矩陣及其初等變換

第二章矩陣及其初等變換矩陣將一組有序的數(shù)據(jù)視為“整體量”進(jìn)行表述和運(yùn)算，使得問題變得簡潔和易于了解本質(zhì)，矩陣是解線性方程組的有力工具，是線性代數(shù)中的主要研究對(duì)象，矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的基本內(nèi)容.本章重點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)、存在條件、求法矩陣的分塊運(yùn)算法矩陣的初等變換及初等矩陣矩陣的秩及其性質(zhì)1§2.1矩陣的概念二、矩陣的定義與記號(hào)一、關(guān)于矩陣三、特殊矩陣四、矩陣舉例2一、關(guān)于矩陣1850年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣的概念.1858年卡萊（A.Cayley）建立了矩陣運(yùn)算規(guī)則.矩陣的應(yīng)用十分廣泛：自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域.如在觀測(cè)、導(dǎo)航、機(jī)器人的位移、化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識(shí)別，以及計(jì)算機(jī)層析X射線照相術(shù)等方面，都有廣泛的應(yīng)用.3二、矩陣的定義與記號(hào)Def2.1

由個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為行列矩陣，簡稱矩陣.

為表示這個(gè)數(shù)表是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作4這個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)位于矩陣的第i行第j列，稱為矩陣的(i,j)元.以數(shù)為(i,j)元的矩陣可簡記作或.矩陣A也記作矩陣的記號(hào)是在數(shù)表外加上括弧，與行列式的記號(hào)(在數(shù)表外加上雙豎線)是不同的，這是兩個(gè)不同的概念.矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等.元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.5同型矩陣:

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣.矩陣相等：如果與是同型矩陣，并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作6三、特殊矩陣行矩陣(行向量)：列矩陣(列向量)：只有一行的矩陣，記作矩陣只有一列的矩陣，記作矩陣方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣.n階矩陣A也記作7零矩陣：對(duì)角矩陣(對(duì)角陣)：單位矩陣(單位陣)：上三角矩陣：下三角矩陣：數(shù)量矩陣(純量矩陣)：元素都是零的矩陣，記作0.不同型的零矩陣是不同的，例如不在對(duì)角線上的元素都是0.這種方陣稱為對(duì)角矩陣，簡稱對(duì)角陣，用表示，即從左上角到右下角的直線(叫做(主)對(duì)角線)上的元素都是1，其它元素都是0，這種矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，用

E表示，即，在n

階方陣中，若主對(duì)角線左下方所有元素全為零，這樣的方陣稱為上三角形矩陣，簡稱為上三角陣.在n

階方陣中，若主對(duì)角線左上方所有元素全為零，這樣的方陣稱為下三角形矩陣，簡稱為下三角陣.不在對(duì)角線上的元素都0，主對(duì)角線上的元素相同，這種矩陣稱為數(shù)量矩陣，又稱純量矩陣，用kE表示，

即8四、矩陣舉例例1.1某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣其中為工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量.這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可列成矩陣其中為第種產(chǎn)品的單價(jià)，為第種產(chǎn)品單件重量.從兩個(gè)矩陣可以清楚看出這個(gè)廠的產(chǎn)品的信息.9例1.2四個(gè)城市間的單向航線如下圖所示，若令

1234則這個(gè)圖可以用矩陣表示為用矩陣表示這個(gè)圖后，就可以用計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)圖進(jìn)行分析和計(jì)算.10例1.3n個(gè)變量與m個(gè)變量之間的關(guān)系式稱為從變量到變量的線性變換.線性變換(1)的系數(shù)構(gòu)成矩陣稱為線性變換的系數(shù)矩陣，線性變換與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.11§2.2矩陣的基本運(yùn)算一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、方陣的行列式六、矩陣的共軛12一、矩陣的加法Def2.2

兩個(gè)同為的矩陣相加后得一矩陣，其元素為兩矩陣對(duì)應(yīng)元素的和.即只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法.1314矩陣的加法運(yùn)算規(guī)則交換律：結(jié)合律：設(shè)矩陣記稱為矩陣的負(fù)矩陣.

