2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第26講焦點弦結(jié)論含解析

第26講焦點弦結(jié)論如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點，則稱此弦為焦點弦．圓錐曲線的焦點弦問題涉及離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關(guān)知識．焦點弦是圓錐曲線中比較綜合的考點，下面介紹圓錐曲線有關(guān)焦點弦問題的幾個重要公式及應(yīng)用．橢圓焦點弦結(jié)論結(jié)論：和分別為橢圓的左、右焦點，是過左焦點傾斜角為的弦，點在軸上方，是過右焦點傾斜角為的弦，點在軸上方，則焦半徑公式：，，，焦點弦長公式：，．焦點分弦公式：，．時，．同理可求得焦點在軸上的過焦點弦長為．結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式：．【例1】如下圖所示，已知傾斜角為的直線過橢圓的左焦點，且與橢圓交于，兩點，推導(dǎo)下面結(jié)論：(1)若(或，求離心率．(2)求弦的長．(3)求面積的取值范圍．【解析】(1)焦半徑公式推導(dǎo)：在中，由余弦定理．由得．同理，在中，．焦點分弦公式推導(dǎo)：若，(或)，則，即．(2)焦點弦公式推導(dǎo)：．(3)三角形面積公式推導(dǎo)：．【例2】直線經(jīng)過橢圓右焦點，且與橢圓交于兩點，若，求直線的方程．【解析】∵直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且，∴直線的斜率存在，設(shè)直線的?率為，且，則直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立并消去得，設(shè)點，點，則，∴，解得．∴直線的方程為或．注意：可用焦點弦長公式驗證答案：，可得．解得．∴直線的方程為或．【例3】設(shè)橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓交于，兩點，直線的傾斜角為，求橢圓的離心率．【解析】設(shè)點的傾斜角為，，∴．設(shè)，則，．由得．聯(lián)立得，又，∴，∴，．又，∴，，即，即，．注意：可用焦點分弦公式推導(dǎo)來驗證答入：可得．【例4】點分別為橢圓1的左、右焦點，若過點的直線交橢圓于兩點，過點的直線交橢圓于，兩點，且，求的最小值．【解析】(1)當(dāng)斜率為0時，．(2)當(dāng)斜率不存在時，也有．(3)當(dāng)斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為，則方程為．設(shè)點，點，聯(lián)立得．易知，且．由弦長公式得．設(shè)點，點．∵，∴直線的斜率為，∴，∴．∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，．顯然，∴的最小值為．注意：可用焦點弦長公式驗證答案：．拋物線焦點弦結(jié)論與拋物線焦點弦長相關(guān)的結(jié)論：設(shè)為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則(1)．(2)，．(3)．(4)；．若或，則．(5)．(6)．【例1】已知拋物線y2＝4x，焦點為點F，過點作直線與拋物線交于兩點，已知線段的中點的橫坐標(biāo)為3，求弦的長度．【解析】∵拋物線為，∴，設(shè)兩點橫坐標(biāo)分別為，∵線段的中點的橫坐標(biāo)為3，則，即，∴．【例2】已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點，若直線的傾斜角為，求的值．【解析】∵直線的傾斜角為，∴其斜率，又由于點，∴直線的方程為．聯(lián)立，消去得，設(shè)點，點，則．．用焦點弦公式驗證：．【例3】已知拋物線與直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且面積為，求直線的