中考相似三角形

年級科目授課教師授課類型學(xué)生姓名教學(xué)時間課時2H教學(xué)主題1.理解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.相似三角形教學(xué)目的重點難點課前檢查作業(yè)完畢狀況：優(yōu)□良□中□差□提議：教學(xué)過程及內(nèi)容相似三角形【知識網(wǎng)絡(luò)】【知識點梳理】一、比例線段1.比例線段的有關(guān)概念在四條線段a，b，m，n中，假如其中兩條線段的比等于此外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.概念解讀：①成比例線段是有次序的，若a，b，c，d是成比例線段，則a：b=c：d，其中線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.②假如b=c，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.③在判斷成比例線段時，長度單位必須相似。例1.（秋?朝陽區(qū)校級月考）下面四組線段中，成比例的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5d＝10 D．a(chǎn)=2，b=3，c＝3，【分析】假如其中兩條線段的乘積等于此外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故選項錯誤；B、1×4＝2×2，故選項對的；C、4×10≠5×6，故選項錯誤；D、3×3≠2×【點評】此題考察了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，此外兩個相乘，看它們的積與否相等．同步注意單位要統(tǒng)一．【變式1-1】（?成都模擬）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，則d的長度為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義計算即可．【解答】解：由于a，b，c，d是成比例線段，可得：d=2×63=4cm【點評】此題考察了成比例線段的定義．此題比較簡樸，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例線段的定義．【變式1-2】（?龍崗區(qū)校級模擬）若a是2，4，6的第四比例項，則a＝；若x是4和16的比例中項，則x＝．【分析】根據(jù)第四比例項的概念，得2：4＝6：a，則a可求；根據(jù)比例中項的概念，得x2＝4×16，則x可求．【解答】解：∵a是2，4，6的第四比例項，∴2：4＝6：a，∴a＝12；∵x是4和16的比例中項，∴x2＝4×16，解得x＝±8．故答案為：12；±8．【點評】考察了比例線段，此題的重點是理解第四比例項、比例中項的概念，根據(jù)概念對的寫出比例式．【變式1-3】（秋?皇姑區(qū)期末）已知四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為．【分析】根據(jù)對于四條線段a、b、c、d，假如其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．【解答】解：∵四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，∴a：3＝（a+1）：4即3（a+1）＝4a解得a＝3．故答案為3．【點評】本題考察了比例線段，處理本題的關(guān)鍵是掌握比例線段的定義．二、黃金分割【措施點撥】黃金分割：把線段AB提成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5例2.（?福建模擬）在線段AB上，點C把線段AB提成兩條線段AC和BC，假如ACAB=BCAC，那么點C叫做線段AB的黃金分割點．若點P是線段MN的黃金分割點，當(dāng)MN＝1時，【分析】分PM＞PN和PM＜PN兩種狀況，根據(jù)黃金比值計算．【解答】解：當(dāng)PM＞PN時，PM=5?12MN=5?12，當(dāng)PM＜PN時，PM故答案為：5?12或3?5【變式2-1】（秋?靜安區(qū)期中）假如點C是線段AB的黃金分割點，那么下列線段比的值不也許是5?1A．ACBC B．BCAC C．BCAB【分析】根據(jù)把一條線段提成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（5?1【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，∴AC2＝AB?BC（AC＞BC），則ACAB或BC2＝AB?AC（AC＜BC），則ACBC=BCAB=5?1【點評】此題重要考察了黃金分割比的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是處理問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（春?相城區(qū)期末）如圖，已知點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，若S1表達(dá)AE為邊長的正方形面積，S2表達(dá)以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表達(dá)正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，則S3：S2的值為（）A．5?12 B．5+12 C．【分析】根據(jù)黃金分割的定義：把線段AB提成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5?1【解答】解：如圖，設(shè)AB＝1，∵點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，∴AE＝GF=5?12，∴BE＝FH＝AB﹣∴S3：S2＝（GF?FH）：（BC?BE）＝（5?12×=5?12【點評】本題考察了黃金分割、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，處理本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義．【變式2-3】（?瀘州）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的一段GN的比例中項，即滿足MGMN=GNMG=5?12，后人把5?12這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，A．10﹣45 B．35?5 C．5?252【分析】作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH＝CH=12BC＝2，則根據(jù)勾股定理可計算出AH=5，接著根據(jù)線段的“黃金分割”點的定義得到BE=5?12BC＝25【解答】解：作AH⊥BC于H，如圖，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12在Rt△ABH中，AH=32?22=5∴BE=5?12BC＝2（5?1）＝25?2，∴HE＝BE﹣BH＝2∴DE＝2HE＝45?8∴S△ADE=12×（45?8）×【點評】本題考察了黃金分割：把線段AB提成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5?12AB≈0.618AB成比例線段、比例的基本性質(zhì)①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（a,b,c,d,都不為0）；合比性質(zhì)：；等比性質(zhì)：例3.已知非零實數(shù)a,b,c,滿足求c的值?！咀兪?-1】（?徐匯區(qū)一模）已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代數(shù)式3a?b+c2a+3b?c的值；（2）假如3a﹣b+c＝24，求a，b，c【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后裔入比例式進(jìn)行計算即可得解；（2）先設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后將其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，∴設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），則3a?b+c2a+3b?c（2）設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），則6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．則a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．【點評】本題考察了比例的性質(zhì)，運用“設(shè)k法”求解更簡便．【變式3-2】（秋?永登縣期末）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a【分析】令第一種等式等于k，表達(dá)出a，b，c，代入第二個等式求出k的值，即可作出判斷．【解答】解：設(shè)a+43=b+32=c+84=k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴【點評】此題考察了比例的性質(zhì)，以及勾股定理的逆定理，純熟掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（秋?碑林區(qū)校級月考）已知2ab+c+d=2ba+c+d【分析】根據(jù)等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分兩種狀況討論，即可得到【解答】解：∵2ab+c+d=2ba+c+d=當(dāng)a+b+c+d≠0時，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；當(dāng)a+b+c+d＝0時，b+c+d＝﹣綜上所述，k的值為23【變式3-4】（秋?雁江區(qū)校級月考）已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+c【分析】已知等式運用比例的性質(zhì)化簡表達(dá)出a+b，a+c，b+c，代入原式計算即可得到成果．【解答】解：當(dāng)a+b+c≠0時，運用比例的性質(zhì)化簡已知等式得：a+b?cc即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，整頓得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，此時原式=8abc當(dāng)a+b+c＝0時，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，則原式＝﹣1．綜上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc四、平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．比例式仍成立，由于圖形中有關(guān)的對應(yīng)線段均沒變化。例4.如圖，已知DE//BC,EF//AB,現(xiàn)得到下列結(jié)論：其中對的比例式的個數(shù)有（）A.4個B.3個C.2個D.1個【變式4-1】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，且DE//BC，AEEC=52，DE=10，則BCA.16

