偏微分課件(3)分離變量法

偏微分方程

PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION

(P.D.E)9/21/20231分離變量法許多物理現(xiàn)象都具有疊加性：由幾種不同原因同時出現(xiàn)時所產(chǎn)生的效果，等于各個原因單獨出現(xiàn)時所產(chǎn)生的效果的疊加，這就是物理學(xué)中的疊加原理。在解決數(shù)學(xué)中的線性問題時，可應(yīng)用物理學(xué)中的疊加原理。分離變量法又稱Fourier方法，而在波動方程情形也稱為駐波法。它是解決數(shù)學(xué)物理方程定解問題中的一中基本方法，這個方法建立在疊加原理的基礎(chǔ)上，其基本出發(fā)點是物理學(xué)中的機(jī)械振動和電磁振動（總可分解為一些簡諧振動的疊加）9/21/20232波動方程有界弦的自由振動熱傳導(dǎo)方程橢圓方程一維情形高維情形有界弦的強(qiáng)迫振動齊次方程非齊次方程周期性條件自然邊界條件一維情形高維情形9/21/202331.有界弦的自由振動(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)首先設(shè)法找到所有具有變量分離形式的滿足方程（1.1）和邊界條件（1.2）的非零特解。這些非零特解的線性疊加仍滿足方程和邊界條件。所謂函數(shù)u(x,t)具有變量分離形式，即它可表示為(1.5)(I)9/21/20234將（1.5）代入方程（1.1）和邊界條件（1.2）得到即以及(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t的函數(shù)，右端是x的函數(shù)，由此可得只能是常數(shù)，記為。從而有(1.8)(1.9)(1.10)9/21/20235(II)本征值問題(1.9)(1.10)情形（A）情形（B）其通解為由(1.10)，可推出只有零解。其通解為由(1.10)，可推出只有零解。9/21/20236情形（C）方程的通解為由邊界條件X(0)=0推出再由知道為了使必須于是有這樣就找到了一族非零解本征值本征函數(shù)(1.11)(1.12)9/21/20237由此，就得到方程（1.1）滿足邊界條件（1.2）的變量分離的非零特解代入(1.8)可得(1.13)其通解為9/21/20238(III)特解的疊加為了求出原定解問題的解，還需滿足初始條件（1.3）。一般來講，前面求出的特解不一定滿足初始條件。為此，我們把所有特解疊加起來，并使之滿足初始條件，即取使得(1.14)(1.15)(1.16)9/21/20239因此，應(yīng)分別是在[0,L]區(qū)間上正弦展開的Fourier級數(shù)的系數(shù)，即(1.17)(1.18)這樣，我們就給出了混合問題（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系數(shù)由公式（1.17）和（1.18）給出。9/21/202310是[0,L]上的正交函數(shù)列是[0,L]上的正交函數(shù)列9/21/202311分離變量法的解題步驟第一步第二步第三步令適合方程和邊界條件，從而定出所適合的常微分方程齊次邊值問題，以及適合的常微分方程。本征值問題求解該常微分方程齊次邊值問題，求出全部本征值和本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的的表達(dá)式。將所有變量分離形式的特解疊加起來，并利用初始條件定出所有待定系數(shù)。9/21/202312物理意義其中對任意時刻這說明，任一時刻弦的形狀都是正弦波，其振幅隨不同的時間而不同。9/21/202313對任意一點這表示在任意一點處都作簡諧振動。節(jié)點固有頻率9/21/202314例令是齊次方程和齊次邊界條件的非零解則有9/21/202315故有其中9/21/2023169/21/2023172.有界弦的強(qiáng)迫振動(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)方法一方法二齊次化原理分離變量法9/21/202318齊次化原理:若混合問題的解，則(2.6)(2.5)就是混合問題（2.1）-（2.4）的解。9/21/202319令混合問題（2.5）就化為(2.7)由于方程和邊界條件都是齊次的，由此根據(jù)上一小節(jié)的結(jié)論即得其中(2.8)(2.9)9/21/202320根據(jù)齊次化原理，(2.10)其中9/21/202321分離變量法:令是混合問題的解。顯見上述函數(shù)滿足（2.2）。(2.11)(2.1)(2.3)(2.4)(2.12)(2.13)(2.14)9/21/202322(2.12)，(2.13)，(2.14)9/21/202323非齊次邊界條件的定解問題我們注意到齊次的邊界條件是分離變量法所必需的，為此作函數(shù)變換邊界齊次化9/21/202324齊次邊界條件的另一類定解問題9/21/2023253.有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)方程9/21/202326首先找到所有具有變量分離形式的滿足齊次方程和齊次邊界條件的非零特解。令(I)3.1齊次方程情形代入方程和邊界條件得到即以及9/21/202327(II)本征值問題本征值本征函數(shù)9/21/202328(III)特解的疊加使得其中9/21/2023293.2非齊次方程情形方法一方法二齊次化原理分離變量法9/21/2023304.矩