模塊3 單自由度系統(tǒng)受迫振動(b)（工程應(yīng)用暫態(tài)響應(yīng)）《振動力學》教學課件

《振動力學》?精品課件合集單自由度系統(tǒng)受迫振動2018年10月12日<<振動力學>>2教學內(nèi)容線性系統(tǒng)的受迫振動工程中的受迫振動問題任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動振動力學CAI工程中的受迫振動問題慣性式測振儀振動的隔離轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速2018年10月12日<<振動力學>>3單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題回顧：單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題21

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2

2

s)

1

tg

(21 2

相對位移fx (t)

Dei

t基座位移規(guī)律

：m

x2 i

t1 1 1 1

mD

e(t)

cx(t)

kx(t)

1i(

t

)x1(t)

1Des2(1

s2)2

(2

s)2

1(s)

1

s2

12

s

1(s)

tg絕對位移2i

(

t

)x(t)

x1(t)

xf(t)

Dexfkcx1mx0mkxxfcx1支承運動情況2018年10月12日<<振動力學>>44單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題mxck2k2

teMkcme

2

sin

txkcxeM

tm1(1

s2)2

(2

s)2

kB

me

2

1

2

s 1

s2

tg0

s

k

M0

偏心質(zhì)量情況22 21s2(1

s )

(2

s)

M

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

me

2

sin

t解1：x(t)

B

sin(

t

)解2：x(t)

1B1

sin(

t

)<<振動力M學>>B

me20118年10月12日i

txf(t)

De基礎(chǔ)位移x(t)

：

m

相對于外殼的相對位移動力方程

：m(

x

(t)

x

f

(t))

cx

(t)

kx(t)

0m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

mD

2ei

ts2(1

s2)2

(2

s)2單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

慣性測振儀慣性式測振儀lim

A2018年10s

月1

2日

1振幅

：

A1

s

當儀器的固有頻率遠小于外殼振動頻率時，儀器讀數(shù)的幅值

A1

接近外殼振動的振幅

DD 低固有頻率測量儀用于測量振動的位移幅值，稱為位移計

0

Dkcm機器外殼x

fx6<<振動力學>>儀器2 2 2s

2(1

s )

(2

s)A1

D)(20

D

21(1

s2)2

(2

s)2A1

A1

還可寫為：s

0

0s

0

當儀器的固有頻率遠大于外殼振動頻率時，儀器讀數(shù)的幅值A(chǔ)1與外殼加速度的幅值成正比高固有頻率測量儀用于測量振動的加速度幅值，稱為加速度計單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

慣性測振儀D

2

：被測物體的加速度幅值1220

(D

)lim

A1

kcm機器外殼02018年10月12日<<振動力學>>7

s

工程中的受迫振動問題慣性式測振儀振動的隔離轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速2018年10月12日<<振動力學>>8單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題主動隔振系數(shù)＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：F

ei

t0隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：

1

(1

s2)2

(2

s)201i(

t

)

ekFx(t)

1

2

s 1

s2

1

tgkA

F0

mF

ei

t0隔振前kcm隔振后i

tF0e單自由度系統(tǒng)受迫振動

/工程中的受迫振動問題

/振動的隔離振動的隔離將作為振源的機器設(shè)備與地基隔離，以減少對環(huán)境的影響稱為主動隔振2018年10月12日<<振動力學>>91(1

s2)2

(2

s)2

kx(t)

F0

ei(

t

1

)11

s2

12

s

tg22018

10月12日

tg

1

2

skm

0

2m

c

s

2

s

2

sc

c

k

(ic

k

)

F0

ei

(

t

1

)i[

t

(

1

2

)](1

s2)2

(2

s)2

e1

(2

s)2

F001i(

t

)

F

(1

i2

s)e單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

振動的隔離隔振材料：k，cmi

tF0e隔振后通過k、c傳到地基上的力： 隔振前F1

cx

(t)

kx(t)kcm隔振后F

ei

t年<<振動力學>>0001002018年10月12日隔振前機器傳到地基的力：F

ei

t01 2i[

t

(

)]e1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2F1

F020

1max

F

(1

s2)2

(2

s)21

(2

s)

