此幾何體是一個(gè)半徑為1的半球和一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體組成．(1)S＝S半球＋S正方體表面積－S圓＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π(m2)(2)V＝V半球＋V正方體＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＋23＝8＋eq\f(2,3)π(m3)1．本題(1)在求解時(shí)，常因忘記去除“半球同正方體的重疊部分”而使所求表面積變大．2．由三視圖求簡(jiǎn)單組合體的表面積或體積時(shí)，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義，根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其表面積或體積．3．計(jì)算球與球的組合體的表面積與體積時(shí)要恰當(dāng)?shù)胤指钆c拼接，避免重疊和交叉等．一個(gè)幾何體的三視圖如圖1－3－12所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.圖1－3－12【解析】由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為eq\f(3,2)；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\f(27,8)×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】18＋9π與球相關(guān)的“切”“接”問題(12分)有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．【思路點(diǎn)撥】作出三個(gè)幾何體的截面圖，分別求出三個(gè)球的半徑．【規(guī)范解答】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面(正方形)的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖(1)，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.4分(2)球與正方體各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(2)，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.7分(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.10分綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶1．解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，從而把空間問題平面化．2．常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：eq\x(幾何體與球的切、接問題)eq\x(內(nèi)切球)eq\x(找過切點(diǎn)和球心的截面)eq\x(體積法)eq\x(外接球)eq\x(由球心和幾何體頂點(diǎn)抽象得出新幾何體)eq\x(找過球心的截面)3．球與其他幾何體切接問題一般有下列結(jié)論：(1)長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑；(2)球與正方體的六個(gè)面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)；(3)球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對(duì)角線．(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．(5)球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．1．球的表面積、體積基本性質(zhì)是解決有關(guān)問題的重要依據(jù)，它的軸截面圖形，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法．2．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．1．直徑為6的球的表面積和體積分別是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π【解析】球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.【答案】B2．若將氣球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，則它的體積增大到原來的()A．2倍 B．4倍C．8倍 D．16倍【解析】設(shè)氣球原來的半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3，當(dāng)氣球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍后，其體積變?yōu)樵瓉淼?3＝8倍．【答案】C3．一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(13π),3)cm3【解析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，有R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3)．【答案】C4．將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高了4cm，求鋼球的半徑．【解】圓柱形玻璃容器中水面上升了4cm，則知鋼球的體積V＝π·32·4＝36π.設(shè)鋼球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝36π，∴R＝3cm.所以鋼球的半徑為3cm.一、選擇題1．(2013·武威高一檢測(cè))球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．3【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題意可知eq\f(4,3)πR3＝4πR2，∴R＝3.【答案】D2．(2013·臨沂高一檢測(cè))設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)πD．32eq\r(3)π【解析】由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】C3．(2012·全國(guó)高考)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【解析】如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.【答案】B4．把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為()A．RB．2RC．3RD．4R【解析】設(shè)圓柱的高為h，則πR2h＝3×eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.【答案】D5．(2013·日照高一檢測(cè))如圖1－3－13是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()圖1－3－13A．9π＋42B．36π＋18C.eq\f(9,2)π＋12D.eq\f(9,2)π＋18【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合體，其體積V＝eq\f(4,3)π(eq\f(3,2))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18.【答案】D二、填空題6．已知一個(gè)球的體積為eq\f(4,3)π，則此球的表面積為________．【解析】設(shè)球的半徑為R，則V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，∴R＝1，∴球的表面積S＝4π.【答案】4π7．已知長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為4，則該球的體積是________．【解析】長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的直徑，∴2R＝4，∴R＝2，∴該球的體積V＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.【答案】eq\f(32π,3)圖1－3－148．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖1－3－14所示)，則球的半徑是________cm.【解析】設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8cm的水的體積為8πr2,3個(gè)球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由題意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4cm.【答案】4三、解答題圖1－3－159．(2013·鄭州高一檢測(cè))如圖1－3－15，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會(huì)溢出杯子嗎？請(qǐng)用你的計(jì)算數(shù)據(jù)說明理由．【解】因?yàn)閂半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因?yàn)閂半球<V圓錐，所以，冰淇淋融化了，不會(huì)溢出杯子．10．據(jù)說偉大的阿基米德死了以后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖1－3－16所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．試計(jì)算出圖形中圓錐、球、圓柱的體積比．圖1－3－16【解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則V圓柱＝πr2h，由已知知圓錐的底面半徑為r，高為h，∴V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h，球的半徑為r，∴V球＝eq\f(4,3)πr3.又h＝2r，∴V圓錐∶V球∶V圓柱＝(eq\f(1,3)πr2h)∶(eq\f(4,3)πr3)∶(πr2h)＝(eq\f(2,3)πr3)∶(eq\f(4,3)πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3.圖1－3－1711．(思維拓展題)如圖1－3－17所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積．(其中∠BAC＝30°)【解】如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1.在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圓錐BO1側(cè)＝π×eq