15二、數(shù)與矩陣的乘法（矩陣的數(shù)乘）Def2.3

階矩陣A與一個(gè)數(shù)k相乘后得一矩陣，其元素為原矩陣對(duì)應(yīng)元素乘以這個(gè)數(shù).記作矩陣A的負(fù)矩陣；純量矩陣.1617數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)則

矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.18三、矩陣的乘法某家電公司向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量如下表：空調(diào)冰箱29``彩電25``彩電甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505019

這四種產(chǎn)品的售價(jià)(單位：百元)及重量(單位：千克)如下:售價(jià)重量空調(diào)3040冰箱163029``彩電223025``彩電1820問：該公司向每個(gè)商店出售產(chǎn)品的總售價(jià)及總重量分別是多少？20甲商店乙商店丙商店售價(jià)重量21Def2.4

設(shè)，若定義一個(gè)新的矩陣其中則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B之積，記作只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，矩陣的乘積才有意義.乘積矩陣的第i行第j列元素等于左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和.兩個(gè)矩陣的乘積仍然是一個(gè)矩陣，且乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù).22特別注意-乘積不可交換AB乘積一般不可以交換，(1)AB為矩陣，但BA無意義；若則稱矩陣乘積可交換.(2)AB和BA均有意義，但AB為2階矩陣，BA為3階矩陣.(3)

由于矩陣不可交換，所以矩陣乘法分為左乘和右乘.23解:例2.1求矩陣(教材P36

例2)的乘積AB.

與A是矩陣，B是矩陣，A的列數(shù)等于B的行數(shù)，所以矩陣A與B可以相乘.乘積矩陣是矩陣.24解:與的乘積AB及BA.例2.2求矩陣(教材P37

例3)此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出25例2.3計(jì)算矩陣的乘積AB.解：上三角矩陣與上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣，下三角矩陣與下三角矩陣的乘積仍為下三角矩陣.26矩陣的乘法-運(yùn)算規(guī)則

或簡寫成

純量矩陣與方陣的乘積

第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是可交換的．27方陣的冪定義設(shè)A是n階方陣，定義此定義表明，就是k個(gè)A連乘，并且顯然，只有方陣，它的冪才有意義.運(yùn)算規(guī)則

特別注意

一般來說，與不相等.28稱為方陣

的次多項(xiàng)式.設(shè)

為數(shù)的次多項(xiàng)式，記同一個(gè)方陣的兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式是可交換的:設(shè)是A的兩個(gè)多項(xiàng)式，則由此可知，方陣的多項(xiàng)式可以像數(shù)的多項(xiàng)式一樣分解因式.如方陣的多項(xiàng)式29當(dāng)A與B可交換時(shí)，有與數(shù)類似的乘法公式.30例2.4計(jì)算矩陣乘積31例2.5求與矩陣A可交換的所有矩陣.(教材P44,Ex.4)解：設(shè)與A可交換的矩陣為32例2.6求矩陣A的冪.(教材P42,例9)解：33例2.7求矩陣AB的冪.(教材P42,例10)解：34例2.8求矩陣A的冪.(教材P44,Ex.5-(3))解：解：35§2.2矩陣的基本運(yùn)算(續(xù))一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、方陣的行列式六、矩陣的共軛36Def2.5

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.即若則其中則它的轉(zhuǎn)置矩陣為設(shè)矩陣四、矩陣的轉(zhuǎn)置37對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣設(shè)為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱矩陣，簡稱對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的特點(diǎn)是:它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)相等.38設(shè)為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為反對(duì)稱矩陣，簡稱反對(duì)稱陣.反對(duì)稱陣的特點(diǎn)是:它的主對(duì)角線上的元素全為零，其它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)互為相反數(shù).39

矩陣的轉(zhuǎn)置-運(yùn)算規(guī)則40例2.9已知求解法1解法2

此例驗(yàn)證了矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)則441注意和

的區(qū)別證:所以H是對(duì)稱陣.例2.10設(shè)列矩陣滿足，E為E為n階單位矩陣，證明H是對(duì)稱陣，且要證明一個(gè)方陣是不是對(duì)稱陣，就是驗(yàn)證它是否滿足對(duì)稱陣的條件

42例2.11設(shè)A與B是同階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是A與B是可交換矩陣.(教材P43,例11)證：因?yàn)椋杂挟?dāng)AB是對(duì)稱矩陣即時(shí)，有AB=BA，所以此時(shí)A與B是可交換矩陣；當(dāng)A與B是可交換矩陣即AB=BA時(shí)，有所以此時(shí)AB是對(duì)稱矩陣故，AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是A與B是可交換矩陣.43五、方陣的行列式Def01