F

隔振系數(shù)：單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

振動的隔離隔振后通過k、c傳到地基上的力：

隔振材料：k，cmi

tF0e隔振前kcm隔振后F

ei

t0主動隔振系數(shù)＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值11<<振動力學>>例：機器安裝在彈性支承上已測得固有頻率fn

12.5Hz阻尼比

0.15機器轉(zhuǎn)速

n＝2400r/min參與振動的質(zhì)量是

880kg不平衡力的幅值

1470N求：（1）機器振幅，（2）主動隔振系數(shù)（3）傳到地基上的力幅單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

振動的隔離解：

頻率比：

3.2

0 60 2

fns

2

n

12 2 60k

m

880

(2

12.5)

5.43

10 N彈性支承的剛度：機器振動的振幅

：1

0.0291(mm)B

F0

k(1

s2)2

(2

s)2

0.14912<<振動力學>>1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2主動隔振系數(shù)

：

傳到2地018基年1上0月1的2日力幅

：F1m

F0

0.149

1470

219N2018年10月12日<<振動力學>>被動隔振系數(shù)隔振后設(shè)備的振幅＝隔振前設(shè)備的振幅i

t基礎(chǔ)位移：x

f

(t)

Deei

(

t

)1

(2

s)2隔振前振幅：D隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：x(t)

D21

1

2(1

s2)2

(2

s)2s

1

tg

s2

1

tg

2x

f

Dei

tm隔振前fx

De12i

tkcm隔振后單自由度系統(tǒng)受迫振動

/工程中的受迫振動問題

/

振動的隔離振動的隔離將地基的振動與機器設(shè)備隔離，以避免將振動傳至設(shè)備，稱為被動隔振DD

1max

(1

s2)2

(2

s)21

s21

(2

s)2

工程中的受迫振動問題慣性式測振儀振動的隔離轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速2018年10月12日<<振動力學>>14單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速-

氣輪機、發(fā)電機等高速旋轉(zhuǎn)機械在開機或停機過程中經(jīng)過某一轉(zhuǎn)速附近時，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會發(fā)生劇烈振動臨界轉(zhuǎn)速-

在數(shù)值上很接近轉(zhuǎn)子橫向振動的固有頻率以單盤轉(zhuǎn)子為例轉(zhuǎn)軸質(zhì)量不計o

1oCl/22018年10月12日<<振動力學>>15l/2圓盤質(zhì)量

m 固定在轉(zhuǎn)軸中部圓盤質(zhì)心

C 形心

O1 偏心距

CO1＝e圓盤靜止時，形心O1

與旋轉(zhuǎn)中心O重合oo1Cl/2l/2xy軸以角速度 恒速旋轉(zhuǎn)由于離心慣性力，軸產(chǎn)生動撓度

OO1=

f

to1yCe

xfo xy圓盤俯視圖軸沿

x

和

y

方向的橫向剛度：l

32018年10月12日<<振動力學>>1648EIk

粘性阻尼力正比于圓盤形心

O1

的速度形心

O1

的坐標（x, y）質(zhì)心C的坐標：

(x

e

cos

t, y

e

sin

t)單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速oo1Cl/2l/2xy

too1yxCe

xfy圓盤俯視圖單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速d

2軸沿

x

和

y

方向的橫向l

3粘性阻尼力正比于圓盤形心

O1

的速度質(zhì)心C的坐標：(x

e

cos

t, y

e

sin

t)質(zhì)心運動定理：m (x

e

cos

t)

kx

cx

dt

2剛度： 48EIk

d

22018年10月12日<<振動力學>>117m (

y

e

sin

t)

ky

cy

dt

2即：

2

m

y

cy

ky

me

sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t右端項可看作激振力旋轉(zhuǎn)矢量

me

2ei

t在

x

和

y

方向上的投影，作用點C，方向沿CO2018年10月12日單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速

2

m

y

cy

ky

me

sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t

0

：轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)動而作橫向自由振動時的固有頻率m設(shè)：

0

k/

m

g/

l0l0：靜變形

to1yCe

xfo xy圓盤俯視圖oCo1l/2l/2x18<<振動力學>>yoo1Cl/2l/2xy單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速