B.14

C.12

D.11【答案】B【解析】解：∵AEEC=52，∴AEAC=57，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC五、相似三角形的基本圖形【措施點撥】相似三角形的鑒定措施匯總：1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、鑒定定理1：假如一種三角形的兩個角與另一種三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．4、鑒定定理2：假如一種三角形的兩條邊與另一種三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、鑒定定理3：假如一種三角形的三條邊與另一種三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似例5.（秋?瑞安市期末）如圖，下面圖形及各個選項均是由邊長為1的小方格構(gòu)成的網(wǎng)格，三角形的頂點均在小方格的頂點上，下列四個選項中哪一種陰影部分的三角形與已知△ABC相似（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，運用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意得：AC=12+22=∴BC：AB：AC＝1：2：5，A、三邊之比為1：2：5，選項A符合題意；B、三邊之比2：5：3，選項B不符合題意；C、三邊之比為2：5：17，選項C不符合題意；D、三邊之比為5：5：4，選項D不符合題意．故選：A．【點評】此題考察了相似三角形的鑒定，純熟掌握相似三角形的鑒定措施是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（秋?順義區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷．【解答】解：由題意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵ABBC=ADDE=∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故選：A．【點評】本題考察相似三角形的鑒定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識處理問題．（1）基礎(chǔ)模型梳理--“A”字型【措施點撥】基礎(chǔ)模型：A字型（平行）反A字型（不平行）斜A共邊共角（1）斜A共邊共角（2）例6.如圖，△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE//BC.若AD=1，BD=2，則△ADE與△ABC的面積之比為(????)A.1：2

B.1：3

C.1：4

D.1：9【答案】D【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES【分析】由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，運用相似三角形的性質(zhì)即可求出△ADE與△ABC的面積之比．本題考察了相似三角形的鑒定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（?東明縣模擬）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的長．（2）在△ABC中，點D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．小明認(rèn)為DPBQ=【分析】（1）證明△ADE∽△ABC，因此ADAD+BD=AEAE+EC，代入數(shù)據(jù)即可求出CE的長度．（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，因此△【解答】解：（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）結(jié)論對的，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△同理可得：EPCQ=【點評】本題考察相似三角形，解題的關(guān)鍵是純熟運用相似三角形的性質(zhì)與鑒定，本題屬于中等題型．【變式6-2】（?東莞市一模）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，線段AG分別交線段DE，BC于點F，G，且ADAC=（1）求證：△ADF∽△ACG；（2）若ADAC=3【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB運用相似三角形的鑒定即可證出△ADE∽△ACB；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)再得出∠ADF＝∠C，即可證出△ADF∽△ACG；（2）由（1）的結(jié)論以及相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】（1）證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，又∵ADAC∴△ADF∽△ACG；（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，∵ADAC【點評】本題考察相似三角形的性質(zhì)和鑒定，記住相似三角形的鑒定措施是處理問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【變式6-3】（?越城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．假如BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．【分析】只要證明△ACD∽△CBD，可得ACBC【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ACBC=CDBD=6【點評】本題考察相似三角形的鑒定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對的尋找相似三角形處理問題，屬于中考?？碱}型(2)相似基本模型（X字型）基礎(chǔ)模型：X字型（平行）蝴蝶型（不平行）燕尾型圖1：圖2：圖3：例7.如圖，AB//CD，AOOD=23，則△AOB的周長與△DOCA.25

