2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)專講第08講整體代換研究函數(shù)隱零點(diǎn)含解析

Page1第8講整體代換研究函數(shù)隱零點(diǎn)知識(shí)與方法導(dǎo)數(shù)中隱零點(diǎn)問題是近年來高考中的常見題型，很多函數(shù)求導(dǎo)后出現(xiàn)超越方程，無法求解，或者方程中含有參數(shù)，這給解題帶來困難，需要不同的思路和方法加以解決．隱零點(diǎn)問題的處理方法通常包括以下幾種：直接觀察、虛設(shè)零點(diǎn)結(jié)合零點(diǎn)代換、分類討論、拆分或構(gòu)造函數(shù)、巧妙放縮、參變轉(zhuǎn)換等等．典型例題【例1】已知恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】此題為不等式恒成立問題，只需要分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值即可．【解析】由題意得恒成立，令，則，可發(fā)現(xiàn)是個(gè)超越方程，觀察得當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以．【點(diǎn)睛】不含參數(shù)的超越方程的根，往往通過觀察即可獲得，并進(jìn)一步獲取函數(shù)的單調(diào)性及最值．【例2】已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【分析】（1）函數(shù)的極值與單調(diào)性問題，（2）因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)求解很不方便，故采用隱零點(diǎn)（虛設(shè)零點(diǎn)）的方法求解．【解析】（1），由得（經(jīng)檢驗(yàn)，符合），所以，，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)?，，所以為增函?shù)，而，當(dāng)時(shí)，，故在上有唯一的根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)取等號(hào)，故．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)典型的函數(shù)最值問題的求解，通過二階導(dǎo)數(shù)分析一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而獲得原函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而獲得不等式的證明．亦可用切線不等式進(jìn)行放縮獲得最值：且取等條件不成立．【例3】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求整數(shù)的最大值．【分析】分離參數(shù)，最大整數(shù)問題往往可以通過零點(diǎn)存在定理估算所在范圍，再加以嚴(yán)格的證明，從虛設(shè)零點(diǎn)入手．【解析】當(dāng)時(shí)，，令，則．令，則，所以在上遞增．又，，所以，，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以整數(shù)的最大值為2．【點(diǎn)睛】虛設(shè)零點(diǎn)，注意指數(shù)代換以及零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用．此題也可直接放縮，詳細(xì)如下：由知，只需確定，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，則，所以整數(shù)的最大值為2．【例4】設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值．【分析】利用求導(dǎo)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過二次求導(dǎo)研究一階導(dǎo)數(shù)，回歸到原函數(shù)的最值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由解得，，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．（2）因?yàn)椋裕山獾?，，易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)椋?，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以存在，，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，．注：，若令，，則無需隱零點(diǎn)，具體如下：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即．【點(diǎn)睛】利用二階導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的規(guī)律時(shí)，必須弄明白目標(biāo)和方向，原則是二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)規(guī)律，再獲得原函數(shù)的單調(diào)性和最值，當(dāng)零點(diǎn)不能直接看出或解出時(shí)，虛設(shè)零點(diǎn)是一種常規(guī)操作．【例5】已知函數(shù)，其中．（1）若對(duì)一切，恒成立，求的取值集合；（2）在函數(shù)的圖象上取兩點(diǎn)，，記直線的斜率為，問：是否存在，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）討論求解函數(shù)最值問題，（2）構(gòu)造，利用函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，此題的難點(diǎn)是取點(diǎn)的過程．【解析】（1）方法一若，則對(duì)一切，，這與題設(shè)矛盾，又，故．而，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值．于是對(duì)一切，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)①．令，則，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取最大值．因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，①式成立．綜上所述，的取值集合為．方法二（如果發(fā)現(xiàn)，則可以方便求解）因?yàn)楹愠闪?，所以為的最小值，所以，解得，故，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，成立，所以的取值集合為．（2）由題意知，．令，則，．令，則，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故當(dāng)，，即．從而，．又，，所以，．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使，，單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．綜上所述，存在使成立，且的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立等問題，以及分類討論、函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法．第（1）問利用導(dǎo)函數(shù)法求出的最小值，對(duì)一切，恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出的取值集合；第（2）問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷．【例6】已知，函數(shù)．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記，（其中為在上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【分析】（1）不等式恒成立的典型問題，（2）零點(diǎn)的深入探究問題，利用函數(shù)單調(diào)性證明自變量的大小關(guān)系，以及化多元為一元證明函數(shù)不等式．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，易得當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，解得，綜上可得．（2）由（1）知必有，且，所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以，因此，所以要證，只要證，只需證，只要證設(shè)，