2

m

y

cy

ky

me

sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t設(shè)：

0

k/

m1

c/(2m

0

)s

/

0s2(1

s2)2

(2

s)2

11

s2

1

2

s

tg

0

：轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)動而作橫向自由振動時的固有頻率

1 1

y

e

sin(

t

)

x

e

1

cos(

t

1

)212x2

y

(e

)形心O1的運動軌跡為一個圓x2f

y

2

e

1es2

2018年動10撓月12度日

：

to1yCe

(1

s2)2

(2

s)218<<振動力學>>xfo xy圓盤俯視圖oo1Cl/2l/2xy

m

y

cy

ky

me

2sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t

0

k/

m

c/(2m

0

)s

/

0s2(1

s2)2

(2

s)2

1

1

1

1

s22

s

tg可見，當阻尼比

較小時，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好（e

很?。?，動撓度

f

也會相當大，容易使軸破壞，這樣的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速：形心O1的動撓度：es2(1

s2)2

(2

s)2f

e

1

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速e當

s=1

時：

f

2

k

用20每18年分10月鐘12轉(zhuǎn)日(r/

min)速表示：n

60

f轉(zhuǎn)動頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率相等

too1yxCe

2

f0fm19<<振動力學>>xfy圓盤俯視圖2018年10月12日<<振動力學>>20oo1Cl/2l/2xy

m

y

cy

ky

me

2sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速s2(1

s2)2

(2

s)2

1

11

s2

1

2

s

tg0即

當

s

1時有：

1

1

11

y

e

sin(

t

)

x

e

1

cos(

t

1

)

可得：

y

e

sin

t

x

e

cos

t(x

e

cos

t,

y

e

sin

t)0圓盤和彎曲的軸都繞著質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)自動定心現(xiàn)象

1

轉(zhuǎn)

動頻率遠大于質(zhì)轉(zhuǎn)心子C固的有坐頻標率：0質(zhì)心C與旋轉(zhuǎn)中心O重合

too1yxCe

xfy圓盤俯視圖21例：葉片模擬試驗臺葉片質(zhì)量

158

kg轉(zhuǎn)軸：長

610mm，直徑

120mm彈性模量

E＝2.07

×

107

N/cm2材料比重

7.8×10-3

kg/cm3求：臨界轉(zhuǎn)速305

mm305

mm120

mm解：與葉片相比不能忽略4

61

7.8

10

53.8

kg轉(zhuǎn)軸質(zhì)量

m2

3

122由瑞利法，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為葉片質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸等效質(zhì)量的和，即：1 2m

m

17

m

158

17

53.8

184.1

kg軸的橫向剛度：6

4.43

10 N/

cm

k

35 3548EI 48

2.06

107

124184.1

14800 r/

min

臨2018界年1轉(zhuǎn)0月速12日：n

<<振動力學>>l

3 613

6460 k 30 4.43

106

1002

m

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

工程中的受迫振動問題

/

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速2018年10月12日<<振動力學>>22教學內(nèi)容線性系統(tǒng)的受迫振動工程中的受迫振動問題任意周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動23假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力：F

(t)

F

(t

T

)T

為周期傅立葉級數(shù)展開：

n

1F(t)

a0

(ancosn

1t

bnsin

n

1t)T1

2

記基頻：單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng)前面討論的強迫振動，都假設(shè)了系統(tǒng)受到激勵為簡諧激勵，但實際工程問題中遇到的大多是周期激勵而很少為簡諧激勵

nn

b

aa

TT

TT

TT

110F(t)sinn

tdt

2F(t)cosn

tdt2F(t

)dt2nnna

2b2c

nnb

tg

1

an

記：n

的偶函數(shù)n

的奇函數(shù)

2 0

2n

1a

cn

sin(n

1t

n

)2018年10月12日<<振動力學為>>任一時刻2018年10月12日<<振動力學>>242F(t)

a0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)

n

102a

cn

sin(n

1t

n

)n

1單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)傅里葉（JeanBaptiste

Joseph

Fourier,

1768-1830）法國數(shù)學家、物理學家，1817年當選為科學院院士，主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導出著名的熱傳導方程

，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅里葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。252n

1F(t)

a0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)

02n

1a

cn

sin(n

1t

n

)

2a

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)n

1運動微分方程

：m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0疊加原理

：nb2k

k

kncos(n

1t

n)

n

sin(n

1t

n

)]

x(t)

a0

[an

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)n

1

n

12k

a0k (1

n2

s2

)2

(2

ns)2an

cos(n

1t

n

)

bn

sin(n

1t

n

)2am

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

an

cos

n

1tm

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

bnsin

n

1ta2kx(t)