由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作或特別注意方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，方陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式則是一個(gè)數(shù).方陣與它的行列式又是緊密相關(guān)的，方陣的行列式是方陣按照一定方式確定的一個(gè)數(shù)，所以方陣的行列式可看作方陣的函數(shù)；同時(shí)，方陣的行列式是方陣特性的重要標(biāo)志.44由A確定-運(yùn)算規(guī)則注意但但45設(shè)記2n階行列式一方面，根據(jù)公式有另一方面，46474849Def02

當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記

稱為的共軛矩陣.

由A確定-運(yùn)算規(guī)則六、矩陣的共軛50§2.3逆矩陣一、逆矩陣的定義

二、逆矩陣的存在條件四、逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)三、逆矩陣的求法五、逆矩陣的應(yīng)用舉例51一、逆矩陣的定義

Def2.6

對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使則稱矩陣A是可逆矩陣或者非奇異矩陣，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣.若不存在滿足上式的矩陣B，則稱A是不可逆矩陣或者奇異矩陣.此定義表明只有方陣才可能有逆陣.求逆矩陣運(yùn)算可以看作矩陣乘法的逆運(yùn)算.但是能進(jìn)行的條件十分苛刻的.52二、逆矩陣的存在條件Thm2.1

如果矩陣A是可逆的，那么它的逆矩陣是唯一的.因此，我們把矩陣A的逆矩陣記作.證:假設(shè)矩陣A可逆，B、C都是它的逆矩陣,則因此，所以A的逆陣是唯一的.53為了討論矩陣可逆的充分必要條件，先定義一個(gè)新矩陣54Def2.7

設(shè)是n階矩陣的行列式中元素的代數(shù)余子式，則稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣，記作55這是定理的充分條件，必要性是顯然的證:根據(jù)伴隨陣的性質(zhì)，有當(dāng)時(shí)，有根據(jù)矩陣可逆的定義知，矩陣A可逆，且Thm2.2

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是.且如果A為可逆矩陣，則有56定理2給出了計(jì)算逆矩陣的一個(gè)方法：1）計(jì)算2）計(jì)算3）寫出根據(jù)定理2，可以將定義中的條件AB=BA=E改進(jìn)一點(diǎn).57推論設(shè)A，B為n階矩陣，若AB=E或者BA=E，則矩陣A，B都可逆，且此推論表明，要判斷矩陣B是否是A的逆矩陣，不必嚴(yán)格按照定義檢驗(yàn)AB=BA=E，而只要檢驗(yàn)AB=E或BA=E.58例3.1

設(shè)n階方陣A，B滿足A+B=AB，證明A–E可逆,并給出的表達(dá)式.(教材P51,Ex.8)解：依據(jù)推論，只需尋找到適當(dāng)矩陣與A-B相乘的結(jié)果為E.所以A–E可逆，且59三、逆矩陣的求法方法一：直接依據(jù)定義，將矩陣A的逆陣的每個(gè)元素作為未知數(shù)，列出線性方程組，參看教材P45,例1.方法二：依據(jù)定理2，根據(jù)公式方法三：依據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，運(yùn)用初等變換求逆.(第五節(jié)將介紹)60例3.2求二階矩陣的逆矩陣.解：所以，當(dāng)時(shí)，有注意比較矩陣A與，此例的結(jié)果應(yīng)作為公式記住.61例3.3求方陣A的逆陣.

解：所以存在，再計(jì)算的余子式，62四、逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)若A可逆，則亦可逆，且若A可逆，數(shù)，則亦可逆，且若A、B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且若A可逆，則亦可逆，且逆矩陣的行列式方陣的負(fù)冪次方：若A可逆，規(guī)定63五、逆矩陣的應(yīng)用舉例-求解矩陣方程設(shè)A、B

