高二數學二項式定理-人教版

二項式定理（第一課時）授課對象：高二課時：2課時課型：新授課選用教材：人教A版選修2-3授課教師：三門峽市一高姜小銳第一頁第一頁，共15頁。牛頓：被譽為人類最偉大的科學家之一，他不僅是物理學家，天文學家，還是一位最偉大的數學家。1664年，年僅22歲牛頓就在數學界有了第一項創(chuàng)造性成果，就是發(fā)現二項式定理。第二頁第二頁，共15頁?！?.3.1二項式定理理解二項式定理，會利用二項式定理求二項展開式。掌握二項展開式的通項公式，會應用通項公式求指定的某一項。會正確區(qū)分二項式系數與項的系數，會求指定項的二項式系數和系數。第三頁第三頁，共15頁。動腦筋問題1：

＋

＋

＋

＋

…＋＋…＋＝?問題2：你能否判斷(3x2－)10的展開式中是否包含常數項？二項式定理它研究的就是(a＋b)n的展開式的一般情形。nCr第四頁第四頁，共15頁。探索(a＋b)2

＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝(a＋b)3(a＋b)＝(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)(a＋b)＝(a＋b)2

＝(a＋b)(a＋b)a2ababb2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3a3a2bab2b3共有四項a3:a2b:同理，ab2有

個；b3有

個；每個括號都不取b的情況有一種，即

種，相當于有一個括號中取b的情況有

種，所以a2b的系數是

所以a3的系數是第五頁第五頁，共15頁。(a＋b)2

＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a3＋

a2b＋

ab2＋

b3(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝

a4＋

a3b＋

a2b2＋

ab3＋

b4一般地，(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)……(a＋b)＝

an＋

an-1b＋

an-2b2＋

an-3b3＋…＋

an-rbr＋…＋

bn該公式稱為二項式定理。3）每一項的系數（r=0，1，2，…，n）叫做該項的二項式系數。4）叫做二項展開式的通項，表示第r+1項，記作Tr+1。其右端的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式。2)共有n+1項。a由n遞減到0；b由0遞增到n．單項式的次數為n.n項1)每一項是關于a和b的n次冪，每一項都是有ai．bj構成，i+j=n第六頁第六頁，共15頁。

＋

＋

＋

＋

…＋＋…＋＝?nCr2)問題1：解：根據二項式定理，取a=1,b=1

(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn

∴Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n1）若取a=1，b=x則得一個重要公式：(1+x)n=1n+x+x2+…+xr+…+xn

a,b可以是單項式，也可以是多項式3)思考：若取a=1，b=-1時，又推出什么結論？第七頁第七頁，共15頁。二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋

Cbn通項公式（第r+1項）：Tr+1＝Can-rbr；其中C稱為第r+1項的二項式系數。解：例1：展開(x2+2x+1)2練習(1)：展開(1-x)n(1-x)n=Cn0+Cn1(-X)+Cn2(-X)2+…+Cnr(-X)r

+…+Cnn(-X)n解：第八頁第八頁，共15頁。解：∵a＝1，b＝2x，n＝7根據通項公式Tr＋1＝an－rbr得T4＝T3+1＝280x3二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋

Cbn通項公式（第r+1項）：Tr+1＝Can-rbr；其中C稱為第r+1項的二項式系數。＝35Cnr例2、求(1+2x)7的展開式中的第四項，并指出它的二項式系數與系數。

＝·17－3·(2x)33C7·23·x3＝3C7它的二項式系數是3C7系數為280第九頁第九頁，共15頁。解：根據二項式定理，取a＝3x2，b＝－∴的通項公式是＝·310－r·x20－2r·(－1)r

·x－令20－＝0∴r＝8r∈N∴的展開式中第9項為常數項。C10r＝(－1)r

·310－r·

·x20－

C10rTr＋1＝(3x2)10－r(－)rC10r問題2：第十頁第十頁，共15頁。二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋

Cbn通項公式（第r+1項）：Tr+1＝C練習(2)：求(x－1/x)9的展開式中x3項的系數和二項式系數。an-rbr；稱為第r+1項的二項式系數。解:(x－1/x）9的展開式的通項是Tr＋1＝x9－r(－1/x)r＝(－1)r由題意知9－2r＝3∴r＝3于是x3項的系數是:其中Cx9－2rCr9rC9(－1)3＝－843C9二項式系數為=843C9第十一頁第十一頁，共15頁。感悟交流第十二頁第十二頁，共15頁。小結二項式定理展開式中a與b是用“＋”連接的，即(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn，在實際運用時注意正確選擇a、b。

通項公式Tr+1＝Can-rbr是指第r＋1項，r+1項的二項式系數。其中C稱為第（見例2）注意正確區(qū)分二項式系數與項的系數。（見例2）nCr第十三頁第十三頁，共15頁。作業(yè)

P37習題1.34