0

nka

ncos(n

1t

n)x(t)

nkb

nsin(n

1t

n)x(t)

1<<n振動力(1學

>n>2

s2

)2

(2

ns)22

018

年10月12日0

1s

km

0

1

n2s2

12n

s

n

tg代表平衡位置a02

產(chǎn)生的靜變形2n

1F(t)

a0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)

02n

1a

cn

sin(n

1t

n

)單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)

n

12ka0x(t)

k (1

n2

s2

)2

(2

ns)2an

cos(n

1t

n

)

bn

sin(n

1t

n

)不計阻尼時：

n

1k(1

n2

s2

)2ka0x(t)

ancosn

1t

bnsin

n

1t周期激勵通過傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的簡諧激勵的疊加，這種對系統(tǒng)響應(yīng)的分析被成為諧波分析法2018年10月12日26<<振動力學>>

2n

1am

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)<<振動力學>>27

2n

1

na0F

(t)

復(fù)數(shù)形式表示歐拉公式

：111

21in

t

in

t(e

e

)) cosn

t

11

21iin

t(e

esinn

t

in

t

nT

T

tdt1F

(t)

cos

na

2n的偶函數(shù)n的奇函數(shù)a

a

n n

b

b

n n

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)

nT

T

tdt1F

(t)

sin

nb

2,2n

an

ibn200aF

記：

F則：2F

nib

n

a

n

n

nF

e1F(t)

in

t周期激勵的復(fù)數(shù)形式：nnF

T2（取

）

2T2TF

(t)e1T

in

1t

dt

2018年10月1

2日T

T

F

(t)e

in

1t

dt1

(a cosn

1t

bnsinn

1t)

11

0

2

n

1

n n

2

n

1

n n

2ea

ibe

a

iba

in

tin

t其中：2an

ibn

2 T

T

F

(t)[cos

n

t

i

sin

n

t]dta

ibn

11128

n

1F(t)

Fnein

t

n

nF

e1in

t

系統(tǒng)運動方程

：

m

x

(t)

cx(t)

kx(t)

21T2TnF

(t)e

dt1TF

in

t疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

n

nA

ex(t)

i

(

n

1t

n

)n1

n2s2

1

2n

s

tg單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)

n

1 nx(t)

i

(

n

t

)iAnn

1e

n

n 11 n2 2 i

(

n

t

)An

e

x

(t)

求導

：代入運動方程

：

n

nn

nF

e11 nn 12 2kA

]ein

ti(n

t

)icAn

n

1[

mAn

nn

i

icn

)e

FA(k

mn

n 1 12 2A

k

(1

n2

s2

i

2

ns)e

i

n

Fn nnnA

k (1

n2

s2

)2

(2

ns)2

ei

n

e

i

n

F

0s

1201 2

0

2

0

c

c mk m k得

：1An

k

n

Fn1<<振動力學>>n(1

n2s2)2

(2

ns)2

因201此8年1有0月1：2日

1 nx(t)

Anen

i

(

n

t

)n1

n2s2

1

2n

s

tg系統(tǒng)響應(yīng)

：

n

a12in

tm

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0

Fnen n nkA

1

Fn(1

n2s2)2

(2

ns)2

1

Fne1 nn

k (1

n2

s2

)21x(t)

i

(

n

t

)

(2

ns)2分別為第n次諧波激勵所對應(yīng)的振幅放大因子和相位差

n和

n單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)2018年10月12日<<振動力學>>30例：

質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵求系統(tǒng)響應(yīng)

t

TT2

F

,2

F

, 0

t

TF(t)

00F

(t)2018年10月12日<<振動力學>>310FF00TT/

2t單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)

0 6

10

0.1問：為什么在常值力F0作用下，系統(tǒng)會產(chǎn)生振動？2018年10月12日解：

0激勵的周期：T

2

12

0彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率0

6

1激勵力的基頻

：

01

2n

1F(t)

a0

(ancosn

1t

bnsin

n

1t)

nnTb

aT

a

T

TT

110F

(t)

sin

n

tdt22

TF

(t)dt

20因

a 一周期內(nèi)總面積為0=02T12對稱，

而

cos

n

t

關(guān)于

T對稱區(qū)間

0,T

內(nèi)，F(xiàn)(t)