B.32

C.49

【答案】D【解析】解：∵AB//CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，

，故選D．

【分析】由平行可證明△AOB∽△DOC，再結(jié)合條件運用相似三角形的性質(zhì)可求得答案．

本題重要考察相似三角形的鑒定和性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（秋?濱江區(qū)期末）如圖，AD與BC交于點O，EF過點O，交AB與點E，交CD與點F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO（1）求證：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求證：CF＝DF．【分析】（1）證明△OAB∽△ODC，可得出結(jié)論；（2）證得AB∥CD，可得AEDF=OE【解答】證明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．（2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF【點評】本題考察了相似三角形的鑒定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．純熟掌握定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（秋?花都區(qū)期末）如圖：已知?ABCD，過點A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長；（2）證明：AF2＝FG·FE．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，證明△EGC∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可；（2）分別證明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CGAB=EC解得，CG＝1；（2）證明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FGFA=DFFB，∴AD∥CB，∴△AFD∽△∴FGFA=AFFE，即AF2＝【點評】本題考察的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的鑒定和性質(zhì)，掌握相似三角形的鑒定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（秋?朔城區(qū)期末）如圖，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值【分析】證明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG∥【解答】解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AF∴CD=13BD，∴AGCD=32，∵AG∥BD，∴△【點評】本題考察相似三角形的鑒定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是純熟掌握基本知識．【變式7-4】（秋?黃浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的鑒定證明△ABD∽△EBC即可；（2）由相似三角形的鑒定證明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再運用相似三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA?BC＝BD?BE．即ABBC=BDBE，∴△（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝【點評】此題考察相似三角形的鑒定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的鑒定措施解答．