為可逆矩陣，左乘兩邊右乘兩邊左乘兩邊右乘兩邊64例3.4設(shè)矩陣X滿足其中矩陣解：由得由于得故可逆，且65于是，用左乘、右乘的兩邊，得66例3.5設(shè)矩陣求矩陣X，使之滿足AXB=C.(教材P49,例5)解：由知A，B都是可逆矩陣，且用左乘，以右乘AXB=C，得67例3.6已知可逆矩陣求其伴隨矩陣的逆矩陣.(教材P50,例6)解：若按照常規(guī)方法，計(jì)算量較大68例3.7設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為，證明(教材P48,例4)證：(1)當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)時(shí),下面用反證法，證明若，則可逆，又因?yàn)樗詮亩眠@與矛盾！故當(dāng)時(shí),69§2.4分塊矩陣在處理較高階數(shù)的矩陣時(shí)，對(duì)于求逆矩陣或者其他需要，常把一個(gè)大矩陣看成是由若干個(gè)小矩陣組合而成，這些小矩陣可稱為大矩陣的子塊或者子陣.用子陣來表示矩陣的方法稱為矩陣的分塊表示，這樣不僅使原矩陣顯得結(jié)構(gòu)簡單又清晰，而且可以簡化運(yùn)算過程.一、分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算三、常用的分塊法70一、分塊矩陣Def2.8

一個(gè)矩陣A被縱線和橫線按一定需要分成若干個(gè)低階矩陣，每一個(gè)低階矩陣稱為矩陣A的子塊，以所生成的子塊為元素的矩陣稱為矩陣A的分塊矩陣.以這些子塊為元素，于是，得到A的按照這種分法的分塊矩陣：得到4個(gè)子塊：一個(gè)矩陣可以按照不同的方法進(jìn)行分塊，不同的場(chǎng)合采用不同的分塊方法;一個(gè)以數(shù)為元素的矩陣也可以看作其本身的分塊矩陣.矩陣分塊后，能夠使得運(yùn)算變得簡潔.71二、分塊矩陣的運(yùn)算1.分塊矩陣的加法設(shè)矩陣A與B為同型矩陣，采用相同的分法，有那么分塊矩陣的加法，采用相同分法，對(duì)應(yīng)子塊相加.722.分塊矩陣的數(shù)乘設(shè)為數(shù)，對(duì)矩陣A分塊后，得分塊矩陣為那么分塊矩陣的數(shù)乘，數(shù)乘每一個(gè)子塊.733.分塊矩陣的乘法設(shè)A為矩陣，B為矩陣，

對(duì)A的列的分法與對(duì)B的行的分法相同，分塊成則的列數(shù)分別等于的行數(shù)，那么74其中分塊矩陣的乘法，對(duì)左矩陣的列的分法與對(duì)右矩陣的行的分法相同，再按普通矩陣的乘法.75例4.1設(shè)

求AB.解:把A、B分塊成

76則因此在計(jì)算兩個(gè)分塊乘積時(shí)，可以把子塊看作“數(shù)”；此例把4階矩陣的乘積化為了2階矩陣的乘積，簡化了計(jì)算.77例4.2設(shè)A為n階矩陣，矩陣，(1)求證為矩陣A的第j列；(2)若，求證.(教材P55,例2)

證:

(1)將A按列分塊，設(shè)為A的第j列，則(2)將A按列分塊，則,于是如此類推，可得784.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)對(duì)矩陣A分塊后，得分塊矩陣為那么分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，把行寫成同序號(hào)的列，并且每個(gè)子塊轉(zhuǎn)置.795.分塊矩陣的行列式(只能考慮特殊矩陣)(1)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，這樣的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角陣.則有80(2)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，這樣的分塊矩陣稱為分塊上三角陣.則有81(3)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，這樣的分塊矩陣稱為分塊下三角陣.則有82特別注意用分塊法求方陣的行列式只能針對(duì)特殊矩陣：設(shè)則836.分塊矩陣的逆陣(也只能考慮特殊矩陣)(1)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若，則有84(2)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若則有(3)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若則有85(4)設(shè)A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若，則有注意中的排列順序.分塊副對(duì)角陣86例4.3設(shè)求解:87例4.4設(shè)求解:因此88例4.5求矩陣A的逆矩陣，其中(教材P58,例5)89三、常用的分塊法1.按列分塊稱為A的列向量組.2.按行分塊稱為A的行向量組.903.“最粗”的分塊一個(gè)矩陣本身看作一個(gè)子塊，從形式上看就是矩陣.4.“最細(xì)”的分塊將矩陣中的每個(gè)元素看作一個(gè)子塊.