關(guān)于 為反F

(t)

cos

n

tdt

=0

n

n

1bsin

n

1tF

(t)

32<<振動力學>>0FF0

2

6 T0TT/

2t單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)

0 6

10

0.1n

1n 1

F(t)

b sinn

t

nT

T

1F

(t)

sin

n

tdtb

22T區(qū)間

[0, ]

內(nèi)TF

(t)

關(guān)于

4

為對稱14而n取偶數(shù)時，sin

n

t

關(guān)于

T

反對稱2T區(qū)間[ ,

T

]內(nèi)4F

(t)

關(guān)于3T

為對稱14而n取偶數(shù)時，sin

n

t

關(guān)于3T

反對稱n

2,4,6

因此 bn

0F

(t)2018年10月12日<<振動力學>>33F0F00TT/

2t單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)n

1n 1

F(t)

b sinn

t

nT

T

1F

(t)

sin

n

tdtb

2當

n

取奇數(shù)時bn

0n

2,4,6

n

Tn0T4010014FFsin

n8T2T

tdt

F

(t)

sin

n

tdt

b

n

1,3,5

于是，周期性激勵

F(t)

可寫為：

11

n

1,3,5

n

1nF

(t)

sin

n

1tn4F0

b sinn

t

52018年10月12日<<振動力學>>341311110

t

)

t

sin

5(sin

t

sin

34F

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)13 51 1104F

1F

(t)

t

)

t

sin

5(sin

t

sin

3

n

1,3,5

x

4F0

nsin(n

1t

n

)

k則有：nn (1

n2s2)2

(2

ns)2n1

n2s2

1

2n

s

tg0

s

1其中：

1 當不計阻尼時：

2018年10月12日<<振動力學>>351

n

1,3,5

4F0n(1

n2

s2

)

sin

n

1tx

k系統(tǒng)運動方程

：m

x

cx

kx

F

(t)單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

任意周期激勵的響應(yīng)教學內(nèi)容2018年10月12日<<振動力學>>36線性系統(tǒng)的受迫振動工程中的受迫振動問題任意周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)任意非周期激勵的響應(yīng)2018年10月12日<<振動力學>>37單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)

(t

)(t

)

(t

)

0且

(t

)dt

1

(t

)

的圖象用位于時刻τ、長度為

1

的有向線段表示-

單位脈沖力可利用狄拉克（Dirac）分布函數(shù)δ(t)

表示-

δ函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)，定義為：

(t

)t1

2018年10月12日<<振動力學>>380單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)-

對于脈沖激勵情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)δ函數(shù)：

(t

)

0 (t

)

(t

)

(t

)dt

1

(t

)

是一個廣義函數(shù)

0

(t

)

lim

(t

)可以看作矩形脈沖、脈沖面積為

1而脈=沖寬度ε趨于零時的極限

t

t為其它

0

1其中：

(t

)

(t

)

也可以定義為其它形狀的面積為

1

的脈沖2018年10

月12日量綱：1/秒

(t

)t10

(t

)t01

39<<振動力學>>單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)δ

函數(shù)的性質(zhì):2018年10月12日<<振動力學>>40

f

(t)

(t

)dt

f

(

)

特別地，當時刻

τ

=0

時，有

：

f

(t)

(t)dt

f

(0)實際應(yīng)用時，通常

f

(t)

在

t

0

時才有意義

t0f

(t)

(t

)dt

f(

)沖量為

I

0

的脈沖力可借助δ函數(shù)表示為：F

(t)

I0

(t)當

I0

=1

時，為單位脈沖力單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)F

(t)

1

(t)2018年10月12日<<振動力學>>40單位脈沖響應(yīng)記：

0+、0-

為單位脈沖力的前后時刻運動微分方程與初始條件可合寫為：

x(0 )

0,

x(0 )

0

m

x

cx

kx

1

(t)或脈沖響應(yīng)

