第1章 矩陣的初等理論

課前預(yù)習(xí)、課中提高效率、課后復(fù)習(xí)書后要求的習(xí)題、主動自覺做改變思維觀念——“研究”

建議使用教材《矩陣論引論》陳祖明等編北京航空航天大學(xué)出版社其他輔導(dǎo)類參考書（自選）《矩陣論引論》

課程的目的

——理解抽象！

課程的本質(zhì)

——研究結(jié)構(gòu)！矩陣論引論課程簡介

矩陣論是一門經(jīng)典的數(shù)學(xué)學(xué)科，也是一門繁瑣的、但有廣泛應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)課程。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及，更為矩陣論的應(yīng)用提供了廣闊的應(yīng)用舞臺，矩陣?yán)碚撛谙到y(tǒng)工程、控制工程、最優(yōu)化方法、管理工程、電子信息、機(jī)械、電力、金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。矩陣?yán)碚摵头椒ㄊ乾F(xiàn)代科技領(lǐng)域中處理有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)有力的不可缺少的工具。

矩陣論---全國工科研究生必修課問題一線性方程組的求解給定一個m個方程n個變量的線性方程組記A表示系數(shù)矩陣，B表示常數(shù)向量，X表示未知向量，則線性方程組可表示為其中解的形式：（1）當(dāng)m=n，且A可逆時(shí)，線性方程組AX=B的解可表示為當(dāng)m=n，且A不可逆時(shí)，或者當(dāng)時(shí)，線性方程組的解又如何表示呢？特別地，在討論矛盾方程AX=B時(shí)，如何定義線性方程組的解。廣義逆矩陣問題問題二矩陣的算術(shù)運(yùn)算矩陣的加法與減法定義為矩陣的乘法運(yùn)算問題三矩陣的分析運(yùn)算在線性代數(shù)中，我們學(xué)習(xí)的多是矩陣的代數(shù)運(yùn)算，能否定義矩陣的分析運(yùn)算呢？如矩陣序列的極限、矩陣級數(shù)的和、矩陣函數(shù)及其微積分等。分析運(yùn)算的關(guān)鍵是確定矩陣大小的一種度量，稱為矩陣范數(shù)。問題四矩陣的簡單形式矩陣運(yùn)算常常要求矩陣在各種意義下的簡單形式，以簡化矩陣運(yùn)算過程。這就要求討論矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣分解問題。常見形式有：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、行最簡標(biāo)準(zhǔn)形、Hermite標(biāo)準(zhǔn)形；矩陣的UR（酉矩陣U與正線上三角矩陣R）分解、QR（正交矩陣Q與三角矩陣R）分解、譜分解、滿秩分解、奇異值分解等。課程內(nèi)容1.矩陣初等性質(zhì)2.線性代數(shù)基礎(chǔ)3.矩陣的幾種重要分解4.矩陣的廣義逆5.矩陣分析6.矩陣的Kronecker積預(yù)備知識微積分線性代數(shù)常微分方程

Matlab編程所需知識第1章矩陣的初等理論§1.1矩陣及其初等運(yùn)算§1.2矩陣的行列式與矩陣的秩§1.3矩陣的秩和矩陣的特征值§1.1矩陣及其初等運(yùn)算1.矩陣與向量n維行向量與列向量統(tǒng)稱為n維向量1.1向量161711.2矩陣n階矩陣也稱為n階正方陣！記號（Notations）

矩陣的線性運(yùn)算

矩陣的線性運(yùn)算性質(zhì)1.3矩陣的乘法引例:完全由系數(shù)構(gòu)成的矩陣A決定.完全由系數(shù)構(gòu)成的矩陣B決定通過代換變量可得其系數(shù)矩陣為矩陣C就定義為矩陣A與B乘積為，其中8注意

(1)只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.

(2)乘積矩陣C的行數(shù)＝左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣C的列數(shù)＝右矩陣的列數(shù).34矩陣的乘法性質(zhì)一些特殊矩陣的乘法解：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣..1.4逆矩陣的概念使得則說矩陣

是可逆的，并把矩陣

稱為

的一個逆矩陣，記作對于階矩陣，如果存在階矩陣，定義9

奇異矩陣與非奇異矩陣,0,,0稱為非奇異矩陣時(shí)當(dāng)稱為奇異矩陣時(shí)當(dāng)AAAA1=若可逆，則也可逆，且若、是同階可逆陣，則也可逆，且證明：特別有：（反序定律）1.5矩陣的轉(zhuǎn)置6即由定義可知,如果記則若矩陣稱為復(fù)矩陣稱之為A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，是的共軛復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)置矩陣滿足的規(guī)律性質(zhì)4的證明

設(shè)A,B為復(fù)矩陣,

為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的,

則:(5)若A

可逆，則性質(zhì)4的推廣對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.7如果則稱A為共軛對稱矩陣，也稱為埃爾米特（Hermite）矩陣反對稱陣據(jù)對角線的元素全為零如果則稱A為反共軛對稱矩陣，也稱為反埃爾米特（Hermite）矩陣21）

分塊加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,其中Aij與Bij是同型的“小”矩陣.2.1分塊矩陣則A+B可看成是分塊矩陣的和設(shè)矩陣A與B是同型的,采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下:2.矩陣的分塊與初等變換A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,

為常數(shù).