（3）相似基本模型（AX型）【措施點撥】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.（?叢臺區(qū)校級三模）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長度．【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出ADAB=AEAC，結(jié)合∠DAE＝∠BAC可證出△（2）由△ADE∽△ABC，運用相似三角形的性質(zhì)可得出DEBC=13及∠ADE＝∠ABC，運用“同位角相等，兩直線平行”可得出DE∥BC，進(jìn)而可得出△DEF∽△【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，又∵∠DAE（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∴DFCF=DECB，即【點評】本題考察了相似三角形的鑒定與性質(zhì)以及平行線的鑒定，解題的關(guān)鍵是：（1）運用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證出△ADE∽△ABC；（2）運用相似三角形的性質(zhì)及平行線的鑒定定理，找出DE∥BC．【變式8-1】（?江夏區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結(jié)AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G．假如CEBE=2【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，運用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合CEBE=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，運用相似三角形的性質(zhì)可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出FEEG=916．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∴EFAF=BEDA．又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，∴GE【點評】本題考察了相似三角形的鑒定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，運用相似三角形的性質(zhì)，找出AE=83EF及GE=【變式8-2】（秋?五華縣期末）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，E是邊BA延長線上的一點，連接EM，分別交線段AD于點F、AC于點G．（1）求證：△AFG∽△CMG；（2）求證：GFGM=【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，則結(jié)論得證；（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，證明△AEF∽△BEM，可得出AFBM【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；（2）證明：∵△AFG∽△CMG，∴GFGM=AFCM∵AD∥BC，∴△AEF又∵CM＝BM，∴AFCM=EF【點評】本題考察平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的鑒定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是純熟掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式8-3】（?黃浦區(qū)一模）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點E，點F在線段BC上，ABCD=1（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【分析】（1）只要證明BEED=BFFC=（2）設(shè)△ABE的面積為m．運用相似三角形的性質(zhì)，等高模型求出△BCE，△ECD的面積即可處理問題；【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，∵BFCF=12（2）解：設(shè)△ABE的面積為m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（AB∴S△CDE＝4m，∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m，∴S△ABE：S△EBC：S△ECD【點評】本題考察平行線的鑒定和性質(zhì)，相似三角形的鑒定和性質(zhì)，等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是純熟掌握基本知識，學(xué)會運用參數(shù)處理問題，屬于中考常考題型．相似基本模型（一線三等角型）①同側(cè)型②異側(cè)型例9.（?肥東縣二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中點，E是BC上一點，BE=52，∠AED＝∠B，則CEA．152 B．223 C．365【分析】證明△BAE∽△CED，推出BACE【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，∴△BAE∽△CED，∴BACE=BECD，∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE∴CE=365，故選：【點評】本題考察相似三角形的鑒定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是對的尋找相似三角形處理問題，屬于中考?？碱}型．【變式9-1】（秋?資陽區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，則△ABC的邊長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可證得△ABP∽△PCD，據(jù)此解答即可，．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；ABPC=BPCD，∵∴ABAB?2=21，∴AB＝4，∴△【點評】本題考察了相似三角形的性質(zhì)和鑒定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABP∽△PCD，重要考察了學(xué)生的推理能力和計算能力．【變式9-2】（秋?楊浦區(qū)校級月考）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一點，BD＝2，E是BC上一動點，聯(lián)結(jié)DE，并作∠DEF＝∠B，射線EF交線段AC于F．（1）求證：△DBE∽△ECF；（2）當(dāng)F是線段AC中點時，求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF，假如△DEF與△DBE相似，求FC的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，由三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠DEF＝∠B，根據(jù)相似三角形的鑒定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（3）當(dāng)∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF＝2；當(dāng)∠DFE＝∠BED，推出點E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，過E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，得到AE是∠BAC的角平分線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；（2）∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，∵F是線段AC中點，∴CF=12（3）∵△DEF與△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，當(dāng)∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，∵AC＝6，∴CF＝2；當(dāng)∠DFE＝∠BED，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，∴點E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，過E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，∴EM＝EG＝EN，∴AE是∠BAC的角平分線，∴BE＝CE=52，∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF綜上所述，F(xiàn)C的長為2或258．【點評】本題考察了相似三角形的鑒定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的鑒定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對的的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（?嘉定區(qū)二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上（點E不與點A、B重疊），點F在邊AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）如圖1，當(dāng)∠EDF＝90°時，求證：BE＝AF；（2）如圖2，當(dāng)∠EDF＝45°時，求證：DE【分析】（1）連接AD，證△BDE≌△ADF（ASA），即可得出結(jié)論；（2）證明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF【解答】證明：（1）連接AD，如圖1所示：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵點D是邊BC的中點，∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．∴BECD=BD又∵BD＝CD，∴DE【點評】本題考察了相似三角形的鑒定與性質(zhì)、全等三角形的鑒定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；純熟掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．六．相似三角形的應(yīng)用例10.身高為165cm的小冰在中午時影長為55cm，小雪此時在同一地點的影長為60cm，那么小雪的身高為(????)A.185cm B.180cm C.170cm D.160cm【答案】B【解析】解：∵小冰的身高小冰的影長=小雪的身高小雪的影長，∴小雪的身高=小冰的身高小冰的影長×小雪的影長=165【變式10-1】在如圖所示的象棋盤(各個小正方形的邊長均相等)中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形相似(????)A.①處 B.②處 C.③處 D.④處【答案】B【解析】本題考察了相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是運用勾股定理求得三角形的各邊的長，難度不大．確定“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形的三邊的長，然后運用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等確定第三個頂點的位置即可．

【解答】解：帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形的三邊的長分別為2、25、42；

“車”、“炮”之間的距離為1，“炮”②之間的距離為5，“車”②之間的距離為22，

∵525=【變式10-2】如圖，小明為了測量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離)，在涼亭的旁邊放置一種與涼亭臺階BC等高的臺階DE(DE=BC=0.5米，A、B、C三點共線)，把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得CG=15米，然后沿直線CG后退到點E處，這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃，測得EG=3米，小明身高1.6米，則涼亭的高度AB約為(????)A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米【答案】A【解析】解：由題意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴ACEF=CGGE，∴AC1.6=153，

∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．

【變式10-3】已知△ABC，D是AC上一點，尺規(guī)在AB上確定一點E，使△ADE∽△ABC，則符合規(guī)定的作圖痕跡是(????)A. B.

C. D.【答案】A【分析】本題重要考察作圖?相似變換，根據(jù)相似三角形的鑒定明確過點D作一角等于∠B或∠C，并純熟掌握做一種角等于已知角的作法是解題的關(guān)鍵．以DA為邊、點D為頂點在△ABC內(nèi)部作一種角等于∠B，角的另一邊與AB的交點即為所求作的點．

【解答】解：如圖，點E即為所求作的點．

故選：A．

【變式10-4】如圖，有一塊直角邊AB=4cm，BC=3