乘dt

：在脈沖力作用的瞬間，位移來不及變化，但速度可產(chǎn)生突變dxx

dt

dx

0dx

令： x

0m

x

dt

cx

dt

kxdt

(t)dt mdx

(t)dt

(t)t00- 0+單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)現(xiàn)求處于零初始條件下的系統(tǒng)對單位脈沖力的響應(yīng)如果沖量為，0I0F(t)

I

(t)脈沖力則為

：0mdx

I

(t)dt

單位脈沖力41兩邊在區(qū)間0

t

0-內(nèi)對時間積分：

0

00

0

(t)dt

m

x

dt1

mx

(0

)

mx

(0

)x

(0

)

在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬間，位移則來不及有改變，即有：x(0+)

=

x(0-)又當

t

>0+時，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，所以

t

>0+

時，有：

m

x(0

)

0,x

(0

)

m

x

cx

kx

0

1單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)質(zhì)量越大，x

(0

)

越小質(zhì)量越小，x

(0

)

越大2018年10月12日<<振動力學>>m1mx

(0

)

I0單位脈沖力：mdx

(t)dt沖量為

I

0的脈沖力：mdx

I0

(t)dt2018年10月12日<<振動力學>>

m

x(0

)

0,x

(0

)

m

x

cx

kx

0

1系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)位初始位移為零、而初始速度為

1/m

的自由振動記為

h(t)ddm

e sin

t10

tx(t)

h(t)

無阻尼系統(tǒng)：001sin

tm

x(t)

h(t)

若單位脈沖力不是作用在時刻

t

=

0，而是作用在

t

=τ時刻：10sin

(t

)m

h(t

τ)

ed

(t

)d解為：如果系統(tǒng)在

t=τ時刻受到?jīng)_量為

I0

的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示為

：單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)0 0 00d

420 dsin

t)

dx

x(x cos

t

x(t)

I0h(t

τ), t

τx(t)

e

t

43mF

(

)

d

系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：并引起

t

>τ各個時刻的響應(yīng)d

tF

(t)單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)任意非周期激勵的響應(yīng)當處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力時，可以將激振力

F(t)

看作一系列脈沖力的疊加對于時刻

t

=τ的脈沖力 其沖量為：F

(

)d

系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

： dx

F

(

)h(t

)d

由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)在時間區(qū)間

0

t

內(nèi)各個脈沖響應(yīng)的總和

t0F

(

)h(t

)d

得：

x(t)

杜哈梅(Duhamel)積分

td010F

(

)e sin

d

(t

)d

m

(t

)10sin

(t

)e<<振動力學>>m

2h0(1t8年

1τ0月)

1

2日d

(t

)d

t0x(t)

F

(

)h(t

)d

t0利用卷積性質(zhì)：

x(t)

)d

F

(t

)h(若有初始條件，則：

tdddd00 0 01x(t)

e00(t

)d

sin

F

(

)em

sin

t)

x

x(x0cos

dt

(t

)

t

若阻尼為零，則：

tmωωx0000001sin

ω

t)

x(t)

(x0cosω0t

F

(

)

sin

ω

(t

τ)d

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)

2018年10月12日<<振動力學>>45

tdd010(t

)d

sin

F

(

)em

(t

)例：無阻尼彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)

0,0

t

t0t

t0

Q0

,F(t)

F

(t)2018年10月12日<<振動力學>>460Q0t0t單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)在（0，t0）時間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用求：

系統(tǒng)響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)

t0001x(t)

F

(

)

sin

m

(t

)d

t000Q0(t

)d

sin

m

020Q0m

00kQ(1

cos

t)(1

cos

t)

0

0,Q

, 0

t

t0t

t0解法一：F

(t)

F

(t)2018年10月12日<<振動力學>>47Q000tt（1）0

t

t0

時單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)

0

0,Q

, 0

t

t0t

t0F

(t)

F

(t)Q000tt

t0001x(t)

(t

)d

F

(

)

sin

m

[0000

t

tt(t

)d

]0

sin

Q0

sin

0

(t

)d

1m

000 01 Qm

[cos

0

(t

t0

)

cos

0t]

02018年10月12日<<振動力學>>480kQ[cos

(t

t0

)

cos

0t]

（2）t

t0

時單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)

0,0

t

t0t

t0

Q0

,F(t)

F

(t)0Q0t0t0（2）t

t

時00k[cos

(t

t0

)

cos

0t]x(t)