91矩陣A與對(duì)角陣的乘積：對(duì)角陣右(左)乘A的結(jié)果是A的每一列(行)乘以對(duì)角陣中與該列(行)對(duì)應(yīng)的對(duì)角元.92證:把A按列分塊為，則因?yàn)樗岳?.6設(shè)為實(shí)矩陣，證明A=0.特別地，有而93由和為實(shí)數(shù)，得因此94§2.5矩陣的初等變換和初等矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的一元運(yùn)算，它源于線性方程組消元過程中的同解變換.很多問題的解決都需要運(yùn)用這種運(yùn)算，所以才說這是一種重要的運(yùn)算.一、矩陣的初等變換二、初等矩陣1.1矩陣的初等變換的定義和記號(hào)1.3矩陣的等價(jià)關(guān)系1.2初等變換的逆變換1.4階梯形矩陣-矩陣初等變換的目標(biāo)2.1初等矩陣的定義2.2初等矩陣的類型與記號(hào)2.3初等矩陣的性質(zhì)2.4初等矩陣的逆矩陣2.5初等變換求解矩陣方程95一、矩陣的初等變換1.1矩陣的初等變換的定義和記號(hào)12342131234②-2①

96(1)交換A的第i行與第j行的位置，記為把上述的定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義.記號(hào)分別為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.(2)以數(shù)乘以A的某一行各元素,記為(3)將A的第i行各元素的k倍加到第j行對(duì)應(yīng)的元素上，記為Def2.10

設(shè)A是矩陣下面三種變換稱為矩陣的初等行變換，記號(hào)與是有區(qū)別的.97變換的逆變換為變換的逆變換為變換的逆變換為(或記為).1.2初等變換的逆變換981.3矩陣的等價(jià)關(guān)系如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B列等價(jià)，記作AB.性質(zhì):

(1)反身性AA;Def2.11

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B等價(jià)，記作AB.(2)對(duì)稱性如果AB，那么BA;(3)傳遞性若AB，BC，則AC.如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B行等價(jià)，記作AB；99Thm2.3

任意非零矩陣都與形如的矩陣等價(jià).矩陣稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形.1001.4階梯形矩陣-矩陣初等變換的目標(biāo)行階梯形矩陣其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0;每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，稱為首非零元.行階梯形矩陣:自上而下，每個(gè)非零行的首非零元前面的零的個(gè)數(shù)依次增加；零行在最下方.101行最簡形矩陣其特點(diǎn)是:是階梯形矩陣；非零行的第一個(gè)非零元（首非零元）為１；首非零元所在的列的其它元素都為０．對(duì)于任何矩陣A，總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣．行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.一個(gè)矩陣的行最簡形矩陣是唯一的(只用初等行變換).102例5.1下列四個(gè)矩陣中，哪些是行最簡形？解:

矩陣和是行最簡形矩陣.103例5.2設(shè)，把化成行最簡形.解:將元化為1104將元化為1這已是階梯形矩陣,再化為行最簡形

特別要注意將元素化為零的先后順序.105§2.5矩陣的初等變換和初等矩陣(續(xù))矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的一元運(yùn)算，它源于線性方程組消元過程中的同解變換.很多問題的解決都需要運(yùn)用這種運(yùn)算，所以才說這是一種重要的運(yùn)算.一、矩陣的初等變換1.1矩陣的初等變換的定義和記號(hào)1.3矩陣的等價(jià)關(guān)系1.2初等變換的逆變換1.4階梯形矩陣-矩陣初等變換的目標(biāo)1001001000*二、初等矩陣2.1初等矩陣的定義2.2初等矩陣的類型與記號(hào)2.3初等矩陣的性質(zhì)2.4初等矩陣的逆矩陣2.5初等變換求解矩陣方程106二、初等矩陣Def2.12

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.2.1初等矩陣的定義1072.2初等矩陣的類型與記號(hào)(1)交換兩行(或兩列)：1001將E的第i行(列)與第j行(列)交換，108(2)以數(shù)乘某行(或列):以數(shù)乘E第i行(或第i列)，109(3)將某行(列)的k倍加到另一行(列)上將E的第j行的k倍加到第i行(或是將E的第i列的k倍加到第j列)，110將E的第i行與第j行交換將E的第i列與第j列交換以數(shù)乘E第i行以數(shù)乘E第i列將E的第j行的k倍加到第i