2024屆北京市清華大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題含解析

2024屆北京市清華大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．圓錐的底面半徑是5cm，側(cè)面展開圖的圓心角是180°，圓錐的高是（）A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm2．已知函數(shù)y=(k-1)x2-4x+4的圖象與x軸只有一個交點(diǎn),則k的取值范圍是()A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1C．k=2 D．k=2或13．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，交對角線于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn)，且AB＝BD，則tanD的值為（）A． B． C． D．5．若函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．6．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，平分，是的中點(diǎn)，若，則的長為（）A．4 B． C． D．8．下列運(yùn)算中正確的是（）A．a(chǎn)2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b29．用配方法解方程x2+4x+1＝0時，原方程應(yīng)變形為()A．(x+2)2＝3 B．(x﹣2)2＝3 C．(x+2)2＝5 D．(x﹣2)2＝510．如圖，在ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，已知S△DEF:S△ABF=4:25，則DE：EC為（）A．4：5 B．4：25 C．2：3 D．3：211．二次函數(shù)的圖像如圖所示，下面結(jié)論：①；②；③函數(shù)的最小值為；④當(dāng)時，；⑤當(dāng)時，（、分別是、對應(yīng)的函數(shù)值）．正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．12．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互增了182件．如果全組共有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（）．A．x（x+1）=182 B．x（x+1）=182×C．x（x－1）=182 D．x（x－1）=182×2二、填空題（每題4分，共24分）13．二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上有兩點(diǎn)（3，4）和（﹣5，4），則此拋物線的對稱軸是直線x=________14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，請用含α的式子表示BC的長___________．15．計(jì)算：|﹣3|﹣sin30°＝_____．16．已知拋物線y=ax2+bx+c開口向上，一條平行于x軸的直線截此拋物線于M、N兩點(diǎn)，那么線段MN的長度隨直線向上平移而變_____．（填“大”或“小”）17．三角形兩邊長分別是4和2，第三邊長是2x2﹣9x+4＝0的一個根，則三角形的周長是_____．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為6的正六邊形ABCDEF的對稱中心與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，則k的值為．三、解答題（共78分）19．（8分）某商場將進(jìn)貨單價為30元的商品以每個40元的價格售出時，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種商品的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個.（1）為了使平均每月有10000元的銷售利潤且盡快售出，這種商品的售價應(yīng)定為每個多少元？（2）當(dāng)該商品的售價為每個多少元時，商場銷售該商品的平均月利潤最大？最大利潤是多少？20．（8分）先化簡，再求值：，其中.21．（8分）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.22．（10分）在國家的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交價由去年10月份的14000元/下降到12月份的11340元/.(1)求11、12兩月份平均每月降價的百分率是多少？(2)如果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預(yù)測到今年2月份該市的商品房成交均價是否會跌破10000元/？請說明理由23．（10分）計(jì)算：2cos30°+sin45°﹣tan260°．24．（10分）解方程：5x（x+1）＝2（x+1）25．（12分）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，，延長至點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作，垂足在的延長線上，連接.（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)時，求圖中陰影部分的面積.26．如圖，中，，，，解這個直角三角形.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解題分析】設(shè)圓錐的母線長為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2π?5=，然后解方程即可母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．【題目詳解】設(shè)圓錐的母線長為R，根據(jù)題意得2π?5，解得R＝1．即圓錐的母線長為1cm，∴圓錐的高為：5cm．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．2、D【分析】當(dāng)k+1=0時，函數(shù)為一次函數(shù)必與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)k+1≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，根據(jù)條件可知其判別式為0，可求得k的值．【題目詳解】當(dāng)k-1=0，即k=1時，函數(shù)為y=-4x+4，與x軸只有一個交點(diǎn)；當(dāng)k-1≠0，即k≠1時，由函數(shù)與x軸只有一個交點(diǎn)可知，∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，綜上可知k的值為1或2，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，掌握二次函數(shù)與x軸只有一個交點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵，解決本題時注意考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況．3、A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答即可.【題目詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴AD∥BC，AD=BC=3ED，∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，∴△DFE∽△BFC，∴.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4、D【分析】設(shè)AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解決問題．【題目詳解】設(shè)AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5、A【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象確定k、b的符號，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定答案即可.【題目詳解】∵二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸＞0∴a>0，b<0,

又∵反比例函數(shù)的圖形位于二、四象限，∴-k＜0，∴k＞0

∴函數(shù)y=kx-b的大致圖象經(jīng)過一、二、三象限．故選:

A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是利用反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象確定一次函數(shù)的系數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定其大致圖象，確定一次函數(shù)的系數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．6、B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各圖的性質(zhì)求解．【題目詳解】A、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；B、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；C、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤．故選：B．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．7、B【分析】首先證明，然后再根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即.【題目詳解】解：設(shè)則,在中，即解得為中點(diǎn)，故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形.8、A【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法以，積的乘方和完全平方公式的知識求解即可求得答案．【題目詳解】解：A、，故A選項(xiàng)正確；B、，故B選項(xiàng)錯誤；C、，故C選項(xiàng)錯誤；D、，故D選項(xiàng)錯誤．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法以，積的乘方和完全平方公式等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.9、A【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，然后配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可求解．【題目詳解】x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝3，(x+2)2＝3，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次項(xiàng)系數(shù)為1的前提下，配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方是關(guān)鍵．10、C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：DC=2：5，∴DE：EC=2：1．故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.11、C【分析】由拋物線開口方向可得到a＞0；由拋物線過原點(diǎn)得c=0；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可得到函數(shù)的最小值為-3；根據(jù)當(dāng)x＜0時，拋物線都在x軸上方，可得y＞0；由圖示知：0＜x＜2，y隨x的增大而減??；【題目詳解】解：①由函數(shù)圖象開口向上可知，，故此選項(xiàng)正確；②由函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)在可知，，故此選項(xiàng)正確；③由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在可知，函數(shù)的最小值為，故此選項(xiàng)正確；④因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，與軸的一個交點(diǎn)為，則與軸的另一個交點(diǎn)為，所以當(dāng)時，，故此選項(xiàng)正確；⑤由圖像可知，當(dāng)時，隨著的值增大而減小，所以當(dāng)時，，故此選項(xiàng)錯誤；其中正確信息的有①②③④．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=，；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．12、C【解題分析】試題分析：先求每名同學(xué)贈的標(biāo)本，再求x名同學(xué)贈的標(biāo)本，而已知全組共互贈了182件，故根據(jù)等量關(guān)系可得到方程．每名同學(xué)所贈的標(biāo)本為：（x-1）件，那么x名同學(xué)共贈：x（x-1）件，根據(jù)題意可列方程：x（x-1）=182，故選C.考點(diǎn)：本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程點(diǎn)評：找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系，然后準(zhǔn)確的列出方程是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1【解題分析】根據(jù)兩已知點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到它們是拋物線的對稱點(diǎn)，而這兩個點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對稱，由此可得到拋物線的對稱軸．【題目詳解】∵點(diǎn)（3，4）和（-5，4）的縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)（3，4）和（-5，4）是拋物線的對稱點(diǎn)，而這兩個點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對稱，∴拋物線的對稱軸為直線x=-1．故答案為-1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，），對稱軸直線x=-．14、【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其對邊與鄰邊的比值，據(jù)此求解即可.【題目詳解】在Rt△ABC中，∵∠A=α，AC=20，∴=，即BC=.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.15、【分析】利用絕對值的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.【題目詳解】原式＝．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，掌握絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.16、大【解題分析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向上,所以點(diǎn)M,N向上平移時,距離對稱軸的距離越大,即MN的長度隨直線向上平移而變大,故答案為:大.17、1．【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三邊關(guān)系確定出第三邊，最后求周長即可．【題目詳解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝或x＝4，當(dāng)x＝時，+2＜4，不能構(gòu)成三角形，舍去；則三角形周長為4+4+2＝1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程，正確使用因式分解法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.18、【解題分析】試題分析：連接OB，過B作BM⊥OA于M，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=10°．∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形．∴OA=OB=AB=1．∴BM=OB?sin∠BOA=1×sin10°=，OM=OB?COS10°=2．∴B的坐標(biāo)是（2，）．∵B在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，∴k=2×=．三、解答題（共78分）19、（1）50元；（2）該商品的售價為每個65元時，商場銷售該商品的平均月利潤最大，最大利潤是12250元.【分析】（1）設(shè)該商品的售價是每個元，根據(jù)利潤=每個的利潤×銷售量，即可列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出結(jié)果；（2）設(shè)該商品的售價為每個元，利潤為y元，根據(jù)利潤=每個的利潤×銷售量即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【題目詳解】解：（1）設(shè)該商品的售價是每個元，根據(jù)題意，得：，解之得：，（不合題意，舍去）.答：為了盡快售出，這種商品的售價應(yīng)定為每個50元；（2）設(shè)該商品的售價為每個元，利潤為y元，則，∴當(dāng)時，利潤最大，最大利潤是12250元.答：該商品的售價為每個65元時，商場銷售該商品的平均月利潤最大，最大利潤是12250元.【題目點(diǎn)撥】本題是一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用題，屬于?？碱}型，熟練掌握一元二次方程的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.20、；.【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可化簡，再代入a即可求解.【題目詳解】解:原式把代入上式，得:原式【題目點(diǎn)撥】此題主要考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知分式運(yùn)算法則.21、（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解題分析】分析：（1）利用對稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．22、（1）10%；（1）會跌破10000元/m1．【分析】（1）設(shè)11、11兩月平均每月降價的百分率是x，那么11月份的房價為14000（1-x），11月份的房價為14000（1-x）1，然后根據(jù)11月份的11340元/m1即可列出方程解決問題；（1）根據(jù)（1）的結(jié)果可以計(jì)算出今年1月份商品房成交均價，然后和10000元/m1進(jìn)行比較即可作出判斷．【題目詳解】（1）設(shè)11、11兩月平均每月降價的百分率是x，則11月份的成交價是：14000（1-x），11月份的成交價是：14000（1-x）1，∴14000（1-x）1=11340，∴（1-x）1=0.81，∴x1=0.1=10%，x1=1.9（不合題意，舍去）答：11、11兩月平均每月降價的百分率是10%；（1）會跌破10000元/m1．如果按此降價的百分率繼續(xù)回落，估計(jì)今年1月份該市的商品房成交均價為：11