0（1）0

t

t

時00kQQ(1

cos

t)x(t)

2018年10月12日<<振動力學>>49

0 0

000

k0

t

t

kQx(t)

Q[cos

0

(t

t0

)

cos

0t], t

t(1

cos

t),因此，系統(tǒng)響應(yīng)：49單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)解法二：F

(t)0Q0tt

0 0 0 00000t], t

t

kQ 00

t

t

kQx(t)

[cos

(t

t)

cos

(1

cos

t),當t

>t0

時激振力已經(jīng)去除，此時系統(tǒng)將以時刻t

=t0

時的位移和速度為初始條件做自由振動，稱為殘余振動t

>t0

時的響應(yīng)可以求解如下先求得t=t 時刻的位移和速度：0

000kQ(1

cos

t

)x(t)

0

00 00ksin

tQ

x(t)

0t

>t0

時的響應(yīng)：00x(t

)sin

0

(t

t0

)x(t)

x(t0

)

cos

0

(t

t0

)

000

0

0 0 0kQt)

coskQ

sin

0t0sin

0(t

t)

(t

t)

(1

cos

0 0<<振動力學k>>2018年10Q月12日(t

t0

)

cos

0t]

[cos

例：試確定一個自由度系統(tǒng)對圖中施力函數(shù)的無阻尼響應(yīng)

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1

,F(t)

Q,F

(t)2018年10月12日<<振動力學>>512QQ101tt2t單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)

t0001x(t)

F

(

)

sin

m

(t

)d

t000Q1(t

)d

sin

m

020Q1m

(1

cos

t)01kQ(1

cos

t)

F

(t)2QQ101tt2t

（1）0

t

t1時

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1,F(t)

Q,單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)解法一：

k2018年10月12日<<振動力學>>52（2）t1

t

t2

時t0001x(t)

(t

)d

F

(

)

sin

m

[111001

t

tt

Q2

sin

0

(t

)d

]Qsin

(t

)d

0210 0Qm

01 Q

[1

cos

0

(t

t1

)]}

{ [cos

0

(t

t1

)

cos

0t]

m

201kQkQ

[1

cos

0

(t

t1

)](t

t1

)

cos

0t]

[cos

F

(t)2QQ101t2t t

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1,F(t)

Q,單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)2018年10月12日<<振動力學>>53t2

t（3）

0001x(t)

(t

)d

F

(

)

sin

m

F

(t)2QQ101t2t t

時t

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1,F(t)

Q,[211020

t

tt

Q sin

(t

)d

]Q1

sin

0

(t

)d

1m

00210 0Q1 Q

[cos

0

(t

t2

)

cos

0

(t

t1

)]}

{ [cos

0

(t

t1

)

cos

0t]

m

02018年10月12日<<振動力學>>5421kQkQ

(t

t2

)

cos

0

(t

t1

)][cos

[cos

0

(t

t1

)

cos

0t]

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)54解法二：F

(t)Q2Q10t1tt2F

(t)Q1t1tF

(t)t1tt2=

0+

0Q2F

(t)0Q0t0t一個自由度系統(tǒng)對矩形沖量的無阻尼反應(yīng)：

<<振動力學>>0

0

k0

t

t0 (1)

Q0x(t)

Q[cos

0

(t

t0

)

cos

0t], t

t (2)

k (1

cos

0t),2018年10月12t0日：矩形沖量持續(xù)的時間單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)2018年10月12日Q2Q10tt1 t2F

(t) F

(t)Q1t1tF

(t)t1tt2=

0+

0Q2F

(t)Q00t0t

000000t],

t

t

(2)

k0

t

t

(1)

kQx(t)

Q

[cos

0

(t

t0

)

cos

(1

cos

t),（1）0

t

t1時應(yīng)用（1）式：055<<振動力學>>1kQ(1

cos

t)x(t)

單自由度系統(tǒng)受迫振動

/

非周期激勵的響應(yīng)2018年10月12日Q2Q10tt1 t2F

(t) F

(t)Q1t1tF

(t)t1tt2=

0+

0Q2F

(t)Q00t0t1對于Q

的反應(yīng)，應(yīng)用（2）式：

000000t],

t

t

(2)

k0

t

t

(1)

kQx(t)

Q

[cos

0

(t

t0

)

cos

(1

cos