A11

A12…

A1r

A21

A22…

A2r

…………

As1

As2…

Asr.則

A=2）分塊數(shù)乘3）分塊乘法

設(shè)A為m

l矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列數(shù)分別與B1j,B2j,…,Btj的行數(shù)相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=

AikBkj,則AB=k=1t4）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置設(shè)A為m

l矩陣,將它們分塊如下:A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,則A的轉(zhuǎn)置為：AT=A11T

A21T

…As1T

A12T

A22T…As2T

……A1tT

A2tT…AstT

則A的共軛為：5）特殊的分塊法設(shè)A為m×n矩陣,記

j為A的第j列,

i為A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),則有如下兩種重要的分塊方法A=[

1,

2,…,

n],

1

2…

mA=設(shè)A為n階矩陣,若A的分塊矩陣只有主對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且非零子塊都是方陣,即A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,其中A1,A2,…,As都是方陣,則稱A為分塊對角矩陣(或準(zhǔn)對角矩陣).

分塊對角矩陣：設(shè)A為m×n階矩陣,由A的第行和第列的元素所排成的r×s階矩陣稱為A的一個r×s階子塊記為：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換.把上述定義中的“行”換成“列”,即得到初等列變換的定義(相應(yīng)的記號是把“r”換成“c”).初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行記為ri

rj),(2)以非零的數(shù)k乘某一行中的所有元素

(第i行乘以k記為kri),(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去(第j行的k倍加到第i行記為ri+krj).2.2初等變換

初等矩陣定義由單位矩陣E

經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.(1)初等對換陣ri

rjci

cj也得到E(i,j)(2)初等倍乘陣k×rik×ci也得到E(i(k))(3)初等倍加方陣：

ri+krj

kcj+ci

也得到E(j，

i(k))§1.2矩陣的行列式與矩陣的秩1.行列式及其性質(zhì)定義1給定n階方陣稱下面的表達(dá)式為矩陣A的行列式，記為或Mij

是D中去掉第i行第j列全部元素后，按原順序排成n-1階行列式，即并稱Mij

為元素aij

的余子式,Aij

為元素aij

的代數(shù)余子式，記為：k

級子式與余子式、代數(shù)余子式定義在一個n級行列式D中任意選定k行k列按照原來次序組成一個k級行列式M，稱為行列()，位于這些行和列的交叉點(diǎn)上的個元素式D的一個k級子式；在D中劃去這k行k列后式，稱為

k級子式M的余子式；余下的元素按照原來的次序組成的級行列若k級子式M在D中所在的行、列指標(biāo)分別是，則在M的余子式前后稱之為M的代數(shù)加上符號余子式，記為.注：①

k級子式不是唯一的.（任一n級行列式有個k級子式）．時(shí)，D本身為一個n級子式．②

時(shí)，D中每個元素都是一個1級子式；Laplace定理由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的設(shè)在行列式

D中任意取

k()行，代數(shù)余子式的乘積和等于D．即若D中取定k行后，由這k

行得到的k級子式則.，它們對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為為則.

時(shí)，即為行列式D按某行展開；為行列式D取定前k

行運(yùn)用Laplace定理結(jié)果．解：

它們的代數(shù)余子式為例6

在行列式中取定第一、三行，求其子式和代數(shù)余子式.,例7

分塊矩陣的行列式即某行左乘一個矩陣加到另一行，值不變；某列右乘一個矩陣加到另一列，值不變。Example1證：Example2證：Example3證：1072.矩陣的秩及其性質(zhì)定義若矩陣A中至少有一個

k

階子式不為0，而所有k+1

階子式全為0，則rank(A)=k。也記為證明若可逆，按逆矩陣的定義得證畢2、基本性質(zhì)（1）初等變換不改變矩陣秩；3、矩陣秩等式4、矩陣秩不等式1）2）證明：設(shè)1）初等行變換初等行變換初等行變換故有證（1）式2）存在可逆方陣使得：故存在可逆矩陣使得故有（5）（6）即得：證明：不妨設(shè)A,B為階矩陣，對矩陣(A+B,B)作列變換于是證（5）（6）式，先證或再證當(dāng)AB=0時(shí)，有證明：先證左邊不等式由性質(zhì)3有而于是即

（1）再證右邊不等式由而為滿秩矩陣，所以有：即又